3.2

函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增加的函數(shù)模型1.運(yùn)用計(jì)算工具,比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增加差別.2.結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增加等不同函數(shù)類型增加的含義.121.四種函數(shù)模型的性質(zhì)

12【做一做1】

函數(shù)y=2x與y=x2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(

)A.0 B.1 C.2 D.3解析:作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,在第一象限中有2個(gè)交點(diǎn),在第二象限中有1個(gè)交點(diǎn),即共有3個(gè)交點(diǎn).答案:D122.三種增加函數(shù)模型的比較(1)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).普通地,對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),通過(guò)探索能夠發(fā)現(xiàn),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),無(wú)論n比a大多少,盡管在x的一定變化范疇內(nèi),ax會(huì)不不不大于xn,但由于ax的增加緊于xn的增加,因此總存在一種x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有ax>xn.(2)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),隨著x的增大,logax增加得越來(lái)越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行同樣.盡管在x的一定變化范疇內(nèi),logax可能會(huì)不不不不大于xn,但由于logax的增加慢于xn的增加,因此總存在一種x0,當(dāng)x>x0時(shí),就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.12(3)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù).在區(qū)間(0,+∞)內(nèi),盡管函數(shù)y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù),但它們的增加速度不同,并且不在同一種“檔次”上.隨著x的增大,y=ax(a>1)的增加速度越來(lái)越快,會(huì)超出并遠(yuǎn)遠(yuǎn)不不不不大于y=xn(n>0)的增加速度,而y=logax(a>1)的增加速度則會(huì)越來(lái)越慢.因此,總會(huì)存在一種x0,當(dāng)x>x0時(shí),就有l(wèi)ogax<xn<ax.【做一做2】當(dāng)x>4時(shí),a=4x,b=log4x,c=x4,則有()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.b<c<a答案:D幾類常見(jiàn)函數(shù)模型的增加特點(diǎn)剖析:(1)直線模型:即一次函數(shù)模型y=kx+b(k≠0).現(xiàn)實(shí)生活中諸多事例能夠用直線模型體現(xiàn),例如,勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系,彈簧的伸長(zhǎng)與拉力的關(guān)系等.直線模型的增加特點(diǎn)是直線上升(x的系數(shù)k>0),通過(guò)圖象能夠很直觀地認(rèn)識(shí)它.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)體現(xiàn)的函數(shù)模型y=k·ax+b(k≠0)叫做指數(shù)函數(shù)模型.指數(shù)函數(shù)增加的特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快(底數(shù)a>1,ax的系數(shù)k>0),常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”.通過(guò)細(xì)胞分裂的實(shí)例以及函數(shù)圖象的變化都能夠清晰地看到“指數(shù)爆炸”的威力.(3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:能用對(duì)數(shù)函數(shù)體現(xiàn)的函數(shù)模型y=klogax+b(k≠0)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)模型.對(duì)數(shù)函數(shù)增加的特點(diǎn)是隨著自變量的增大(底數(shù)a>1,logax的系數(shù)k>0),函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢.題型一題型二題型三題型一題型二題型三解析:以爆炸式增加的變量是呈指數(shù)函數(shù)變化的.從表格中能夠看出,四個(gè)變量y1,y2,y3,y4均是從2開(kāi)始變化,變量y1,y2,y3,y4都是越來(lái)越大,但是增加速度不同,其中變量y2的增加速度最快,可知變量y2有關(guān)x呈指數(shù)函數(shù)變化.答案:y2反思選擇函數(shù)描述變化規(guī)律時(shí),當(dāng)增加速度最快且呈“爆炸”式增加時(shí),常選擇指數(shù)函數(shù)模型來(lái)描述;當(dāng)增加速度較慢時(shí),常選擇對(duì)數(shù)函數(shù)模型來(lái)描述;當(dāng)增加速度相對(duì)平穩(wěn)時(shí),常選擇冪函數(shù)模型來(lái)描述;當(dāng)增加的速度不變時(shí),常選擇一次函數(shù)模型來(lái)描述.題型一題型二題型三題型一題型二題型三【例2】甲、乙、丙三個(gè)公司分別到慈善總會(huì)捐款給某災(zāi)區(qū),捐款方式下列:甲公司:在10天內(nèi),每天捐款5萬(wàn)元給災(zāi)區(qū);乙公司:在10天內(nèi),第1天捐款1萬(wàn)元,后來(lái)每天比前一天多捐款1萬(wàn)元;丙公司:在10天內(nèi),第1天捐款0.1萬(wàn)元,后來(lái)每天捐款都比前一天翻一番.你覺(jué)得哪個(gè)公司最慷慨?分析:分別計(jì)算三個(gè)公司在10天內(nèi)的捐款總數(shù),捐款總數(shù)越大的公司越慷慨.題型一題型二題型三題型一題型二題型三由上表能夠看出,丙公司捐款最多,為102.3萬(wàn)元,即丙公司最慷慨.反思解答這類問(wèn)題的核心是明確“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增加”等函數(shù)增加差別,需注意冪函數(shù)的增加是介于兩者之間的.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】某汽車制造商在2016年初公示:公司計(jì)劃2016年生產(chǎn)目的定為43萬(wàn)輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量下列表所示:如果我們分別將2013,2014,2015,2016定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在你有兩個(gè)函數(shù)模型:二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪個(gè)模型能更加好地反映該公司年產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三易錯(cuò)點(diǎn)提取圖象信息錯(cuò)誤而造成解題錯(cuò)誤【例3】已知甲、乙兩物體在同始終線上向同一方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),其位移y(單位:km)和運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(單位:h)(0≤x≤5)的關(guān)系如圖所示,給出下列說(shuō)法:①甲、乙運(yùn)動(dòng)的速度相似,都是5km/h;②甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相似,開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后相等時(shí)間內(nèi)甲的位移比乙大;③甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相似,乙的速度是4km/h;④當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí)后,甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km處.其中對(duì)的的說(shuō)法是()A.③ B.①②③C.①③④ D.②③④題型一題型二題型三錯(cuò)解:經(jīng)分析,③是對(duì)的,故①錯(cuò);對(duì)于②,由于乙的圖象在甲的上方,因此應(yīng)是甲的位移比乙小,故②錯(cuò)誤;對(duì)于④,當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí)后,甲的位移為3×5=15(km),乙的位移為5+3×4=17(km),故④錯(cuò)誤.故選A.錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中因?qū)σ页霭l(fā)點(diǎn)的位置理解不精確造成判斷②④出錯(cuò).正解:經(jīng)分析③是對(duì)的,故①錯(cuò);對(duì)于②,甲、乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間顯然都是5小時(shí),由于甲的速度為5km/h,乙的速度為4km/h,因此開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后相等時(shí)間內(nèi)甲的位移比乙大,故②對(duì)的;對(duì)于④,當(dāng)甲、乙運(yùn)動(dòng)了3小時(shí)后,甲的位移為3×5=15(km),乙的位移為3×4=12(km).又由于乙是從甲前方5km處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的,因此甲的位移比乙大3km,但乙在甲前方2km處,因此④對(duì)的,故選D.題型一題型二題型三反思圖表型應(yīng)用問(wèn)題是高考中一道亮麗的風(fēng)景線.這類試題應(yīng)結(jié)合圖象的特性,觀察坐標(biāo)軸所代表的含義,緊緊圍繞題目的語(yǔ)言描述,并把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特性(單調(diào)性、最值等)即可得到完美的