一元二次函數(shù)、方程和不等式

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

4

1．已知x0，則x的最小值是（）

1x

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【詳解】因x0，則x11，

444x1

則xx11213，等號成立時x1.

1x1x1x

4

故x的最小值是3.

1x

故選：C

11

2．不等式xx0的解集為（）

23

111

A．xxB．xx

322

111

C．xxD．xx或x

332

【答案】A

111111

【詳解】不等式xx0可化為xx0，則解集為xx，

232332

故選：A.

x4

3．不等式2的解集是（）

x1

A．{x∣2x1}B．{x∣x2}

C．{x∣2x1}D．{x∣x1}

【答案】C

x4x2x2x10

【詳解】2即為0即，故-2￡x<1，

x1x1x10

故解集為2,1，

故選：C.

4．設(shè)a、b、cR，abc0，且abc，則（）

abbc

A．2B．2

bcab

C．2abcD．a(chǎn)bc

【答案】C

1ab

【詳解】對于A選項，不妨取a2，b1，c，則2422，A錯；

4bc

bc

對于B選項，不妨設(shè)a1，b2，c6，則2352，B錯；

ab

對于C選項，因為abc，由不等式的基本性質(zhì)可得2abc，C對；

對于D選項，不妨設(shè)a1，b2，c2.5，則ab32.5c，D錯.

故選：C.

6

5．已知集合AxZ2x4，Bx1，則AB（）

x1

A．x1x4B．1,0,1,2,3,4C．0,1,2,3,4D．2,1,0,1,2,3,4

【答案】C

【詳解】AxZ2x42,1,0,1,2,3,4.

6

由1，可得1x5，所以Bx1x5.

x1

所以AB0,1,2,3,4.

故選：C.

6．“不等式x2xm0在R上恒成立”的一個充分不必要條件是（）

1

A．mB．m2C．m0D．m≥2

4

【答案】D

【詳解】不等式x2xm0在R上恒成立，

21

∴14m0，解得m，這是其充要條件，

4

1

mm2是mm的真子集，其充分不必要條件可以是m≥2.

4

故選：D.

x2y22xy1

7．已知x,y0，且xy1，則的最小值為（）

xy

A．323B．7C．325D．8

【答案】B

x2y22xy1(xy)22xy2xy122xy14

【詳解】由題意，22，

xyxyxyxy

1414y4xy4x12

又()(xy)5259，當(dāng)且僅當(dāng)x,y時取等號，

xyxyxyxy33

x2y22xy1

所以927，即目標(biāo)式最小值為7.

xy

故選：B.

135

8．記max{a,b}表示實數(shù)a，b中的較大的數(shù)，已知x，y，z均為正數(shù)，則max{x,}max{y,}max{z,}

yzx

的最小值為（）

A．22B．3C．42D．6

【答案】C

135

【詳解】設(shè)tmaxx,maxy,maxz,，

yzx

5353

當(dāng)z時，txzz，

xzzz

因為x,y,z均為正數(shù)，所以

35388

txzzz2z42，

zzzzz

5223

當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z22時，等式成立；

22522

5353x58x585

當(dāng)z時，txx2x42，

xzx5x5x5x

5223

當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z22時，等式成立.

22522

綜上可知，t的最小值為42.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9．若a,bR，則（）

A．a(chǎn)2b22abB．a(chǎn)b2ab

C．a(chǎn)22b22abD．a(chǎn)2b22ab1

【答案】ACD

【詳解】用b替代a2b22ab中的b，得到a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，故A正確；

取ab2，則ab42ab4，故B錯誤；

a22b2a2b2|a|2|b|22ab2ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時取等號，故C正確；

因為a212a,b212b，所以a21b212a2b，

即a2b22ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時取等號，故D正確.

故選：ACD

10．使關(guān)于a,b的不等式ab1ab成立的充分不必要條件是（）

A．a(chǎn)1且b1B．a(chǎn)1且b1C．a(chǎn)1且b1D．a(chǎn)1且b1

【答案】ABC

【詳解】不等式ab1ab等價于a1b10，

a1a1

則a1與b1同正或同負(fù)，即或，

b1b1

a1a1a1a1

對于A，由a1且b1能推出或，但由或不能推出a1且b1，故A符合題意；

b1b1b1b1

a1a1

對于B，由a1且b1能推出或，反之不能，故B符合題意；

b1b1

對于C，a1且b1等價于1a1且1b1，

a1a1

故a1且b1能推出或，反之不能，故C符合題意；

b1b1

對于D，a1且b1等價于a1或a1且b1或b1，

a1a1

故a1且b1不能推出或，故D不符合題意.

b1b1

故選：ABC.

111

11．已知a0，b0，且2，則（）

abab

13

A．a(chǎn)b的最小值為13B．a(chǎn)b的最小值為

2

13

C．bD．a(chǎn)2b的最小值為6

22

【答案】ACD

111

【詳解】由2得，2ab1ab，

abab

22

abab2

由ab得，2ab1ab，整理得ab2ab20，

22

13

解得ab13或（ab13舍去），當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，

2

故ab的最小值為13，選項A正確.

由2ab1ab得，2ab12ab，即2ab2ab10，

131313

解得ab（ab舍去），當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，

222

2

故的最小值為133，選項錯誤

ab1B.

22

1b1

由2ab1ab得，a0，所以2b10，解得b，選項C正確.

2b12

1333

b

1b333，

a2b2b222b22b1222b16

2b12b122b122b12

2326

當(dāng)且僅當(dāng)2b1，即b時等號成立，選項D正確.

