第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)浙江省北斗星盟2025屆高三下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|0<x<2}，B={x∈Z||x|≤2}，則A∩B=A.{1,2} B.{0,1,2} C.{?1,0,1,2} D.{?2,?1,0,1,2}2.若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=21+i，則A.?1+13i B.13?i 3.已知單位向量a，b滿足|a+b|=2|a?b|A.13b B.25b C.4.“a=2”是“函數(shù)f(x)=ln(x2?ax+1)的值域?yàn)锳.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于動(dòng)直線l:mx?y?m+1=0(m∈R)的對(duì)稱點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的軌跡為(

)A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線6.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)和函數(shù)g(x)=2cos(ωx+φ)的圖象上相鄰的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為A.ω=4π，φ=π4 B.ω=4π，φ=π3

C.ω=8π，φ=π7.已知函數(shù)f(x)滿足f(1)=2，且對(duì)?x∈R，f(x+1)=1?1f(x)，則滿足i=1nf(i)≤1015的正整數(shù)A.2026 B.2027 C.2028 D.20298.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C:(x2+y2)2=2x2A.22 B.2 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在足球訓(xùn)練課上，A，B兩位同學(xué)進(jìn)行“點(diǎn)球”比賽，規(guī)則為：比賽共進(jìn)行5輪，在每輪比賽中，兩人各罰點(diǎn)球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次點(diǎn)球命中的概率分別為PA，PB，(PA,PB∈(0,1))，若5輪比賽后A，BA.若E(XA)<E(XB)，則PA<PB

B.P(XA=X10.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，且|AF1|=|FA.橢圓C的離心率e=12 B.cos∠F1PF211.如圖，四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD為等腰直角三角形，底面ABCD為矩形，AB⊥PD，PA=PD=2，若該四棱錐存在內(nèi)切球，且其內(nèi)切球球心為O1，其外接球球心為O2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.平面PAD⊥平面ABCD

B.四棱錐P?ABCD的內(nèi)切球半徑為2?1

C.四棱錐P?ABCD的體積為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=ex?a,x>0,be?x13.已知α，β∈(0,π2)，且滿足sinαtanβ=2cos214.人工智能(Artificial

Intelligence)，英文縮寫(xiě)為AI.是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)力量，是研究、開(kāi)發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的科學(xué).某商場(chǎng)在有獎(jiǎng)銷售的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)時(shí)，采用AI技術(shù)生成獎(jiǎng)券碼：在每次抽獎(jiǎng)時(shí)，顧客連續(xù)點(diǎn)擊按鍵5次，每次點(diǎn)擊隨機(jī)生成數(shù)字0或1或2，點(diǎn)擊結(jié)束后，生成的5個(gè)數(shù)字之和即為獎(jiǎng)券碼.并規(guī)定：如果獎(jiǎng)券碼為0，則獲一等獎(jiǎng);如果獎(jiǎng)券碼為3的正整數(shù)倍，則獲二等獎(jiǎng)，其它情況不獲獎(jiǎng).已知顧客甲參加了一次抽獎(jiǎng)，則他獲二等獎(jiǎng)的概率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=2，PD=AB=4，M，N為別為棱PB，CD的中點(diǎn)．

(1)證明：MN/?/平面PAD;(2)求平面PMN與平面AMN的夾角的余弦值．16.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=a(x?1)e(1)若曲線y=f(x)在x=?1處的切線過(guò)點(diǎn)(0,?3)，求實(shí)數(shù)a的值;(2)當(dāng)1e2<a<217.(本小題15分)

如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=2，BD=22，∠AOB=3π4，且△AOD和△BOC(1)若AB=2，求OA的長(zhǎng);(2)若sin2∠DAO+sin∠OBC=1，求18.(本小題17分)

已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，且四點(diǎn)A((1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖，P，Q，R分別為雙曲線E上位于第一、二、四象限的點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O分別作直線PQ，PR的垂線，垂足分別為M，N，且|OM|=|ON|=(ⅰ)證明：Q，O，R三點(diǎn)共線;(ⅱ)求△PQR面積的最小值．19.(本小題17分)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且b1=1，2Sn=nbn+1，當(dāng)數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)大于2時(shí)，將數(shù)列{bn}中各項(xiàng)的所有不同排列填入一個(gè)n!行n列的表格中(每個(gè)格中一個(gè)數(shù)字)，使每一行均為這n個(gè)數(shù)的一個(gè)排列.將第i(1≤i≤n!,i∈N)行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作{ain(1)求數(shù)列{bn(2)當(dāng)數(shù)列{bn}的項(xiàng)數(shù)為4時(shí)，求(3)若數(shù)列{ain}為數(shù)列{bn答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳={x|0<x<2}={x|0<x<4}，

