課題3.1不等關(guān)系與不等式第課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題了解不等式的基本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)用不等式或不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問題教學(xué)難點(diǎn)用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系，用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問題教學(xué)方法(1)通過列不等式，訓(xùn)練學(xué)生的分析判斷能力和邏輯推理能力；(2)設(shè)計(jì)較典型的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性．教學(xué)過程：步驟、內(nèi)容、教學(xué)活動(dòng)二次備課【問題導(dǎo)思】某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.你能用不等式表示對(duì)脂肪和蛋白質(zhì)含量的規(guī)定嗎？【提示】f≥2.5%，p≥2.3%.我們經(jīng)常應(yīng)用不等式來研究含有不等關(guān)系的問題，常用的不等號(hào)有：>、<、≥、≤、≠.作差法比較實(shí)數(shù)的大?。骸締栴}導(dǎo)思】想一想，怎樣比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小？【提示】用作差法．作差法比較兩實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小依據(jù)如果a－b>0，那么a>b.如果a－b<0，那么a<b.如果a－b＝0，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N*，n≥2)同正8可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)《鐵路旅行常識(shí)》規(guī)定：“一、隨同成人旅行身高1.2～1.5米的兒童，享受半價(jià)客票(以下稱兒童票)，超過1.5米時(shí)，應(yīng)買全價(jià)票．每一成人旅客可免費(fèi)帶一名身高不足1.2米的兒童，超過一名時(shí)，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票．……十、旅客免費(fèi)攜帶品的體積和重量是：每件物品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過160厘米，桿狀物品不超過200厘米，重量不超過20千克……”設(shè)身高為h(米)，物品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和為P(厘米)，請(qǐng)用不等式表示下表中的不等關(guān)系．文字表述身高在1．2～1.5米之間身高超過1.5米身高不足1.2米物體長(zhǎng)、寬、高之和不超過160厘米符號(hào)表示【思路探究】(1)你能找出題目中說明不等關(guān)系的詞語嗎？(2)你能理解它們的含義并用不等式表示出來嗎？【自主解答】身高在1.2～1.5米之間可表示為1.2≤h≤1.5，身高超過1.5米可表示為h>1.5，身高不足1.2米可表示為0<h<1.2，物體長(zhǎng)、寬、高之和不超過160厘米可表示為P≤160.【答案】1.2≤h≤1.5；h>1.5；0<h<1.2；P≤1601．用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要注意體會(huì)關(guān)鍵詞的含義，如本例中的“在……之間”、“不足”、“不超過”等，對(duì)于實(shí)際問題中不要漏掉隱含條件．2．文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換．將實(shí)際問題中的不等關(guān)系寫成對(duì)應(yīng)的不等式時(shí)，問題中關(guān)鍵性的文字語言與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言之間的正確轉(zhuǎn)換，關(guān)系到是否能正確地用不等式表示出不等關(guān)系．3．常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)的轉(zhuǎn)換大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤用不等式表示下列關(guān)系：(1)x為非負(fù)數(shù)；(2)x為實(shí)數(shù)，而且大于1不大于6；(3)x與y的平方和不小于2，而且不大于10.【解】(1)x≥0.(2)x∈R且1<x≤6.(3)2≤x2＋y2≤10.作差法比較兩數(shù)(式)的大小已知x>1，比較x3－1與2x2－2x的大小．【思路探究】(1)本題可以用作差法比較嗎？(2)作差后要作怎樣的變化，推得什么樣的結(jié)果？【自主解答】x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]．∵x>1，∴x－1>0.又(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴(x－1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]>0.∴x3－1>2x2－2x.1．本題采用的是作差法比較大小，一般地，涉及兩個(gè)代數(shù)式比較大小，常用作差法．2．作差法比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小可以歸納為“三步一結(jié)論”，即作差→變形→定號(hào)→結(jié)論．其中變形為關(guān)鍵，定號(hào)為目的．在變形中，一般變形得越徹底，越有利于下一步的判斷．在定號(hào)中，若為幾個(gè)因式積，需對(duì)每個(gè)因式均先定號(hào)，若符號(hào)不確定時(shí)，需進(jìn)行討論．將例題中“x>1”改為“x∈R”，試比較x3－1與2x2－2x的大?。窘狻?x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，∵x2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，∴當(dāng)x>1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)>0，即x3－1>2x2－2x；當(dāng)x＝1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)＝0，即x3－1＝2x2－2x；當(dāng)x<1時(shí)，(x－1)(x2－x＋1)<0，即x3－1<2x2－2x.