二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第三章一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當時,(1)則稱為的極大點,稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小點,稱為函數(shù)的極小值.極大點與極小點統(tǒng)稱為極值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0

或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點,是極大值是極小值為極小點,定理1(極值第一鑒別法)且在去心鄰域內(nèi)有導數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,(自證)點擊圖中任意處動畫播放\暫停例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表鑒別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為定理2(極值第二鑒別法)二階導數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一鑒別法知(2)類似可證.例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求駐點令得駐點3)鑒別因故為極小值;又故需用第一鑒別法鑒別.定理3(鑒別法的推廣)則:數(shù),且1)當為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當充分接近時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結(jié)論對的.證:利用在點的泰勒公式,可得例如

,例2中所以不是極值點.極值的鑒別法(定理1~定理3)都是充足的.闡明:當這些充足條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達成.求函數(shù)最值的辦法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)最大值最小值特別:

當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達成.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)對應用問題,有時可根據(jù)實際意義鑒別求出的可疑點與否為最大值點或最小值點.(小)例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通過例3.求函數(shù)闡明:求最值點.與最值點相似,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.(k

為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應如何選用?20解:設則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,清晰(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例6.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清晰.問觀察者在距墻多遠處看圖才最內(nèi)容小結(jié)1.持續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充足條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充足條件為極大值為極小值(4)鑒別法的推廣(Th.3)最值點應在極值點和邊界點上找;應用題可根據(jù)問題的實際意義鑒別.思考與練習(L.P500題4)2.持續(xù)函數(shù)的最值1.設則在點a處().的導數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導數(shù)不存在.B提示:運用極限的保號性.2.設在的某鄰域內(nèi)持續(xù),且則在點處(A)不可導;(B)可導,且(C)獲得極大值;(D)獲得極小值.D提示:運用極限的保號性.3.設是方程的一種解,若且則在(A)獲得極大值;(B)獲得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A試問為什么值時,在