24

故選：ACD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

11

12．已知a0,b0，且ab3，則的最小值為.

ab1

【答案】1

【詳解】由a0,b0，ab3，得a(b1)4，

11a(b1)44

1

因此a(b1)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab12時取等號，

ab1a(b1)a(b1)[]

2

11

所以的最小值為1.

ab1

故答案為：1

21

13．已知a0，b0，且a2b1，若不等式m恒成立，則m的最大值為.

ab

【答案】8

21214ba

【詳解】由a2b22，

ababab

214ba4ba

因為a0，b0，所以有4428，

ababab

4ba1

當(dāng)且僅當(dāng)a2b時取等號，

ab2

所以有m8，

故答案為：8.

14．已知正數(shù)x，y滿足4x214y214xy，則x23y2的最小值為．

323

【答案】1/

22

【詳解】因為x，y為正數(shù)，且4x214y214xy，

兩邊平方得：4x2124x214y214y2116x2y2，

所以24x214y2116x2y24x24y224x214y211.

設(shè)t4x214y21，則2tt21，解得t1，

11

222222

4x14y11，整理得：16xy4x4y，即224.

xy

11113y2x213y2x2

所以x23y2x23y2442

222222

4xy4xy4xy

4233

1.

42

11

233

224x

xy

當(dāng)且僅當(dāng)：即12時取

22“”.

3yx231

22y

xy12

223

即x3y的最小值為1.

2

3

故答案為：1

2

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

x4

15．（13分）設(shè)全集UR，集合Ax0，集合Bxx22axa210，其中aR.

x1

(1)當(dāng)a4時，求AB；

(2)若“xA”是“xB”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)(3,4)

(2)0,3

x4

【詳解】（1）由0得：(x4)(x1)0，解得：1x4，即A(1,4)，

x1

當(dāng)a4時，x22axa21x28x15x3x50，

解得：3x5，即B3,5；

故AB(3,4)；

（2）由（1）知：A1,4；

22

由x2axa1xa1xa10得：a1xa1，

即Ba1,a1，

因為“xA”是“xB”的必要不充分條件，所以B為A的真子集.

a11a11

或，解得0a3，

a14a14

即實數(shù)a的取值范圍為0,3.

16．（15分）若正數(shù)x,y滿足：xy8xy，

(1)求xy的取值范圍；

(2)求xy的取值范圍．

【答案】(1)[16,)

(2)[8,)．

xyxy8

【詳解】（1）由條件等式與基本不等式，得xy82xy，即(xy)22xy80，

xy2xy

即(xy4)(xy2)0，解得xy4，所以xy16，當(dāng)且僅當(dāng)xy4時取等號，

所以xy的取值范圍為[16,)．

xy8xy2

2xy

（2）由條件等式與基本不等式，得xyxy8，

xy2

2

令txy，得t24t320，

解得t8或t4（舍去），即xy8，

所以xy的取值范圍為[8,).

17．（15分）某廠家擬2024年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）

k

x萬件與年促銷費用m萬元m0滿足x4(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只

m1

能是2萬件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)

816x

品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計算）.

x

(1)求k的值；

(2)將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；

(3)該廠家2024年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

【答案】(1)2

16

(2)y36mm0

m1

(3)3萬元

【詳解】（1）由題意知，當(dāng)m0時，x2（萬件），

則24k，解得k2；

2

（2）由（1）可得x4.

m1

816x

所以每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5（元），

x

816x16

2024年的利潤y1.5x816xm36mm0.

xm1

（3）當(dāng)m0時，m10，

16

(m1)2168，當(dāng)且僅當(dāng)m3時等號成立.

m1

y83729，

16

當(dāng)且僅當(dāng)m1，即m3萬元時，ymax29（萬元）.

m1

故該廠家2024年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元.

18．（17分）已知正實數(shù)x，y滿足2x25xy2y22xy.

(1)求x2y的值；

32

(2)求的最小值；

3x1y

yzz5

(3)若z1，求4z的最小值.

xxyz1

【答案】(1)1

27

(2)

4

(3)21025

【詳解】（1）∵2x25xy2y22xy，∴2xyx2y2xy，

∵x，y為正數(shù)，∴2xy0，

∴x2y1．

（2）∵x2y1，∴3x16y4，

323121312

∴3x16y

3x1y3x16y43x16y

118y12(3x1)118y12(3x1)27

15152，

43x16y43x16y4

1

18y123x1x

9

當(dāng)且僅當(dāng)3x16y即時等號成立，

4

x2y1y

9

3227

故的最小值為．

3x1y4

（3）∵x2y1，

2

yzz5y15y(x2y)5x5y55

∴4zz4z4zz25

xxyz1xxyz1xxyz1yxz1z1

55

25(z1)25225(z1)2521025，

z1z1

x2y1x525

x5y

當(dāng)且僅當(dāng)，即y52時等號成立，

yx

2

5z1

25z12

z1

yzz5

故4z的最小值為21025．

xxyz1

19．（17分）（1）已知a，b，c均為正實數(shù)，且滿足abc3．證明：

b2c2a2

3．

abc

①

②a2bb2ab2cc2bc2aa2c32．

a4c4

（2）已知yax22xc，若a2，且對任意xR，不等式y(tǒng)0恒成立，求的最小值．

2a

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）8．

【詳解】（1）①a，b，c均為正實數(shù)，

b2

則a2b（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“＝”），

a

c2a2

同理可得：b2c，c2a（當(dāng)且僅當(dāng)bc，ca時等號成立），

bc

b2c2a2

故abc2a2b2c（當(dāng)且僅當(dāng)abc時取“＝”），

abc

b2c2a2

又abc3，故3；