高等概率題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)事件\(A\)、\(B\)互斥，\(P(A)=0.3\)，\(P(B)=0.5\)，則\(P(A\cupB)\)為（）A.\(0.2\)B.\(0.3\)C.\(0.5\)D.\(0.8\)2.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，則\(E(X)\)等于（）A.\(\lambda\)B.\(\lambda^2\)C.\(1/\lambda\)D.\(0\)3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(P(X\leq0.5)\)為（）A.\(0.25\)B.\(0.5\)C.\(0.75\)D.\(1\)4.已知隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，且\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(D(X-Y)\)為（）A.\(1\)B.\(5\)C.\(7\)D.\(13\)5.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)6.若\(P(A|B)=P(A)\)，則事件\(A\)與\(B\)（）A.互斥B.對(duì)立C.獨(dú)立D.不獨(dú)立7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(+\infty)\)等于（）A.\(0\)B.\(0.5\)C.\(1\)D.不存在8.隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P(X\leq1)\)為（）A.\(0\)B.\(0.25\)C.\(0.5\)D.\(0.75\)9.設(shè)\(X\)、\(Y\)為隨機(jī)變量，\(E(XY)=E(X)E(Y)\)，則（）A.\(D(XY)=D(X)D(Y)\)B.\(X\)與\(Y\)獨(dú)立C.\(X\)與\(Y\)不相關(guān)D.\(X\)與\(Y\)互斥10.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，樣本容量為\(n\)，樣本均值為\(\overline{X}\)，則\(E(\overline{X})\)等于（）A.\(n\mu\)B.\(\mu\)C.\(\frac{\mu}{n}\)D.\(\mu^2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqP(A)\leq1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqP(B)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)D.\(X\)取值為\(0,1,\cdots,n\)3.若隨機(jī)變量\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則（）A.\(P(XY)=P(X)P(Y)\)B.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)C.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)D.\(Cov(X,Y)=0\)4.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則以下是統(tǒng)計(jì)量的有（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\frac{X_1-\mu}{\sigma}\)5.以下哪些分布是離散型分布（）A.兩點(diǎn)分布B.二項(xiàng)分布C.泊松分布D.正態(tài)分布6.對(duì)于隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)，具有的性質(zhì)有（）A.單調(diào)不減B.\(F(-\infty)=0\)C.\(F(+\infty)=1\)D.右連續(xù)7.設(shè)\(X\)、\(Y\)是隨機(jī)變量，\(Cov(X,Y)\)為協(xié)方差，則（）A.\(Cov(X,X)=D(X)\)B.\(Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\)C.\(Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)8.若總體\(X\)的均值\(\mu\)未知，方差\(\sigma^2\)已知，用樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)構(gòu)造關(guān)于\(\mu\)的置信區(qū)間，則以下說法正確的是（）A.置信區(qū)間與樣本值有關(guān)B.置信水平越高，置信區(qū)間越寬C.樣本容量越大，置信區(qū)間越窄D.與總體分布無關(guān)9.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)，且\(f(x)\)為偶函數(shù)，則（）A.\(E(X)=0\)B.\(P(X\leq0)=0.5\)C.\(D(X)\geq0\)D.\(f(x)\)關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱10.以下屬于大數(shù)定律的有（）A.切比雪夫大數(shù)定律B.伯努利大數(shù)定律C.辛欽大數(shù)定律D.中心極限定理三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(P(A)+P(B)=1\)，則\(A\)與\(B\)為對(duì)立事件。（）2.連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)取某一具體值的概率為\(0\)。（）3.隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)\)一定存在。（）4.若\(X\)與\(Y\)不相關(guān)，則\(X\)與\(Y\)一定相互獨(dú)立。（）5.樣本方差\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計(jì)。（）6.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖象關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱。（）7.事件\(A\)發(fā)生的概率\(P(A)\)可以大于\(1\)。（）8.設(shè)\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)。（）9.若\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立，則\(D(X-Y)=D(X)-D(Y)\)。（）10.總體均值\(\mu\)的矩估計(jì)一定是無偏估計(jì)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別。答：互斥事件指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即\(A\capB=\varnothing\)；對(duì)立事件不僅不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，即\(A\capB=\varnothing\)且\(A\cupB=\Omega\)，對(duì)立事件是特殊的互斥事件。2.簡述期望和方差的含義。答：期望\(E(X)\)反映隨機(jī)變量\(X\)取值的平均水平；方差\(D(X)\)衡量隨機(jī)變量\(X\)取值相對(duì)于期望的離散程度，\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)。3.簡述正態(tài)分布的特點(diǎn)。答：正態(tài)分布概率密度圖象是鐘形曲線，關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱，在\(x=\mu\)處達(dá)到峰值；\(\mu\)決定其位置，\(\sigma\)決定其形狀，\(\sigma\)越小曲線越陡峭，\(\sigma\)越大曲線越平緩，且曲線與\(x\)軸圍成面積為\(1\)。4.簡述矩估計(jì)的基本思想。答：用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)。比如用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差，基于大數(shù)定律，樣本矩依概率收斂于總體矩。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際應(yīng)用中，如何根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇合適的概率分布模型？答：先分析數(shù)據(jù)特征，如離散或連續(xù)。離散數(shù)據(jù)若只有兩種結(jié)果可選兩點(diǎn)分布；多次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的計(jì)數(shù)可選二項(xiàng)分布；稀有事件計(jì)數(shù)可選泊松分布。連續(xù)數(shù)據(jù)若呈現(xiàn)中間多兩邊少且對(duì)稱，可選正態(tài)分布；數(shù)據(jù)在某區(qū)間均勻分布可選均勻分布等。2.討論大數(shù)定律和中心極限定理的意義。答：大數(shù)定律表明大量重復(fù)試驗(yàn)下，事件發(fā)生頻率依概率收斂于概率，均值依概率收斂于期望，體現(xiàn)穩(wěn)定性，為用頻率估計(jì)概率、樣本均值估計(jì)總體均值提供理論依據(jù)。中心極限定理說明在一定條件下，大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量和近似服從正態(tài)分布，便于對(duì)復(fù)雜隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行分析和近似計(jì)算。3.舉例說明概率在生活中的應(yīng)用。答：如保險(xiǎn)行業(yè)，通過計(jì)算不同風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生概率制定合理保費(fèi)；抽獎(jiǎng)活動(dòng)，依據(jù)概率設(shè)計(jì)獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置和中獎(jiǎng)概率；投資領(lǐng)域，利用概率評(píng)估投資風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益；天氣預(yù)報(bào)中，用概率表示降水等天氣現(xiàn)象發(fā)生可能性，輔助人們安排活動(dòng)。4.若已知總體分布但樣本量較小，在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)會(huì)遇到哪些問題？答：樣本量小可能無法很好代表總體，導(dǎo)致估計(jì)精度低。如用樣本均值估計(jì)總體均值時(shí)，誤差可能較大；樣本方差估計(jì)總體方差也不穩(wěn)定。而且一些基于大樣本的估計(jì)方法和理論不能直接用，難以構(gòu)建準(zhǔn)確的置信區(qū)間和進(jìn)行有效的假設(shè)檢驗(yàn)。答案一、單項(xiàng)選擇題