八上數(shù)學(xué)RJ第1課時第十五章

軸對稱15.1 圖形的軸對稱15.1.2線段的垂直平分線探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及點在線段垂直平分線上的判定，并會運用這些定理證明線段相等或垂直等，發(fā)展推理能力.了解互逆命題，會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線.復(fù)習(xí)

線段的垂直平分線的定義是什么？

軸對稱圖形的對稱軸是連接其對稱點的線段的垂直平分線，為作出對稱軸，需要研究線段的垂直平分線的性質(zhì).

我們類比角的平分線研究線段的垂直平分線.角的平分線的性質(zhì)反映了角的平分線上的點到角兩邊的距離的關(guān)系，類似地，我們研究線段的垂直平分線上的點與線段兩個端點的距離的關(guān)系.探究

如圖，直線l垂直平分線段AB，點P1，P2，P3，···在l上，分別比較點P1，P2，P3

，···與點A的距離和這些點與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？ABlP3P2P1線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

可以發(fā)現(xiàn)，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把線段AB沿直線l對折，線段P1A與P1B、線段P2A與P2B、線段P3A與P3B······都是重合的，因此它們也分別相等.

由此猜想線段的垂直平分線有以下性質(zhì)：ABlP3P2P1如何證明？通過證明兩個三角形全等，可以證明這個性質(zhì).如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=BC，點P在l上．求證PA=PB．ABPCl證明：當(dāng)點P與點C不重合時，∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．當(dāng)點P與點C重合時，顯然成立.線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.ABPCl符號語言：如圖，∵直線l⊥AB，垂足為C，AC=BC，點P在l上，∴PA=PB.例1

如圖，在△ABC中，DE是BC的垂直平分線.若AB=5，AC=8，則△ABD的周長是______.13思考把上面線段的垂直平分線的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論反過來，得到的命題還成立嗎？即如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？知識點2 點在線段垂直平分線上的判定如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PABC

知識點2 點在線段垂直平分線上的判定符號語言：如圖，已知線段AB，∵PA=PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．同樣地，通過證明兩個三角形全等，可以得到：

與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.ABPCl知識點2 點在線段垂直平分線上的判定

所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個端點距離相等的所有點的集合.從上面兩個結(jié)論可以看出:知識點2 點在線段垂直平分線上的判定

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.例2

如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P.(1)求證：PA=PB=PC.(1)證明：∵邊AB，BC的垂直平分線相交于點P，∴PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC.知識點2 點在線段垂直平分線上的判定例2

如圖，在△ABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P.(2)點P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？(2)解：∵PA=PC，∴點P在邊AC的垂直平分線上.由此可得出結(jié)論：①三角形三邊的垂直平分線相交于一點；②這個點與這個三角形三個頂點的距離相等.*三角形外接圓的圓心知識點2 點在線段垂直平分線上的判定思考

分析下面關(guān)于線段的垂直平分線的兩個命題，它們的題設(shè)和結(jié)論有什么關(guān)系？你還學(xué)習(xí)過其他具有類似關(guān)系的命題嗎？這兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么這兩個命題叫作互逆命題.如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個互逆命題都是成立的；而命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立.

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.在幾何中，有許多互逆的定理.例如，上面關(guān)于垂直平分線的兩個互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”也是互逆定理.例3

寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.(1)同位角相等，兩直線平行.(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)的平方也相等.解：(1)逆命題：兩直線平行，同位角相等.成立.(2)逆命題：如果x2=9，那么x=3.不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.(3)逆命題：如果兩個實數(shù)的平方相等，那么這兩個實數(shù)的絕對值也相等.成立.1.如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC，即AD垂直平分BC，∴AB=AC.又點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE.∴AB=AC=CE，∴AB+BD=CE+DC，即AB+BD=DE.2.如圖，AB=AC，MB=MC.直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？為什么？AMBC解：直線AM是線段BC的垂直平分線.理由如下：∵AB=AC，MB=MC，∴點A在線段BC的垂直平分線上，點M也在線段BC的垂直平分線上.∵線段BC的垂直平分線只有一條且兩點確定一條直線，∴直線AM是線段BC的垂直平分線.3.寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立.(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；(3)全等三角形的對應(yīng)角相等.解：(1)逆命題：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.成立.(2)逆命題：如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等.不成立，如2和-2的絕對值相等，但2≠-2.解：(3)逆命題：對應(yīng)角相等的兩個三角形是全等三角形.不成立，如圖所示是兩個形狀相同但大小不同的三角形，顯然它們的對應(yīng)角相等，但它們不是全等三角形.形狀相同，大小