考研極限題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.∞D(zhuǎn).-12.當(dāng)$x\to0$時，$x^2$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小3.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$（）A.0B.1C.eD.∞4.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$\lim\limits_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]$（）A.一定存在B.一定不存在C.可能存在D.無法確定5.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.2D.36.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x\to1$時的極限為（）A.0B.1C.2D.不存在7.當(dāng)$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）A.$\sin2x$B.$2\sinx$C.$\ln(1+x)$D.$e^{2x}$8.$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.∞9.已知$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2$，則$\lim\limits_{x\to0}f(x)$為（）A.0B.1C.2D.410.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}=$（）A.1B.2C.3D.4多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限值為1的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$2.當(dāng)$x\to0$時，下列哪些是無窮小量（）A.$x^3$B.$\sinx$C.$\ln(1+x)$D.$e^x-1$3.下列極限存在的有（）A.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to+\infty}e^{-x}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cosx}$4.以下關(guān)于極限運(yùn)算法則正確的是（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)$（前提極限都存在）B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\toa}f(x)\lim\limits_{x\toa}g(x)$（前提極限都存在）C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\toa}f(x)}{\lim\limits_{x\toa}g(x)}$（前提$\lim\limits_{x\toa}g(x)\neq0$且極限都存在）D.$\lim\limits_{x\toa}[cf(x)]=c\lim\limits_{x\toa}f(x)$（$c$為常數(shù)，$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在）5.與$x$為同階無窮小的有（）A.$2x$B.$x+x^2$C.$\sqrt{x}$D.$3x^3$6.下列函數(shù)在$x\to0$時極限為0的有（）A.$x\sin\frac{1}{x}$B.$\frac{\sinx}{x^2}$C.$x^2\cos\frac{1}{x}$D.$\frac{1-\cosx}{x}$7.極限$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$存在B.$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$存在C.$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$D.$f(x)$在$x\to\infty$時單調(diào)8.下列極限中，使用洛必達(dá)法則后可以求解的有（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$C.$\lim\limits_{x\to1}\frac{\lnx}{x-1}$D.$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-\sinx}{x^3}$9.當(dāng)$x\to0$時，下列哪些是比$x$高階的無窮?。ǎ〢.$x^2$B.$x\sinx$C.$\sqrt{x^3}$D.$x+x^3$10.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=B$，則（）A.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=A-B$B.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]=AB$C.$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）D.$\lim\limits_{x\toa}[f(x)]^n=A^n$（$n$為正整數(shù)）判斷題（每題2分，共10題）1.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$與$\lim\limits_{x\toa}g(x)$都不存在，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$一定不存在。（）2.無窮小量就是0。（）3.當(dāng)$x\to0$時，$x$與$\sinx$是等價無窮小。（）4.極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$。（）5.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)=\infty$，$\lim\limits_{x\toa}g(x)=\infty$，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)-g(x)]=0$。（）6.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在$x\to0$時極限存在。（）7.當(dāng)$x\to0$時，$1-\cosx$與$\frac{1}{2}x^2$是等價無窮小。（）8.極限$\lim\limits_{x\to+\infty}e^x=0$。（）9.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，$g(x)$在$x=a$處無定義，則$\lim\limits_{x\toa}[f(x)g(x)]$不存在。（）10.無窮大量與無窮小量的乘積一定是無窮小量。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述極限的定義。答：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點$x_0$的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)$A$，對于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$（不論它多么?。?，總存在正數(shù)$\delta$，使得當(dāng)$x$滿足不等式$0<|x-x_0|<\delta$時，對應(yīng)的函數(shù)值$f(x)$都滿足不等式$|f(x)-A|<\varepsilon$，那么常數(shù)$A$就叫做函數(shù)$f(x)$當(dāng)$x\tox_0$時的極限。2.說明等價無窮小在求極限中的作用。答：在求極限時，若式子中某些部分為無窮小量，可用等價無窮小進(jìn)行替換。替換后可簡化復(fù)雜的極限運(yùn)算式子，將難以計算的形式轉(zhuǎn)化為更易求解的形式，提高計算效率和準(zhǔn)確性。3.簡述洛必達(dá)法則適用條件。答：適用于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。即函數(shù)$f(x)$與$g(x)$在某點$a$的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且$g'(x)\neq0$，同時$\lim\limits_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或為無窮大），則$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}$。4.如何判斷一個函數(shù)在某點極限是否存在？答：可從左右極限判斷。若函數(shù)在該點的左極限和右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點極限存在且等于左右極限值。也可根據(jù)極限定義判斷，看是否滿足對于任意給定$\varepsilon$能找到相應(yīng)$\delta$的條件。討論題（每題5分，共4題）1.討論極限在考研數(shù)學(xué)中的重要性及常見考查方式。答：極限是考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容，貫穿微積分。重要性在于很多概念定義基于極限，如導(dǎo)數(shù)、積分。常見考查方式有求極限值，包括各種未定式極限；利用極限定義判斷函數(shù)性質(zhì)；與其他知識點結(jié)合，如在求導(dǎo)數(shù)、積分中應(yīng)用極限思想。2.探討等價無窮小替換在不同類型極限題目中的應(yīng)用技巧。答：在乘除運(yùn)算中，可直接將無窮小量用等價無窮小替換。在加減運(yùn)算中，需謹(jǐn)慎，只有當(dāng)替換后不影響結(jié)果時可用。對于復(fù)雜式子，要先化簡再看能否用等價無窮小替換，且要熟悉常見等價無窮小形式，如$x\to0$時，$\sinx\simx$等。3.分析極限與函數(shù)連續(xù)性之間的關(guān)系，并舉例說明。答：函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是函數(shù)在該點極限值等于函數(shù)值。即$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$。例如$f(x)=x+1$，在$x=1$處，$\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$，$f(1)=2$，函數(shù)在$x=1$連續(xù)；而$f(x)=\begin{cases}1,x\neq0\\0,x=0\end{cases}$，$\lim\limits_{x\to0}f(x)=1\neqf(0)$，在$x=0$不連續(xù)。4.談?wù)勅绾翁岣咔髽O限題目的解題能力。答：首先要牢記基本極限公式和常見等價無窮小。多做練習(xí)題，熟悉各種題型和解題方法，如洛必達(dá)法則、等價無窮小替換等。分析錯題，總結(jié)解題思