§2.1向量的概念及表示第2章

平面向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一向量的概念思考1

在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？答案面積、質(zhì)量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2

兩個(gè)數(shù)量可以比較大小，那么兩個(gè)向量能比較大小嗎？答案數(shù)量之間可以比較大小，而兩個(gè)向量不能比較大小.答案向量與數(shù)量(1)向量：既有

，又有

的量稱為向量.(2)數(shù)量：只有

，沒有

的量稱為數(shù)量.梳理大小方向大小方向思考1

知識(shí)點(diǎn)二向量的表示方法向量既有大小又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？答案可以用一條有向線段表示.思考2

0的模是多少？0有方向嗎？答案0的模為0，方向任意.答案思考3

單位向量的模是多少？答案單位向量的模為1個(gè)單位長度.答案(1)向量的幾何表示：向量可以用一條有向線段表示.帶有

的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素：

、

、

，如圖所示.梳理長度長度等于1個(gè)單位方向起點(diǎn)方向長度為00思考1

知識(shí)點(diǎn)三向量間的關(guān)系已知A，B為平面上不同兩點(diǎn)，那么向量

相等嗎？它們共線嗎？答案因?yàn)橄蛄?/p>

方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線.答案思考2

向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？答案不相同，由相等向量定義可知，向量可以任意移動(dòng).由于任意一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫做共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合.思考3

若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c嗎？答案不一定.因?yàn)楫?dāng)b＝0時(shí)，a，c可以是任意向量.答案(1)相等向量：

且

的向量叫做相等向量.(2)平行向量：方向

的

向量叫做平行向量.①記法：向量a平行于b，記作

.②規(guī)定：零向量與

平行.(3)共線向量：由于任意一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以

向量也叫做共線向量.也就是說，平行向量與共線向量是等價(jià)的，因此要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.梳理平行長度相等方向相同相同或相反非零a∥b任一向量1.向量就是有向線段.(

)提示向量可以用有向線段來表示，但并不能說向量就是有向線段.2.若a，b都是單位向量，則a＝b.(

)提示a與b都是單位向量，則|a|＝|b|＝1，但a與b方向可能不同.3.若a＝b，且a與b的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.(

)提示若a＝b，則a與b的大小和方向都相同，那么起點(diǎn)相同時(shí)，終點(diǎn)必相同.[思考辨析判斷正誤]××√答案提示題型探究類型一向量的概念例1下列說法中，正確的是

.①向量

的長度相等；②兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同；③零向量沒有方向；④兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同.答案解析①④解析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的方向不確定，并不是沒有方向；故②③都錯(cuò)誤，①④正確.反思與感悟解決向量概念問題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意方向問題.跟蹤訓(xùn)練1下列說法正確的有

.(填序號(hào))①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②向量

是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一條直線上；③向量

是平行向量.答案解析③解析①錯(cuò)誤.|a|＝|b|僅說明a與b的模相等，不能說明它們方向的關(guān)系.②錯(cuò)誤.共線向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求兩個(gè)向量

必須在同一直線上，因此點(diǎn)A，B，C，D不一定在同一條直線上.③正確.向量

是長度相等，方向相反的兩個(gè)向量.類型二共線向量與相等向量例2

如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).(1)寫出與

共線的向量；解因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，解答解答反思與感悟(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反.(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.(1)與

的模相等的向量有多少個(gè)？解與

的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有兩個(gè)向量，所以這樣的向量共有23個(gè).解答(2)是否存在與

長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？解存在.由正六邊形的性質(zhì)可知，BC∥AO∥EF，(3)與

共線的向量有哪些？解由(2)知，BC∥OA∥EF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，解答類型三向量的表示及應(yīng)用例3一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50°的方向走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)D點(diǎn).解答∴在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，

解答反思與感悟準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使b＝a；解根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略).(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝

，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？解由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為

的圓(作圖略).解答達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

.①溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；②向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④若|a|>|b|，則a>b.1解析①溫度沒有方向，所以不是向量，故①錯(cuò)；②向量的模也可以為0，故②錯(cuò)；④向量不可以比較大小，故④錯(cuò)；③若a，b中有一個(gè)為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故③對(duì).1234答案解析12342.有下列說法：①若向量a與向量b不平行，則a與b方向一定不相同；②若a≠b，則a一定不與b共線；③由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行.其中，正確說法的個(gè)數(shù)是

.答案解析11234解析對(duì)于①，由共線向量的定義知，兩向量不平行，方向一定不相同，故①正確；對(duì)于②，兩個(gè)向量不相等，可能是長度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，故