近兩年高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在2022年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)中，函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知函數(shù)g(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值，則φ的值為

A.π/4

B.3π/4

C.π/2

D.0

3.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1且z^3=1，則z的值可能是

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，則該三角形的形狀是

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，若a_1=2，則a_5的值為

A.16

B.32

C.64

D.128

6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在曲線x^2+4y^2=4上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線x-2y=0的距離的最小值是

A.1

B.√2

C.√3

D.2

7.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值是

A.2

B.3

C.4

D.5

8.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=27，則a_6+a_8+a_10的值為

A.27

B.36

C.45

D.54

9.已知圓O的半徑為2，直線l的方程為x-y+1=0，則圓心O到直線l的距離是

A.1

B.√2

C.√3

D.2

10.在展開式(1+x)^10中，x^5的系數(shù)是

A.252

B.253

C.254

D.255

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.在2023年全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)中，下列函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)的是

A.y=-2x+1

B.y=3^x

C.y=1/x

D.y=sin(x+π/2)

2.已知函數(shù)f(x)=cos(2x-φ)，若f(π/4)=0且f'(π/4)>0，則φ的可能值為

A.π/4

B.3π/4

C.5π/4

D.7π/4

3.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)滿足|z|=√5且arg(z)=π/3，則z的共軛復(fù)數(shù)z的模為

A.√5

B.5

C.1

D.2

4.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，則下列結(jié)論正確的是

A.cosA=4/5

B.sinB=3/5

C.tanC=3/4

D.△ABC的面積為6

5.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+n(n≥1)，則下列說(shuō)法正確的是

A.{a_n}是等差數(shù)列

B.{a_n}是等比數(shù)列

C.a_5=81

D.S_10=990

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+3在x=1時(shí)取得最小值，則a的值為______。

2.不等式|3x-2|>x+4的解集為______。

3.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且a=2，b=3，c=√13，則cosB的值為______。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=S_n-S_{n-1}(n≥2)，若a_1=1，S_4=15，則a_4的值為______。

5.在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9，則圓C上的點(diǎn)到直線2x-y+5=0的距離的最大值為______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

```

x+2y-z=1

2x-y+z=0

-x+y+2z=3

```

3.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

4.已知向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，求向量a和向量b的夾角余弦值。

5.在等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，公比q=2，求前n項(xiàng)和S_n以及第n項(xiàng)a_n的表達(dá)式。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：f'(x)=1/(x+1)-1=0，得x=0，f(0)=0，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

2.C

解析：sin(π/2+φ)=1，得φ=π/2。

3.D

解析：?jiǎn)挝粓A上滿足z^3=1的點(diǎn)是1和兩個(gè)復(fù)數(shù)根，-i是其中一個(gè)。

4.B

解析：由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:4:5，設(shè)sinA=3k,sinB=4k,sinC=5k，則3k+4k+5k=π，k=π/12，sinC=5π/12>π/2，故為鈍角三角形。

5.C

解析：a_n=S_n-S_{n-1}，故數(shù)列為等比數(shù)列，公比q=S_n/S_{n-1}=a_n+a_{n-1}，a_1=2，a_2=S_2-S_1=a_1+a_2，得a_2=4，q=2，a_5=2*2^4=32。

6.B

解析：利用點(diǎn)到直線距離公式，最小值即為半長(zhǎng)軸a/√(1^2+(-2)^2)=2/√5=√2。

7.D

解析：f'(x)=3x^2-6x+2=0，得x=1±√3/3，f(-1)=5，f(1-√3/3)=4，f(1+√3/3)=2，f(3)=2，故最大值為5。

8.C

解析：設(shè)首項(xiàng)為a，公差為d，a+5d+9d=27，即a+14d=27，a+6d+a+8d+a+10d=3a+24d=3(a+8d)=3*9=27，故a+8d=9，a+14d=27，解得a=-33,d=3，a_6+a_8+a_10=27。

9.B

解析：圓心(0,0)到直線x-y+1=0的距離d=|0-0+1|/√(1^2+(-1)^2)=√2。

10.A

解析：二項(xiàng)式系數(shù)C(10,5)=252。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.AB

解析：y=-2x+1是斜率為-2的直線，y=3^x是指數(shù)函數(shù)，均為增函數(shù)。

2.AC

解析：f(π/4)=cos(π/2-φ)=0，得φ=kπ+π/2，f'(x)=-2sin(2x-φ)，f'(π/4)=-2sin(π/2-φ)=-2cosφ，若f'(π/4)>0，則cosφ<0，得φ=π/2+π/2=π或3π/2+π/2=5π/4。

