專題5平面向量與復數(shù)第45練平面向量基本定理及運算(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.在平面直角坐標系中，向量PA=(1，4)，PB=(2，3)，PC=(x，1)，若A，B，C三點共線，則x的值為()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由A，B，C三點共線，得PC=λPA+μPB，λ+μ=1，即(x，1)=λ(1，4)+μ(2，3)=(λ+2μ，4λ+3μ)，則x=λ2.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點，若AG=23AB+56AD，EG=λEF，則λA.14 B.13 C.23答案C解析如圖，建立平面直角坐標系，設正方形ABCD邊長為6，則B(6，0)，D(0，6)，C(6，6)，E(6，3)，F(xiàn)(3，6)，∴AG=23AB+56AD=23(6，0)+56(0，6)=∴G(4，5)，EG=(-2，2)，EF=(-3，3)，∴EG=23EF，∴λ=3.在平行四邊形ABCD中，M，N分別在邊BC，CD上，且滿足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，則△AMN是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形答案C解析∵AN·MN=(AD+DN)·(MC+CN)=AD+3=13|AD|2-316|AB|2=13×9-3∴AN⊥MN，∴△AMN是直角三角形.4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE=13AD，CF=13CD，則BAA.65AF-95CE BC.65AF+95CE D答案C解析設AB=a，AD=b，因為AE=13AD，所以CE=CD+DE=-a-2因為CF=13CD，所以AF=AD+DF=23a設BA=mAF+nCE，則-a=m23a+b23m即BA=65AF+5.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=3DB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+14AB，若|AC|=3，|AB|=4，則AP·CD的值為A.-3 B.3 C.-32 D.答案C解析因為AD=3DB，所以AB=43所以AP=mAC+14AB=mAC+因為C，P，D三點共線，所以m+13=1，即m=2所以AP=23AC+14AB，又CD=AD-AC=所以AP·CD=23AC=316|AB|2-23|AC|2+14AB·AC=316×16-23×9+14×3×46.(2024·南充模擬)已知點P在△ABC所在平面內(nèi)，若PA·ACAC-ABAB=PB·BCBC-BABA=0，則點A.外心 B.垂心C.重心 D.內(nèi)心答案D解析在△ABC中，由PA·ACAC-得PA·ACAC=PA·AB即AP·ACAC=AP·ABAB，由PB·BC同理得BP·BCBC=BP·BA顯然AP≠0，即P與A不重合，否則cos∠ABC=1，同理BP≠0，則|AP|cos∠PAC=|AP|cos∠PAB，即cos∠PAC=cos∠PAB，∠PAC=∠PAB，于是AP平分∠BAC，同理BP平分∠ABC，所以點P是△ABC的內(nèi)心.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.正方形ABCD的邊長為2，E是BC的中點，如圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意一點，AP=λAD+μAE，則下列結論正確的是()A.λ的最大值為1B.μ的最大值為1C.AP·AD的最大值是2D.AP·AE的最大值是5+2答案BCD解析設AB的中點為O，以O為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(-1，0)，D(-1，2)，E(1，1)，設∠BOP=α，則P(cosα，sinα)，AP=(cosα+1，sinα)，AD=(0，2)，AE=(2，1)，由AP=λAD+μAE，得2μ=cosα+1且2λ+μ=sinα，α∈[0，π]，則λ=14(2sinα-cosα-1)=54sin(α-θ)-14≤5當α=0時，μmax=1，故B正確；AP·AD=2sinα≤2，故C正確；AP·AE=sinα+2cosα+2=5sin(α+φ)+2≤5+2，故D正確.8.設向量a，b，c滿足a+b+c=0，|a|=|b|=1，|c|=3，則下列結論正確的是()A.a·b+b·c+c·a=-5B.〈a，b〉=2πC.|a-c|=7D.cos〈a-c，b-c〉=13答案ACD解析將a+b+c=0平方，得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+a·c+b·c)=0，由a2=b2=1，c2=3，得a·b+b·c+c·a=-52，故A由a+b=-c平方，得(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2，得a·b=12，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=π3，故因為a+c=-b，所以|a+c|=|b|=1，1=|a+c|2=4+2c·a，所以c·a=-32所以|a-c|2=4-2c·a=7，即|a-c|=7，故C正確；由選項C可得，b+c=-a，與C同理可得，b·c=-32，|b-c|=7則(a-c)·(b-c)=a·b-b·c-a·c+c2=132所以cos〈a-c，b-c〉=1314，故D正確三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知非零向量a，b滿足b=(3，1)，〈a，b〉=π3，若(a-b)⊥a，則向量a在b方向上的投影向量的坐標為.答案3解析由已知可得，|b|=(3)因為(a-b)⊥a，所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cosπ3=|a|2-|a|=0，解得|a|=1或|a|=0(舍去)所以向量a在b方向上的投影向量為|a|cosπ3·b|b|=110.已知在△ABC中，AB=4，A