第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年山東省濱州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2,3,4}，B={1,3,5,7}，則A∪(?UB)=A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,3,4,6} D.{1,2,3,4,5,7}2.已知向量a=(m?1,1)，b=(m,?2)，則“m=2”是“a⊥bA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知某人射擊每次擊中目標(biāo)的概率都是0.5，現(xiàn)在用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)此人3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1，2，3，4表示擊中目標(biāo)，5，6，7，8，9表示未擊中目標(biāo)．每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

926?446?072?021?392?077?663?817?325?615

405?858?776?631?700?259?305?311?589?258

據(jù)此估計(jì)，其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率約為(

)A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.64.如圖，平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線(xiàn)段BE上，且BF=3FE，記a=BA，b=BC，則A.23a+13b B.25.已知tan(α?π4)=14，A.322 B.1318 C.166.已知非零向量AB與AC滿(mǎn)足(AB|AB|+AC|ACA.等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為3，方差為4，則數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，2x1A.4，14 B.4，16 C.5，14 D.5，168.在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，O為△ABC的外心，PO⊥平面ABC，若AB=BC=PO=4，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積為(

)A.12π B.523π C.24π 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=5i?2，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.z的虛部為1 B.z的共軛復(fù)數(shù)為?2+i

C.|z|=5 D.10.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為P(A)=12，P(B)=13A.若A與B互斥，則P(A∪B)=56

B.若A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)=23

C.若A與B相互獨(dú)立，則P(AB?)=111.已知向量a=(?1,x)，b=(1,2)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.若(2a?b)⊥b，則x=3

B.|2a?b|的最小值為3

C.若(2a?b三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D13.一艘貨船從A處出發(fā)，沿北偏西50°的方向以30海里每小時(shí)的速度直線(xiàn)航行，20分鐘后到達(dá)B處，在A處觀察C處燈塔，其方向是北偏東10°，在B處觀察C處燈塔，其方向是北偏東55°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是

海里．14.在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若(a+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC，a=23，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，M為PD的中點(diǎn).請(qǐng)用幾何法求解下列問(wèn)題：

(1)證明：PB//平面AMC；

(2)設(shè)AP=AB=2，求直線(xiàn)BM與平面ABCD所成角的正切值．16.(本小題15分)

某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)測(cè)試，記錄他們的測(cè)試成績(jī)，將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如圖頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中m的值；

(2)估計(jì)這次測(cè)試成績(jī)的第70百分位數(shù)；

(3)用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從成績(jī)位于[80,90)和[90,100]內(nèi)的學(xué)生中抽取了6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人向全班同學(xué)介紹自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)事件A=“抽取的兩人的測(cè)試成績(jī)分別位于[80,90)和[90,100]內(nèi)”，求事件A的概率P(A)．17.(本小題15分)

在某985高校的強(qiáng)基面試中，有兩道難度相當(dāng)?shù)念}目，每位面試者有兩次答題機(jī)會(huì)，如果第一次答對(duì)抽到的題目，則面試通過(guò)，不再回答第二道題，否則就回答第二道題，第二道題答對(duì)則面試通過(guò)，若兩道題都答錯(cuò)則面試不通過(guò).已知李明答對(duì)每道題的概率都是0.6，張志答對(duì)每道題的概率都是0.5，假設(shè)兩位面試者答題互不影響，且每人對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是相互獨(dú)立的．

(1)求李明第二次答題通過(guò)面試的概率；

(2)求張志通過(guò)面試的概率；

(3)求李明和張志至少有一人通過(guò)面試的概率．18.(本小題17分)

已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosC+3asinC=b．

(1)求A；

(2)已知D為AB邊上的一點(diǎn)，且BC⊥CD．

①若AC=3，AD=1，求AB；

19.(本小題17分)

在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，BC=22，AD=AB=2(如圖1)，把△ABD沿BD翻折，使得A?平面BCD，連接AC，M，N分別是BD和BC的中點(diǎn)(如圖2).請(qǐng)用幾何法求解下列問(wèn)題：

