二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值第三章一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn),稱為函數(shù)的極大值;(2)則稱為的極小點(diǎn),稱為函數(shù)的極小值.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),定理1(極值第一鑒別法)且在去心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放\暫停例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表鑒別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為定理2(極值第二鑒別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一鑒別法知(2)類似可證.例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)鑒別因故為極小值;又故需用第一鑒別法鑒別.定理3(鑒別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論對(duì)的.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得例如

,例2中所以不是極值點(diǎn).極值的鑒別法(定理1~定理3)都是充足的.闡明:當(dāng)這些充足條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)成.求函數(shù)最值的辦法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)最大值最小值特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)成.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義鑒別求出的可疑點(diǎn)與否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通過例3.求函數(shù)闡明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相似,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.(k

為某一常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選用?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問Km,公路,清晰(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例6.一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清晰.問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最內(nèi)容小結(jié)1.持續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充足條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充足條件為極大值為極小值(4)鑒別法的推廣(Th.3)最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義鑒別.思考與練習(xí)(L.P500題4)2.持續(xù)函數(shù)的最值1.設(shè)則在點(diǎn)a處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:運(yùn)用極限的保號(hào)性.2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)持續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)獲得極大值;(D)獲得極小值.D提示:運(yùn)用極限的保號(hào)性.3.設(shè)是方程的一種解,若且則在(A)獲得極大值;(B)獲得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A試問為什么值時(shí),在