不等式的基本性質(zhì)及應(yīng)用(1)已知a>b，e>f，c>0.求證：f－ac<e－bc；(2)若bc－ad≥0，bd>0.求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).【思路探究】(1)不等式f－ac<e－bc是由已知條件怎樣變換產(chǎn)生的？每一步變換都涉及到不等式的什么性質(zhì)？(2)不等式eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)能否變換為eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1？怎樣由已知條件導(dǎo)出eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)？【自主解答】證明：(1)∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc.(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd>0，∴eq\f(a,b)≤eq\f(c,d)，∴eq\f(a,b)＋1≤eq\f(c,d)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明時(shí)要善于尋找欲證不等式的已知條件，利用相應(yīng)的不等式性質(zhì)證明；要注意觀察一個(gè)不等式是不是在某個(gè)已知條件的兩邊同乘以(除以)一個(gè)常數(shù)；一個(gè)不等式是不是某兩個(gè)同向不等式相加得到的；一個(gè)不等式是不是將一個(gè)不等式的兩邊取了倒數(shù)而得到的等等．已知a>b>0，c<d<0，e<0.求證：eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).【證明】∵c<d<0，∴－c>－d>0，又∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，即a－c>b－d>0，∴0<eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－d)，又∵e<0，∴eq\f(e,a－c)>eq\f(e,b－d).(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第52頁)錯(cuò)用不等式的性質(zhì)致誤已知12<a<60,15<b<36，求a－b及eq\f(a,b)的取值范圍．【錯(cuò)解】∵12<a<60,15<b<36，∴12－15<a－b<60－36，eq\f(12,15)<eq\f(a,b)<eq\f(60,36)，∴－3<a－b<24，eq\f(4,5)<eq\f(a,b)<eq\f(5,3).【錯(cuò)因分析】同向不等式不能相減，也不能直接相除．【防范措施】利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某代數(shù)式的范圍是一類常見的綜合問題，解題時(shí)要緊扣不等式的基本性質(zhì)，不能直接將幾個(gè)已知不等式相加(減或相乘除)．【正解】∵15<b<36，∴－36<－b<－15.∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.由15<b<36，知eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15).又12<a<60，∴eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，即eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.綜上，－24<a－b<45，eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.1．使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化它們成立的條件，盲目套用．2．用不等式(組)表示實(shí)際問題中不等關(guān)系的步驟(1)審題．通讀題目，分清楚已知量和未知量，設(shè)出未知量；(2)找關(guān)系．尋找已知量與未知量之間有哪些不等關(guān)系(即滿足什么條件，同時(shí)注意隱含條件)；(3)列不等式(組)．建立已知量和未知量之間的關(guān)系式．3．作差法比較大小的關(guān)鍵步驟是變形，變形時(shí)常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段進(jìn)行.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第53頁)1．(2013·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)－c>b－dB．a(chǎn)c>bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d>b＋c【解析】∵b<a，d<c，∴b＋d<a＋c.【答案】C2．如果a>b，那么下列不等式一定成立的是()A．c－a>c－b B．－2a>－2C．a(chǎn)＋c>b＋c D．a(chǎn)2>b2【解析】A中，(c－a)－(c－b)＝b－a<0，∴A錯(cuò)誤；B中，－2a－(－2b)＝2(b－a)<0，∴C中，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，∴C正確；D中，取a＝0，b＝－3，顯然0<9，∴D錯(cuò)誤．【答案】C3．已知x<1，則x2＋2與3x的大小關(guān)系為________．【解析】x2＋2－3x＝(x－2)(x－1)，而x<1，∴x－2<0，x－1<0，∴x2＋2－3x>0，∴x2＋2>3x.【答案】x2＋2>3x4．用不等式表示下列不等關(guān)系．(1)今天的天氣預(yù)報(bào)說：明天早晨最低溫度為7℃，白天最高溫度為13℃.(2)△ABC的任意兩邊之和大于第三邊．【解】(1)設(shè)明日氣溫為t，則7≤t≤13(單位：℃)．(2)設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b,b＋c>a)).一、選擇題1．下列說法正確的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．小明的身高x，小華的身高y，則小明比小華矮表示為“x>y”C．某變量x至少是a可表示為“x≥a”D．某變量y不超過a可表示為“y≥a”【解析】對(duì)于A，x應(yīng)滿足x≤2000，故A錯(cuò)；對(duì)于B，x，y應(yīng)滿足x<y，故B不正確；C正確；對(duì)于D，y與a的關(guān)系可表示為y≤a，故D錯(cuò)誤．【答案】C2．(2013·岳陽高二檢測(cè))已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足a>b，則下列不等式成立的是()A．