第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系1.“a＝1”是“直線y＝x＋a與橢圓C：x225＋y216＝1有公共點”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A由a＝1，得直線y＝x＋1過點（0，1）.又點（0，1）在橢圓C：x225＋y216＝1內(nèi)部，故a＝1?直線y＝x＋a與橢圓C：x225＋y216＝1有公共點，而直線y＝x＋a與橢圓C：x225＋y216＝1有公共點不一定有a＝1.所以“a＝1”是“直線y＝x＋a與橢圓C2.若直線y＝kx＋1與橢圓x25＋y2m＝1總有公共點，則mA.（1，＋∞） B.（0，＋∞）C.（0，1）∪（1，5） D.[1，5）∪（5，＋∞）解析：D由y＝kx+1，mx2+5y2－5m=0，消去y整理得（5k2＋m）x2＋10kx＋5（1－m）＝0.由題意知Δ＝100k2－20（1－m）（5k2＋m）≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m＞0且m≠5，∴m≥3.已知點P（x，y）是橢圓x29＋y24＝1上任意一點，則點P到直線l：y＝x＋5A.52＋262C.52＋26 D.52－26解析：A設(shè)直線y＝x＋m與橢圓相切，由x29＋y24=1，y＝x＋m得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±13，切線方程為y＝x＋13和y＝x－13，與l距離較遠的是y＝x練后悟通研究直線與橢圓位置關(guān)系的方法（1）研究直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù)問題；（2）對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.弦長問題【例1】如圖，在平面直角坐標系Oxy中，橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的離心率為12，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當直線AB的斜率為0（1）求橢圓的方程；（2）若｜AB｜＋｜CD｜＝487，求直線AB的方程解：（1）由題意知e＝ca＝12，2a又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以橢圓方程為x24＋y（2）①當兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知｜AB｜＋｜CD｜＝7，不滿足條件.②當兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線AB的方程為y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），則直線CD的方程為y＝－1k（x－1）將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0，則x1＋x2＝8k23+4k2，x1·所以｜AB｜＝k2+1｜x1－x＝k2+1·（x同理，｜CD｜＝12（1k所以｜AB｜＋｜CD｜＝12（k＝84（k2+1）2（3+4所以直線AB的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0.解題技法1.弦長的求解方法（1）當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解；（2）當直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，弦中點M（x0，y0），則：①弦長l＝1+k2｜x1－x2｜＝1+1k2｜y1－y22.注意兩種特殊情況：（1）直線與橢圓的對稱軸平行或垂直；（2）直線過橢圓的焦點.在平面直角坐標系Oxy中，已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）過點P（2，1（1）求橢圓C的方程；（2）直線l的斜率為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點.若｜AB｜＝5，求直線l的方程解：（1）∵e2＝c2a2＝a∴a2＝4b2.又橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）過點∴4a2＋1b2＝1，∴a2＝8，故所求橢圓方程為x28＋y（2）設(shè)l的方程為y＝12x＋m，點A（x1，y1），B（x2，y2聯(lián)立y＝12x＋m，x28＋y22=1，∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得｜m｜＜2.∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.則｜AB｜＝1+14＝5（4－m2）＝5故所求直線l的方程為y＝12x±3中點弦問題【例2】已知直線l與橢圓x24＋y23＝1相交于A，B兩點，且線段AB的中點為P（1（1）求直線l的方程；（2）求△OAB的面積.解：（1）法一設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.代入橢圓方程得，x124＋y12化簡得，－34×x1＋x2y∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴kAB＝－34∴直線l的方程為y－1＝－34（x－1），即3x＋4y－7＝法二由中點弦公式得，kAB＝－b2x0∴直線l的方程為y－1＝－34（x－1即3x＋4y－7＝0.（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得21x2－42x＋1＝0，Δ＝422－4×21＞0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝121由弦長公式得｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+916×4－421由點到直線的距離公式得，坐標原點到直線AB的距離d＝|-7｜∴△OAB的面積S＝12×510521×7解題技法中點弦問題常用的求解方法（1）點差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入橢圓方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1（2）根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與橢圓的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.