B={x∈Z||x|≤2}={?2,?1,0,1,2}，

所以A∩B={1,2}，

2.【答案】B

【解析】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，

則2z+z=3a+bi=21+i=2(1?i)(1+i)(1?i)=1?i，

所以3a?=?1b???=??1解得a=3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閱挝幌蛄縜，b滿足|a+b|=2|a?b|

即a+b2=4a?b2，

解得4.【答案】A

【解析】解：若a=2，函數(shù)f(x)=ln(x2?2x+1)的值域?yàn)镽，

若函數(shù)f(x)=ln(x2?ax+1)的值域?yàn)镽，當(dāng)且僅當(dāng)二次函數(shù)y=x2?ax+1的值域包含0,+∞

所以(a25.【答案】A

【解析】解：由mx?y?m+1=0得m(x?1)?(y?1)=0，所以直線l過(guò)定點(diǎn)B(1,1)，

又|OB|=|AB|=2，所以點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為2，

所以點(diǎn)A的軌跡為以B為圓心的圓．

6.【答案】C

【解析】解：由題2πω×22=22，得ω=8π，

由f(1)=g(1)，得sin(8π+φ)=cos(8π+φ)，

即sin7.【答案】C

【解析】解：由題，f(x+2)=1?1f(x+1)=1?11?1f(x)=11?f(x)，

f(x+3)=1?1f(x+2)=1?(1?f(x))=f(x)，所以f(x)周期為3

又f(1)=2，f(2)=1?1f(1)=12，f(3)=1?1f(2)=?1，f(4)=1?1f(3)=2，8.【答案】B

【解析】解：設(shè)P(x0,y0)，則(x02+y02)2=2x02?2y02，當(dāng)點(diǎn)P位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，|OP|=0；

當(dāng)點(diǎn)P異于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可得x02+y02=2×x02?y9.【答案】ACD

【解析】解：由題隨機(jī)變量XA∽B(5,PA)，XB∽B(5,PB)，故E(XA)=5PA，E(XB)=5PB，

若E(XA)<E(XB)，則PA<PB，A正確;

若P(XA=XB=3)=P(XA:XB=2:3)，

則C53PA3(1?PA)2C53PB3(1?PB)210.【答案】AC

【解析】解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的對(duì)稱性可知|AF1|=|F1F2|=|AF2|=2，

所以c=1，a=12(|AF1|+|AF2|)=2，故e=ca=12，A正確;

cos∠F1PF2=|PF1|211.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥PD，AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，A正確：

因?yàn)閭?cè)面PAD為等腰直角三角形，PA=PD=2，所以PA⊥PD，AD=2，

因?yàn)镻A=PD，AB=CD，所以△PAB≌△PDC，易知CD⊥平面PAD，該四棱錐的內(nèi)切球在平面PAD上的“正投影”為△PAD的內(nèi)切圓，

設(shè)△PAD的內(nèi)切圓半徑為r，則r=12(PA+PD?AD)=2?1，所以四棱錐P?ABCD的內(nèi)切球半徑為2?1，B正確;

分別取AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接PE，EF，PF，則PE⊥EF，又平面PBC截內(nèi)切球所得的圓為大圓，且切點(diǎn)在PF上，

設(shè)AB=x，則PE=1，EF=x，PF=x2+1，所以12(1+x?x2+1)=2?1，得x=22，

所以四棱錐P?ABCD的體積V=13×212.【答案】?3

【解析】解：當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，f(?x)=e?x?a=?f(x)=?be?x+2，

所以a=?2，b=?1，所以13.【答案】45【解析】解：由sinαtanβ=2cos2α2得sinαsinβ=(1+cosα)cosβ，

即cos(α+β)=?cosβ，故α+β=π?β，

又因?yàn)棣?4.【答案】80243【解析】解：設(shè)一次抽獎(jiǎng)所生成的獎(jiǎng)券碼為S，生成的5個(gè)數(shù)字中有x(0≤x≤5,x∈N)個(gè)0，y(0≤y≤5,y∈N)個(gè)1，

則S=y+2(5?x?y)=10?(2x+y)，

由題可知0≤x+y≤5.