a(chǎn)2>b2B.eqB.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a(chǎn)2b>ab2D.eqD.\f(a,b2)>eq\f(b,a2)【解析】當(dāng)a>b且a、b均小于零時(shí)，a2<b2，A不正確；當(dāng)a>b，則ab<0時(shí)，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，B不正確；當(dāng)ab<0時(shí)，C不正確；只有D選項(xiàng)正確．【答案】D3．(2013·南昌高二檢測(cè))若a>b且c∈R，則下列不等式中一定成立的是()A．a(chǎn)>bc B．a(chǎn)2>b2C．a(chǎn)＋c>b＋c D．a(chǎn)c2>bc2【解析】對(duì)于A：當(dāng)0>a>b，c<0時(shí)不成立；對(duì)于B：當(dāng)0>a>b時(shí)不成立；對(duì)于D：當(dāng)c＝0時(shí)不成立，C正確．【答案】C4．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)b>acC．a(chǎn)|b|>c|b| D．a(chǎn)2>b2>c2【解析】由a＋b＋c＝0，a>b>c，得a>0，c<0.∵b>c，∴ab>ac.【答案】B5．已知c>1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，則x，y之間的大小關(guān)系是()A．x>y B．x＝y(tǒng)C．x<y D．x，y的關(guān)系隨c而定【解析】∵x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)＝eq\f(1,\r(c＋1)＋\r(c))，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)＝eq\f(1,\r(c)＋\r(c－1))，∴x<y.【答案】C二、填空題6．一個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，且這個(gè)兩位數(shù)大于50，可用不等式表示為________．【解析】這個(gè)兩位數(shù)可以寫成10b＋a，由題意，10b＋a>50.【答案】10b＋a>507．若－1<x<y<0，則eq\f(1,x)，eq\f(1,y)，x2，y2的大小關(guān)系為________．【解析】∵－1<x<y<0，∴1>－x>－y>0，xy>0，∴x2>y2，eq\f(1,x)>eq\f(1,y).∵y2>0，eq\f(1,x)<0，∴x2>y2>eq\f(1,x)>eq\f(1,y).【答案】x2>y2>eq\f(1,x)>eq\f(1,y)8．(2013·深圳高二檢測(cè))給出以下四個(gè)命題：①a＞b?an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|?an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0?eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命題的序號(hào)是________．【解析】①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．【答案】②③三、解答題9．已知a>b>c，求證：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.【證明】原不等式變形為：eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)>eq\f(1,a－c).又∵a>b>c，所以a－c>a－b>0，∴eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)，又eq\f(1,b－c)>0，∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)>eq\f(1,a－c)，即eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)>0.10．某球迷協(xié)會(huì)一行56人從旅館乘出租車到球場(chǎng)為球隊(duì)加油，現(xiàn)有A、B兩個(gè)出租車隊(duì)，A隊(duì)比B隊(duì)少3輛車．若全部安排乘A隊(duì)的車，每輛車坐5人，車不夠，每輛車坐6人，有的車未坐滿；若全部安排乘B隊(duì)的車，每輛車坐4人，車不夠，每輛車坐5人，有的車未坐滿．試用不等式表示上述不等關(guān)系．【解】設(shè)A隊(duì)有出租車x輛，則B隊(duì)有出租車(x＋3)輛．由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x<56，,6x>56，,4x＋3<56，,5x＋3>56，,x∈N*.))11．某糧食收購站分兩個(gè)等級(jí)收購小麥，一級(jí)小麥每千克a元，二級(jí)小麥每千克b元(b<a)，現(xiàn)有一級(jí)小麥m千克，二級(jí)小麥n千克，若以兩種價(jià)格的平均數(shù)收購，是否合理？為什么？【解】分級(jí)收購時(shí)，糧站支出(ma＋nb)元，按平均價(jià)格收購時(shí)，糧站支出eq\f(m＋na＋b,2)元．因?yàn)?ma＋nb)－eq\f(m＋na＋b,2)＝eq\f(1,2)(a－b)(m－n)，又因?yàn)閎<a，所以當(dāng)m>n時(shí)，糧站占便宜；當(dāng)m＝n時(shí)，一樣；當(dāng)m<n時(shí)，糧站吃虧.(教師用書獨(dú)具)設(shè)a>0，b>0，且a≠b，比較aabb與abba的大?。舅悸诽骄俊坑米魃谭ū容^，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，然后確定大小．【自主解答】eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝(eq\f(a,b))a－b，當(dāng)a>b>0時(shí)，eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴(eq\f(a,b))a－b>1，當(dāng)b>a>0時(shí)，0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，∴(eq\f(a,b))a－b>1，∴(eq\f(a,b))a－b>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又∵aabb>0，abba>0，∴aabb>abba.比較1816與1618的大?。窘狻縠q\f(1816,1618)＝(eq\f(18,16))16eq\f(1,162)＝(eq\f(9,8))16(eq\f(1,\r(2)))16＝(eq\f(9,8\r(2)))16，∵eq\f(9,8\r(2))∈(0,1)，∴(eq\f(9,8\r(