（1）（2024·蘇州一模）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一條弦所在的直線方程是2x－y＋9＝0，弦的中點坐標是M（－（2）已知P（12，12）為橢圓x22＋y2＝1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P點平分解：（1）設(shè)直線2x－y＋9＝0與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，弦的中點坐標是M（－4，1），則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直線AB的斜率k＝y(tǒng)1－由x12a2＋y1∴y1－y2x1－x2＝－b2故橢圓的離心率e＝ca＝1－b（2）法一易知此弦所在直線斜率存在，設(shè)斜率為k，弦的兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），則有x122＋y12＝1，x兩式作差，得（x2－x1)(x2＋x1）2＋（y2∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，∴x2－x12＋（y2－y∴k＝y(tǒng)2－y1x2－x1＝－∴此弦所在的直線方程為y－12＝－12（x－12），即2x＋4y－法二由中點弦公式得，k＝－b2x0∴此弦所在的直線方程為y－12＝－12（x－12），即2x＋4y－1.已知直線l：x＋y－3＝0，橢圓x24＋y2＝1，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（A.相交 B.相切C.相離 D.無法確定解析：C聯(lián)立x24＋y2=1，x＋y－3=0消去y，整理得，5x2－24x＋32＝0，該方程判別式Δ＝（－24）2－4×5×32＝576－2.（2024·咸陽一模）已知直線y＝kx＋1，當k變化時，此直線被橢圓x24＋y2＝1截得的最大弦長是（A.2 B.4C.4 D.不能確定解析：B直線恒過定點（0，1），且點（0，1）在橢圓上，可設(shè)另外一個交點為（x，y），則弦長為x2＋（y－1）2＝4－4y2＋y2－2y+13.（2024·臨泉一模）直線x＋4y＋m＝0交橢圓x216＋y2＝1于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為1，則m＝（A.－2 B.－1C.1 D.2解析：A∵x＋4y＋m＝0，∴y＝－14x－m4，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由x1216＋y12=1，x2216＋y22=1，兩式相減得，y1－y2x1－x2＝－x1＋x216（y1＋y2）＝－4.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），F(xiàn)為其左焦點，直線y＝kx（k＞0）與橢圓C交于點A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，則橢圓A.73 B.C.76 D.解析：A設(shè)橢圓的右焦點為F2，連接AF2，BF2，故四邊形AFBF2為平行四邊形，設(shè)｜AF｜＝m，∠ABF＝30°，則｜FB｜＝2m，｜BF2｜＝｜AF｜＝m，｜BF｜＋｜BF2｜＝2m＋m＝2a，m＝23a，在△BFF2中，（2c）2＝（43a）2＋（23a）2－2×43a×23a×cos120°，整理得到4c2＝28a29，即c＝73a，5.（多選）設(shè)橢圓x29＋y23＝1的右焦點為F，直線y＝m（0＜m＜3）與橢圓交于A，B兩點，A.｜AF｜＋｜BF｜為定值B.△ABF的周長的取值范圍是[6，12]C.當m＝32時，△ABFD.當m＝1時，△ABF的面積為6解析：ACD設(shè)橢圓的左焦點為F'，則｜AF'｜＝｜BF｜，∴｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF'｜＝6為定值，A正確；△ABF的周長為｜AB｜＋｜AF｜＋｜BF｜，∵｜AF｜＋｜BF｜為定值6，且｜AB｜的取值范圍是（0，6），∴△ABF的周長的取值范圍是（6，12），B錯誤；設(shè)點A在點B的左側(cè)，將y＝32與橢圓方程聯(lián)立，可解得A－332，32，B332，32，又∵F（6，0），∴AF·BF＝6＋332×6－332＋322＝0.∴△ABF為直角三角形，C正確；將y＝1與橢圓方程聯(lián)立，解得A（－6，1），B（6，1），∴6.已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，｜F1F2｜＝2，過橢圓左焦點且斜率為2的直線交橢圓于A，B兩點，若S△ABF2答案：25解析：∵S△ABF2＝4，∴12×｜F1F2｜×｜yA－yB｜＝4，又∵｜F1F2｜＝2，∴｜yA－yB｜＝4，∵直線過橢圓左焦點且斜率為2，∴｜AB｜＝1+1k2｜yA－yB｜7.與橢圓x22＋y2＝1有相同的焦點且與直線l：x－y＋3＝0相切的橢圓的離心率為答案：5解析：因為所求橢圓與橢圓x22＋y2＝1有相同的焦點，所以可設(shè)所求橢圓的方程為x2a2＋y2a2－1＝1（a＞1），聯(lián)立方程組x2a2＋y2a2－1=1，y＝x+3?（2a2－1）x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，因為直線l與橢圓相切，所以Δ＝36a4－4（2a2－1）（10a2－a4）＝0，化簡得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a8.已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0），離心率為22.直線y＝k（x－1）（1）求橢圓C的方程；（2）當△AMN的面積為103時，求k的值解：（1）由題意得a=2，ca＝所以橢圓C的方程為x24＋y（2）由y＝k（x－1),x24＋y22=1消去y得（1＋2k2）x2－4k設(shè)點M，N的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1＋x2＝4k21+2k2，x1所以｜MN｜＝（＝2（又因為點A（2，0）到直線y＝k（x－1）的距離d＝｜k所以△AMN的面積為S＝12｜MN｜·d＝｜由｜k｜4+6k21+2k9.（2023·新高考Ⅱ卷5題）已知橢圓C：x23＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝（A.23 B.C.