若獲得二等獎(jiǎng)，則S為3的正整數(shù)倍，故2x+y可取的值為1，4，7．

當(dāng)2x+y=1時(shí)，(x,y)的取值為(0,1)，共有C51=5種情況;

當(dāng)2x+y=4時(shí)，(x,y)的可能取值為(0,4)，(1,2)，(2,0)，共有C54+C51C42+C52=45種情況15.【答案】(1)證明：取AB中點(diǎn)E，連接ME，NE，

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，N為CD的中點(diǎn)，所以EN//AD，

因?yàn)镸為PB中點(diǎn)，所以ME//PA，

因?yàn)镋N∩ME=E，EN，ME?平面MEN，

所以平面MEN//平面PAD，

因?yàn)镸N?平面MEN，

所以MN/?/平面PAD．

(2)解：由題，直線DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,2,2)，N(0,2,0)，

設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，

則m?PM=0m?PN=0，即x+2y?2z=02y?4z=0，令y=2，得x=?2，z=1，

所以m=(?2,2,1)．

同理可得平面AMN的一個(gè)法向量為n=(2,2,?1)，

|cos<16.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)=axex?2，所以f′(?1)=?ae?2，又f(?1)=?(2ae?2)，

所以線f(x)在x=?1處的切線方程為y+2ae?2=(?2?ae)(x+1)，

將點(diǎn)(0,?3)代入得3ae=3，解得a=e．

(2)證明：f′(x)=axex?2，設(shè)g(x)=axex?2，則g′(x)=a(1+x)ex，

因?yàn)?e2<a<2e，所以當(dāng)x∈(?∞,?1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)即f′(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(?1,+∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)即f′(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)<0，f′(0)=?2<0，f′(1)=ae?2<2e×e?2=0，f′(2)=2ae2?2>2×1e2×e2?2=0，

所以存在唯一的x17.【答案】解：(1)由題，∠BOC=∠AOD=π4，

因?yàn)椤鰽OD和△BOC的外接圓半徑相等，

由正弦定理得BCsin∠BOC=ADsin∠AOD，所以BC=AD，

設(shè)OC=x(0<x<2)，OD=y(0<y<22)，則AO=2?x，OB=22?y，

在△AOD中，由余弦定理得：AD2=AO2+OD2?2AO?ODcos∠AOD，

即AD2=(2?x)2+y2?2(2?x)y×22，

在△BOC中，由余弦定理得：BC2=OC2+OB2?2OC?OBcos∠BOC，

即BC2=x2+(22?y)2?2x(22?y)×22，

所以(2?x)2+y2?2(2?x)y×22=x2+(22?y)2?2x(22?y)×22，

解得y=2，即OB=OD=2，18.【答案】解：(1)由題，點(diǎn)A(3,2)，B(2,6)，C(2,?6)，D(3,2)中恰有三點(diǎn)在E上，

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，點(diǎn)B(2,6)，C(2,?6)都在雙曲線上．

在第一象限內(nèi)，雙曲線的圖象是“上升的”，所以點(diǎn)D(3,2)不在雙曲線E上，

所以點(diǎn)A(3,2)，B(2,6)，C(2,?6)為雙曲線上的點(diǎn)，

代入x2a2?y2b2=1得3a2?4b2=1,4a2?6b2=1，解得a2=1，b2=2，

所以E的標(biāo)準(zhǔn)方程為E:x2?y22=1．

(2)(i)證明：由題可知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ:y=kx+m，

則|OM|=|m|1+k2=2，故m2=2+2k2，

把y=kx+m代入E:x2?y22=1得：19.【答案】解：(1)由題b1=1，2b1=b2，解得b2=2，

由2Sn=nbn+1得2Sn+1=(n+1)bn+2，

兩式作差得2bn+1=(n+1)bn+2?nbn+1，即bn+2bn+1=n+2n+1，

所以b3b2=32，b4b3=43，b5b4=54，??，bnbn?1=nn?1(n≥3)，

累乘得：bnb2=n2，即bn=n(n≥3