3.AD

解析：z=a+bi，|z|=√5，arg(z)=π/3，得a=√5cos(π/3)=√5*1/2=√5/2，b=√5sin(π/3)=√5*√3/2，z=√5/2+√15/2i，z=√5/2-√15/2i，|z|=√((√5/2)^2+(-√15/2)^2)=√5。

4.ABCD

解析：由勾股定理知△ABC為直角三角形，A=π/2，cosA=4/5，sinB=a/c=3/5，tanC=b/a=4/3，面積S=1/2*3*4=6。

5.CD

解析：a_{n+1}=2a_n+n，a_2=2a_1+1=3，a_3=2a_2+2=8，a_4=2a_3+3=19，不是等差數(shù)列；a_2/a_1=3，a_3/a_2=8/3，a_4/a_3=19/8，不是等比數(shù)列；S_n=a_1+a_2+...+a_n，a_n=a_{n-1}+n-1，利用迭代可得a_n=2^n-1，S_n=2^n-n-1，a_5=2^5-1=31，S_10=2^10-10-1=990。

三、填空題答案及解析

1.1

解析：f(x)=-2x^2+2x+3，對(duì)稱軸x=a，x=1=a，得a=1。

2.(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析：|3x-2|>x+4，分3x-2≥0和3x-2<0兩種情況討論，解得x<-1或x>2。

3.3/4

解析：由余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(2^2+√13^2-3^2)/(2*2*√13)=3/4。

4.6

解析：a_n=S_n-S_{n-1}，故數(shù)列為等差數(shù)列，公差d=a_n-a_{n-1}=S_n-S_{n-1}-S_{n-2}=a_n，故d=0，數(shù)列為常數(shù)列，a_n=a_1=1，S_4=4a_1=4，矛盾，重新理解a_n=S_n-S_{n-1}，a_2=S_2-S_1=a_1+a_2-a_1=a_2，d=0，數(shù)列為常數(shù)列，a_n=1，S_4=4，矛盾，重新理解題意，a_n=S_n-S_{n-1}，a_1=1，S_4=15，S_3=15-6=9，a_3=9-4=5，S_2=9-5=4，a_2=4-1=3，S_1=4-3=1，a_1=1，a_2=3,a_3=5,a_4=7，故a_4=7。

5.8

解析：圓心(1,-2)到直線2x-y+5=0的距離d=|2*1-(-2)+5|/√(2^2+(-1)^2)=9/√5=9√5/5，最大距離為d+半徑=9√5/5+3=3(3√5+5)/5。

四、計(jì)算題答案及解析

1.x^2/2+x+3ln|x+1|+C

解析：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)+3/(x+1))dx=∫(x-1+1+2+3/(x+1))dx=∫(x+2+3/(x+1))dx=x^2/2+2x+3ln|x+1|+C。

2.x=1,y=0,z=-1

解析：①×2+②得3y+z=2，①-②×2得-5y-3z=-1，解得y=1,z=-1，代入①得x=1，故解為(x,y,z)=(1,1,-1)。

3.最大值5，最小值-2

解析：f'(x)=3x^2-6x+2=3(x^2-2x+2/3)=3((x-1)^2-1/3)=0，得x=1±√3/3，f(-2)=-2，f(1-√3/3)=4-2√3，f(1+√3/3)=4+2√3，f(3)=6，故最大值為max{6,4+2√3}，最小值為min{-2,4-2√3}。

4.√5/10

解析：cosθ=|a·b|/|a||b|=|(1)(2)+(2)(-1)+(-1)(1)|/√(1^2+2^2+(-1)^2)√(2^2+(-1)^2)=|-1|/√6√5=√5/10。

5.S_n=2^n-1,a_n=2^{n-1}

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本試卷涵蓋的理論基礎(chǔ)部分主要包括函數(shù)、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)。

一、選擇題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算與表示，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，解析幾何中的直線與圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)。

二、多項(xiàng)選擇題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算與表示，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，解析幾何中的直線與圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，需要考生具備較強(qiáng)的綜合分析能力。

三、填空題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算與表示，數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和，解析幾何中的直線與圓的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，需要考生具備較強(qiáng)的計(jì)算能力。

四、計(jì)算題主要考察了不定積分的計(jì)算，線性方程組的解法，函數(shù)的最值，向量的夾角余弦值，等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和等知識(shí)點(diǎn)，需要考生具備較強(qiáng)的綜合分析能力和計(jì)算能力。

示例

示例1：計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/(x+1)+2x/(x+1)