(1)證明：BD⊥平面AMN；

(2)當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，求二面角A?BC?D的正弦值；

(3)若P，Q分別在線(xiàn)段AB，DN上，且APPB=NQQD=λ(λ>0)(如圖3)，令PQ與BD所成的角為θ1，PQ答案解析1.【答案】C

【解析】解：全集U={1,2,3,4,5,6,7}，B={1,3,5,7}，

則?UB={2,4,6}，

集合A={2,3,4}，

則A∪(?UB)={2,3,4,6}．

故選：C2.【答案】A

【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得m值，結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．

本題考查平面向量垂直的坐標(biāo)表示，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．【解答】

解：∵a=(m?1,1)，b=(m,?2)，

∴a⊥b?m(m?1)?2=0．

由m(m?1)?2=0，解得m=?1或m=2．

∴“m=23.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，在20組隨機(jī)數(shù)中，

能表示至少2次擊中目標(biāo)的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10組，

則其3次射擊至少2次擊中目標(biāo)的概率P≈1020=0.5；

故選：B．

根據(jù)題意，分析20組隨機(jī)數(shù)中，能表示至少24.【答案】D

【解析】【分析】本題考查平面向量加減運(yùn)算及基本定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)條件可知CF=【解答】

解：∵平行四邊形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)在線(xiàn)段BE上，且BF=3FE，

∴DE=EA=12DA=12CB=?125.【答案】A

【解析】解：∵tan(α?π4)=14，tan(α+β)=25，

∴tan(π6.【答案】A

【解析】解：AB|AB|,AC|AC|分別為向量AB與AC方向上的單位向量，

因?yàn)?AB|AB|+AC|AC|)?BC=0，所以A的角平分線(xiàn)與BC垂直，

所以△ABC是等腰三角形，且AB=AC，

由cosA=AB|AB|?AC|AC|=22，0<A<π7.【答案】C

【解析】解：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)x1，x2，x3，x4的平均數(shù)為3，方差為4，

所以數(shù)據(jù)2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均數(shù)為2×3+1=7，方差為22×4=16，

所以數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，2x1+1，28.【答案】D

【解析】解：由O為△ABC的外心，AB⊥BC，得O是AC的中點(diǎn)，又AB=BC=PO=4，

則OA=12AC=22，

由PO⊥平面ABC，得三棱錐P?ABC的外接球球心M在射線(xiàn)PO上，

設(shè)該球半徑為R，

則MO=|4?R|，

由MA2=MO2+AO2，

得R2=(R?4)2+(29.【答案】BC

【解析】解：復(fù)數(shù)z=5i?2=5(i+2)(i?2)(i+2)=5i+10i2?4=5i+10?5=?2?i．

對(duì)于A，z的虛部為?1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，z的共軛復(fù)數(shù)為?2+i，故B正確；

對(duì)于C，|z|=(?2)2+1210.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=12+13=56，A正確；

對(duì)于B，若A、B相互獨(dú)立，則P(AB)=12×13=16，則P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=23，B正確；

對(duì)于C，若A與B相互獨(dú)立，則A與B?也相互獨(dú)立，則P(AB?)=P(A)P(B?)=12×(1?13)=1311.【答案】BCD

【解析】解：A選項(xiàng)，2a?b=(?2?1,2x?2)=(?3,2x?2)，因?yàn)?2a?b)⊥b，

所以(2a?b)?b=0，則(?3)×1+(2x?2)×2=0，解得4x?7=0?x=74，A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B，由2a?b=(?3,2x?2)，|2a?b|2=(?3)2+(2x?2)2=9+(2x?2)2，

由于(2x?2)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)2x?2=0(即x=1)時(shí)，|2a?b|2取最小值912.【答案】7【解析】解：因?yàn)樵谡睦馀_(tái)ABCD?A1B1C1D1中，AB=AA1=2，A1B1=1，

13.【答案】5【解析】【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查正弦定理，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．