－23 D.－解析：C由題意，F(xiàn)1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，所以點F1到直線AB的距離是點F2到直線AB的距離的2倍，即|-2＋m｜2＝2×｜2＋m｜2，解得m＝－10.過橢圓內(nèi)定點M且長度為整數(shù)的弦，稱作該橢圓過點M的“好弦”.在橢圓x264＋y216＝1中，過點M（43，0）的所有“好弦”A.120 B.130C.240 D.260解析：C由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝43，故M為橢圓的右焦點，由橢圓的性質(zhì)可得當過焦點的弦垂直x軸時弦長最短，所以當x＝43時，最短的弦長為2b2a＝2×168＝4，當弦與x軸重合時，弦長最長為2a＝16，則弦長的取值范圍為[4，16]，故弦長為4到16的所有整數(shù)，則“好弦”的長度和為4＋16＋（5＋6＋7＋…＋11.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖①所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓.某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖②所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于－58，則橢圓的離心率為（A.34 B.C.74 D.解析：D設(shè)內(nèi)層橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），∵內(nèi)外橢圓離心率相同，∴外層橢圓可設(shè)成x2（ma）2＋y2（mb）2＝1（m＞1），設(shè)切線AC的方程為y＝k1（x＋ma），與x2a2＋y2b2＝1聯(lián)立得（b2＋a2k12）x2＋2ma3k12x＋m2a4k12－a2b2＝0，由Δ＝0，則k12＝b2a2·1m2－1，同理可得k22＝b12.（多選）設(shè)橢圓的方程為x22＋y24＝1，斜率為k的直線不經(jīng)過原點O，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，A.直線AB與OM垂直B.若點M坐標為（1，1），則直線方程為2x＋y－3＝0C.若直線方程為y＝x＋1，則點M坐標為（13，4D.若直線方程為y＝x＋2，則｜AB｜＝4解析：BD對于A項，當k≠0時，根據(jù)橢圓的中點弦的性質(zhì)得kAB·kOM＝－42＝－2≠－1，所以A項不正確；對于B項，根據(jù)kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直線方程為y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，所以B項正確；對于C項，若直線方程為y＝x＋1，點M（13，43），則kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C項不正確；對于D項，若直線方程為y＝x＋2，與橢圓方程x22＋y24＝1聯(lián)立，得到2x2＋（x＋2）2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－43，所以｜AB｜＝1+12×｜－43－0｜13.已知直線x＋3y－7＝0與橢圓x29＋y2b2＝1（0＜b＜3）相交于A，B兩點，橢圓的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，線段AB的中點為C（1，2），則△CF1答案：23解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x129＋y12b2=1，x229＋y22b2=1，兩式相減，得y1－y2x1－x2＝－b2（x1＋x2）9（y1＋y2），因為直線AB的斜率為－13，則y114.已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，－3），右焦點為F，且｜OA｜＝｜OF（1）求橢圓的方程；（2）已知點C滿足3OC＝OF，點B在橢圓上（B異于橢圓的頂點），直線AB與以C為圓心的圓相切于點P，且P為線段AB的中點，求直線AB的方程.解：（1）由已知可得b＝3.記半焦距為c，由｜OF｜＝｜OA｜可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.所以橢圓的方程為x218＋y（2）因為直線AB與以C為圓心的圓相切于點P，所以AB⊥CP.依題意，直線AB和直線CP的斜率均存在.設(shè)直線AB的方程為y＝kx－3.由方程組y＝kx－3，x218＋y29=1，消去y，可得（解得x＝0或x＝12k依題意，可得點B的坐標為12k因為P為線段AB的中點，點A的坐標為（0，－3），所以點P的坐標為6k由3OC＝OF，得點C的坐標為（1，0），故直線CP的斜率為－32k2+1－0又因為AB⊥CP，所以k·32k2－6k+1＝－1，整理得2k2－3k＋1＝0，解得所以直線AB的方程為y＝12x－3或y＝x－15.（多選）已知O為坐標原點，橢圓T：x24＋y23＝1的右焦點為F，過點F的直線交橢圓T于A，B兩點，A.｜AB｜的最小值為3B.若M（異于點F）為線段AB的中點，則直線AB與OM的斜率之積為－3C.若AF＝－2BF，則直線AB的斜率為±5D.△AOB面積的最大值為3解析：BC對于A，易知當直線AB垂直于x軸時，｜AB｜取得最小值，由橢圓T的方程知F（1，0），當x＝1時，y＝±32，所以｜AB｜的最小值為3，故A錯誤；對于B，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），x1≠x2，x0≠1，因為M為線段AB的中點，所以x0＝x1＋x22，y0＝y(tǒng)1＋y22，又點A，B在橢圓T上，所以x124＋y123＝1，x224＋y223＝1，兩式相減得y1－y2x1－x2＝－34·x1＋x2y1＋y2＝－34·x0y0，所以y1－y2x1－x2·y0x0＝－34，即直線AB與OM的斜率之積為－34，故B正確；對于C，易知直線AB的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1，代入橢圓T的方程得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，則y1＋y2＝－6m3m2+4，y1y2＝－93m2+4，因為AF＝－2BF，所以y1＝－2y2，所以y1＋y2＝－y2＝－6m3m2+4，則y2＝6m3m2+4，y1＝