數(shù)學試卷注意事項本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。答題前,務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂對應題目的答案標號，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上?？荚嚱Y(jié)束后,將答題卡、試卷、草稿紙全部交回。請考生注意：所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為復數(shù)的共軛復數(shù)，則（

）A． B． C． D．22．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．2024年4月21日，13000多人參賽的2024阜陽馬拉松在市規(guī)劃展示館旁鳴槍起跑.經(jīng)過激烈角逐，前八名的成績(單位：小時)分別為，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如果一個球的外切圓錐的高是這個球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為（

）A． B． C． D．5．如圖，是邊長為4的正方形，若，且為的中點，則（

）A．3 B．4 C．5 D．66．關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①直線是圖象的一條對稱軸②存在，使得恒成立；③在區(qū)間上單調(diào)遞增④的圖象可以由函數(shù)向右平移個單位得到則其中真命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．37．一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，，，，．現(xiàn)將兩塊三角板拼接在一起，取中點與中點，則下列直線與平面所成的角不為定值的是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，那么函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則以下說法正確的是（

）A．復數(shù)z的實部為3 B．復數(shù)z的虛部為2iC．復數(shù)z的模為 D．復數(shù)z的共軛復數(shù)10．下列四個命題中正確的是A．如果一條直線不在某個平面內(nèi)，那么這條直線就與這個平面平行B．過直線外一點有無數(shù)個平面與這條直線平行C．過平面外一點有無數(shù)條直線與這個平面平行D．過空間一點必存在某個平面與兩條異面直線都平行11．已知銳角三個內(nèi)角的對應邊分別為，且．則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積最大值為B．的取值范圍為C．的值可能為3D．的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．由于甲流暴發(fā)，防疫站對學生進行身體健康調(diào)查，對男女學生采用分層抽樣法抽取.學校共有學生1600名，抽取一個容量為200的樣本.已知女生比男生少抽了20人，則該校的女生人數(shù)應是人.13．若，且，則向量與的夾角為．14．在四面體中，，則該四面體的外接球的表面積為．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．2016年6月22日，“國際教育信息化大會”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國際教育信息化大會”，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15-75歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，其分組區(qū)間為：.把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年”和“中老年”.(1)根據(jù)頻率分布直方圖求樣本的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）和眾數(shù)；(2)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”；附:參考公式，其中.臨界值表：16．已知向量為平面向量，且，（1）若的夾角為，求及（2）若是與平行的向量，求的坐標.17．已知向量，，設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖象的對稱軸方程；(2)已知分別為三角形的內(nèi)角對應的三邊長，為銳角，，且恰是函數(shù)在上的最大值，求三角形的面積.18．已知，設(shè)函數(shù)的表達式為（其中）(1)設(shè)，，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，，集合，記，若在D上有兩個不同的極值點，求b的取值范圍；(3)當，，時，記，其中n為正整數(shù)．求證：．19．如下左圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔點到的距離為3．將該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上，如下右圖所示），此時水恰好流出時，液面與棱分別相交于點．（1）證明：四邊形為長方形；（2）求二面角的平面角的正切值.

1234567891011121314DCCCCBBDACBCBC72015．（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知樣本的眾數(shù)為40，因為，設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，所以，即樣本的中位數(shù)約為36.43.（2）依題意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.完成的列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注合計青少年153045中老年352055合計5050100結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得，因為,所以有的把握認為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國際教育信息化大會”.16．（1）易知，，所以，，所以.（2）由題意得：，且，解得：或，所以或17．（1），由，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，令，，解得，所以曲線的對稱軸方程為，.（2）由（1）知，當時，則當即時函數(shù)取得最大值，又恰是函數(shù)在上的最大值，且為銳角，可得，由余弦定理可得，解得或，當時，三角形的面積，當時，三角形的面積.所以三角形的面積為或.18．（1）由，，可知，則，當時，，所以在點處的切線方程為：，即為；（2）當時，由，則，即，由在上有兩個不同的極值點，則在內(nèi)有兩個解，即由等價于，作出二次函數(shù)圖象，因為當時，，結(jié)合圖像可知：當時，方程在內(nèi)有兩個解,即b的取值范圍;（3）證明：依題意，，，且，，令，則所以而，則又，且，當且僅當時等號成立，所以，同理，，……，且均在時等號成立，所以，即得證．19．（1）因為平面平面，平面平面，平面，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，因為始終在桌面上，所以，在長方體中，平面，平面，所以，即，所以四邊形是