作出圖象，求出角A，B，C，再結(jié)合正弦定理可得答案．【解答】

解：AB=30×2060=10(海里)，

如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，則A=60°，B=75°，C=180°?A?B=45°，

由正弦定理可得BCsinA=ABsinC14.【答案】(4【解析】解：因?yàn)?a+b)(sinA?sinB)=(c?b)sinC，

所以由正弦定理得：(a+b)(a?b)=(c?b)c，即c2+b2?a2=bc，

由余弦定理得：cosA=b2+c2?a22bc=12，

因?yàn)锳∈(0,π2)，所以A=π3，

因?yàn)閍=23，所以由正弦定理得：bsinB=csinC=asinA=4，

所以b=4sinB，c=4sinC=4sin(2π3?B)=23cosB+2sinB15.【答案】證明見(jiàn)解析；

55【解析】解：(1)證明：在四棱錐P?ABCD中，連接BD∩AC=O，連接OM，

由ABCD為正方形，得O是BD的中點(diǎn)，而M為PD的中點(diǎn)，

則PB//MO，而MO?平面AMC，PB?平面AMC，

所以PB//平面AMC；

(2)取AD中點(diǎn)H，連接MH，BH，由M為PD的中點(diǎn)，得MH//PA，

而PA⊥平面ABCD，則MH⊥平面ABCD，

所以∠MBH是直線(xiàn)BM與平面ABCD所成的角，

MH=12PA=1，BH=AB2+AH2=5，

在Rt△MBH中，tan∠MBH=MHBH=55，

16.【答案】0.012；

82.5；

815．【解析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.006+0.008+0.020+0.030+0.024+m)×10=1，解得m=0.012；

(2)因?yàn)榇笥诘?0百分位數(shù)的頻率為0.3，測(cè)試成績(jī)位于[90,100]的頻率0.012×10=0.12<0.3，

位于[80,100]的頻率0.024×10+0.012×10=0.36>0.3，故第70百分位數(shù)位于[80,90)，設(shè)為x，

則(90?x)×0.024+0.12=0.3，解得x=82.5，即第70百分位數(shù)為82.5；

(3)測(cè)試成績(jī)位于[80,90)的頻率P1=0.024×10=0.24，

位于[90,100]的頻率P2=0.012×10=0.12，因?yàn)镻1：P2=2：1，所以確定的6人中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的有4人，分別記為A1，A2，A3，A4，

成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的有2人，分別記為B1，B2，

從6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間：Ω={(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,A4)，(A1,B1)，(A1,B2)，

(A2,A3)，(A2,A4)，(A2,17.【答案】0.24；

0.75；

0.96．

【解析】(1)根據(jù)題意，若李明第二次答題通過(guò)面試，即李明第一次答錯(cuò)抽到的題目，而第二次答對(duì)抽到的題目，

則要求概率P=(1?0.6)×0.6=0.24；

(2)根據(jù)題意，設(shè)A=“張志通過(guò)面試”，則A?=“張志沒(méi)有通過(guò)面試”，即張志兩次都沒(méi)有答對(duì)抽到的題目，

則P(A?)=(1?0.5)×(1?0.5)=0.25，

故P(A)=1?P(A?)=0.75；

(3)根據(jù)題意，設(shè)B=“李明通過(guò)面試”，易得P(B?)=(1?0.6)2=0.16，

則P(A?B?)=0.25×0.16=0.04，

則李明和張志至少有一人通過(guò)面試的概率P=1?P(A?B18.【答案】π6；①3；②(0,1【解析】(1)在△ABC中，因?yàn)閍cosC+3asinC=b，

所以由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC=cosAsinC，因?yàn)閟nC>0，所以tanA=33，

又因?yàn)?<A<π，所以A=π6；

(2)①在△ADC中，因?yàn)锳C=3，AD=1，

所以由余弦定理得：CD=AC2+AD2?2AC?ADcosA=3+1?2×3×1×32=1，

所以AD=CD=1，所以∠ACD=A=π6，

因?yàn)锽C⊥CD，所以∠BCA=2π3，B=π6=A，

所以AB=