第21練三次函數的性質(分值：40分)三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的性質(1)奇偶性：f(x)不可能為偶函數；當且僅當b=d=0時,f(x)是奇函數.(2)對稱性：中心對稱,且對稱中心是-b3a,f-b3a.引申性質：若y=f(x)是可導函數.①若圖象關于點(m,n)對稱,則y=f'(x)的圖象關于直線x=m對稱；②若圖象關于直線x=m對稱,則y=f'(x)的圖象關于點(m,0)對稱；③奇函數的導數是偶函數,偶函數的導數是奇函數,周期函數的導數還是周期函數.(3)根與系數的關系設ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三個根分別為x1,x2,x3,則ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3.比較系數可得x1+x2+x3=-ba,x1x2+x2x3+x3x1=ca,x1x2x(4)三次函數切線條數設f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在對稱中心N-b3a,f-b3a處的切線為l,函數f(x)及l(fā)把坐標平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四個區(qū)域,如圖1(a<0①當定點P在對稱中心N或在Ⅰ和Ⅲ區(qū)域時,過點P的切線有且僅有一條；②當定點P在函數f(x)的圖象上(除去對稱中心)或在切線l上時,過點P的切線有兩條；③當定點P在Ⅱ和Ⅳ區(qū)域時,過點P的切線有三條.一、單項選擇題(每小題5分,共10分)1.已知函數f(x)=-x3+ax2-x-1在R上單調,則實數a的取值范圍是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞B.[-3,C.(-∞,-3)∪(3,+∞D.(-3,答案B解析由f(x)=-x3+ax2-x-1,得f'(x)=-3x2+2ax-1,因為函數在R上單調,所以f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,則Δ=4a2-12≤0?-3≤a≤3所以實數a的取值范圍是[-3,32.已知函數f(x)=2x3-3x2+9x-72,則f

12026+f

22026+f

32026+A.2024 B.2025C.2025 D.2026答案B解析由f(x)=2x3-3x2+9x-72,可得f'(x)=6x2-6x+9,令g(x)=6x2-6x+9,g'(x)=12x令g'(x)=12x-6=0,得x=12,又f

12=2×123-3×122+9×12-72=12,所以對稱中心為12,12,f

12026+f

20252026=1,f

22026+f

20242026=1,…,f

10122026+f

10142026二、多項選擇題(每小題6分,共12分)3.(2024·合肥模擬)已知三次函數f(x)=x3+ax+2,下列敘述正確的是()A.當a=1時,函數f(x)無極值點B.函數f(x)的圖象關于點(0,2)中心對稱C.過點(0,2)的切線有兩條D.當a<-3時,函數f(x)有3個零點答案ABD解析對于A,當a=1時,f(x)=x3+x+2,f'(x)=3x2+1>0,f(x)單調遞增,無極值點,故A正確；對于B,因為f(x)+f(-x)=4,所以函數f(x)的圖象關于點(0,2)中心對稱,故B正確；對于C,設切點坐標為(x1,f(x1)),則切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),因為切線過點(0,2),所以2-f(x1)=f'(x1)(-x1),即2-x13-ax1-2=-3x13-ax1,解得即只有一個切點,即只有一條切線,故C錯誤；對于D,f'(x)=3x2+a,當a<-3時,令f'(x)=0,得x=±-當x∈-∞,--a3時,f'(x)>0,當x∈--a3,-a3時,f'(x)當x∈-a3,+∞時,f'(x)>0,f(又f(x)有極大值為f

--a3>f(0)=2>0,所以若函數f(x)有則f(x)有極小值為f

-a3=2a3-a3+2<0,4.(2025·長沙模擬)已知三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)有三個不同的零點x1,x2,x3(x1<x2<x3),函數g(x)=f(x)-1也有三個零點t1,t2,t3(t1<t2<t3),則()A.b2>3acB.若x1,x2,x3成等差數列,則x2=-bC.x1+x3<t1+t3D.x12+x22+x32答案ABD解析因為f(x)=ax3+bx2+cx+d,則f'(x)=3ax2+2bx+c,a≠0,對稱中心為-對于A,因為f(x)有三個不同的零點,所以f(x)必有兩個極值點,即f'(x)=3ax2+2bx+c=0有兩個不同的實根,所以Δ=4b2-12ac>0,即b2>3ac,故A正確；對于B,由x1,x2,x3成等差數列,及三次函數的中心對稱性,可知(x2,f(x2))為f(x)的對稱中心,所以x2=-b3a,對于C,函數g(x)=f(x)-1,當g(x)=0時,f(x)=1,則直線y=1與y=f(x)圖象的交點的橫坐標即為t1,t2,t3,當a>0時,畫出f(x)與y=1的圖象,由圖可知,x1<t1,x3<t3,則x1+x3<t1+t3,當a<0時,則x1+x3>t1+t3,故C錯誤；對于D,由題意得a整理得x得(x1+x2+x3)2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=(t1+t2+t3即x12+x22+x32=t12三、填空題(共5分)5.已知三次函數y=f(x)有三個零點x1,x2,x3,且在點(xi,f(xi))處的切線的斜率為ki(i=1,2,3),則1k1+1k2+1答案0解析設f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),則f'(x)=a(x-x1)(x-x2)+a(x-x1)(x-x3)+a(x-x2)(x-x3),由導數的幾何意義可得k1=f'(x1)=a(x1-x2)(x1-x3),k2=f'(x2)=a(x2-x1)(x2-x3),k3=f'(x3)=a(x3-x1)(x3-x2),所以1k1+1k2+1k3=1a(x四、解答題(共13分)6.(13分)對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義：設f'(x)是函數y=f(x)的導數,f″(x)是f'(x)的導數,若方程f″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設函數f(x)=13x3-m2x2+(1)當m=1時,求f

1100+f

2100+…+f

98100+f(2)若不等式2xlnx+f'(x)+3≥0恒成立,求實數m的取值范圍.(7分)解(1)函數f(x)=13x3-m2x2當m=1時,f(x)=13x3-12x2∵f'(x)=x2-x,∴f″(x)=2x-1,令f″(x)=2x-1=0,解得x=1則對稱中心的縱坐標為f

12=1,∴f(x)+f(1-x)=2,∴f

1100+f

99100=2,f

2100+f

98100=2,…,f

49100+f

51100則f

1100+f

2100+…+f

98100+f

99100(2)∵2xlnx+f'(x)+3≥0,f'(x)=x2-mx,即mx≤2xlnx+x2+3,又x>0,∴m≤2xlnx+x2+3x在x∈令t(x)=2xlnx+x2+3∴m≤t(x)