PAGE1專題09角及角平分線的有關(guān)計(jì)算（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）知識(shí)清單1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做這個(gè)角的邊．或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的．2.平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角．終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角．3.角的表示：①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如∠1，∠2，∠3等．②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等．③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如∠B，∠C等．④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等．注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)．4.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°的角.5.角的度量角的度量有如下規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”．把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“”．把的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“”．即1°=，=.6.角的性質(zhì)①角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān).②角的大小可以度量，可以比較.③角可以參與運(yùn)算.7.角的平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．8.余角和補(bǔ)角（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．一、單選題1．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）有下列關(guān)于角的說法：①兩條射線組成的圖形叫作角；②角的邊越長，角越大；③在角一邊的延長線上取一點(diǎn)D；④角可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（24-25七年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖所示，∠1還可以表示為（

）A．∠A B．∠CAD C．∠BAC D．∠ACD3．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）若∠A=52°，則∠A的補(bǔ)角的度數(shù)為（

）．A．48° B．208° C．128° D．38°4．（18-19七年級(jí)·吉林長春·期末）如圖，OA是北偏東30°方向的一條射線，將射線OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得到射線OB，則OB的方位角是（

）A．北偏西30° B．北偏西50° C．東偏北30° D．東偏北50°5．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）若∠A=32°18'，∠B=32°15'3A．∠A>∠B>∠C B．∠B>∠A>∠CC．∠A>∠C>∠B D．∠C>∠A>∠B6．（19-20七年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）如圖，一副三角板（直角頂點(diǎn)重合）擺放在桌面上，若∠AOD=160°，則∠BOC等于（

）A．20° B．30° C．40° D．50°7．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，將三個(gè)同樣的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合放置，則∠1的度數(shù)是（

）A．35° B．30° C．25° D．20°8．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，若∠COE=2α，∠AOB=40°，則∠BOD的度數(shù)為（

）A．α+20° B．α+40° C．α?20° D．α+80°9．（22-23七年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°10．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為B'、D'，若∠B'AA．40° B．45° C．50° D．55°二、填空題11．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）比較大?。?0°15'30″20.25°．（填>12．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）社會(huì)熱點(diǎn)情境·野生動(dòng)物保護(hù)

天氣轉(zhuǎn)暖，每年的二、三月，一大批國家二級(jí)保護(hù)動(dòng)物白天鵝從三門峽天鵝湖國家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時(shí)常排成人字形，這個(gè)人字形的一邊與其飛行方向夾角是54°44'8″，從空氣動(dòng)力學(xué)角度看，這個(gè)角度對(duì)于白天鵝隊(duì)伍飛行最佳，所受阻力最小，則13．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請(qǐng)寫出下列正確結(jié)論的序號(hào)．①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．14．（2019·廣西貴港·三模）小明把一副含45°，30°的直角三角板如圖擺放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠α+∠β等于．三、解答題15．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)83°46(2)96°?18°2616．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知輪船A在燈塔P的北偏西20°的方向上，輪船B在燈塔P的南偏東80°的方向上．(1)求從燈塔P看兩輪船的視角（即∠APB）的度數(shù)；(2)輪船C在∠APB的平分線上，則輪船C在燈塔P的什么方向上？17．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，A、O、B三點(diǎn)在一條直線上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，求∠COD的度數(shù)．18．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）線段與角的計(jì)算．(1)如圖①，已知線段AB=12cm，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，AC=4cm，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)，求(2)如圖②，已知∠AOB被分成∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度數(shù)．19．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠EOC與∠COF互余，射線OC平分∠AOF．(1)如圖①，若∠EOC=20°，求∠BOF的度數(shù)；(2)如圖②，若∠EOC=55°，求∠BOF的度數(shù)；(3)請(qǐng)你猜想∠EOC和∠BOF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．20．（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·期中）【實(shí)踐活動(dòng)】如圖1，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合擺放．（1）若∠DCE=50°，則∠ACE＝；∠ACE∠BCD（填>、<、=（2）①若∠DCE=20°，則∠ACB=；若∠ACB=150°，則∠DCE=；②∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系是．【折展探究】（3）如圖2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE=180°，探索∠ACB與∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）已知∠AOB=50°，從頂點(diǎn)O引一條射線OC，若∠AOC=20°，則∠BOC是（

）A．20° B．30° C．70° D．30°或70°22．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，若∠BOD=2∠AOB，OC是∠AOD的平分線，則①∠BOC=13∠AOB；②∠DOC=2∠BOC；③∠COB=12A．①② B．③④ C．②③ D．①④23．（24-25七年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作射線OA，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數(shù)為（

）A．15° B．105° C．15°或105° D．無法計(jì)算24．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）已知一個(gè)角的余角比這個(gè)角的補(bǔ)角的13小20°，則這個(gè)角的余角的度數(shù)是，補(bǔ)角的度數(shù)是25．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠BOE=90°，請(qǐng)寫出下列正確結(jié)論的序號(hào)．

①∠BOC=130°；②∠AOD=25°；③∠BOD=155°；④∠COE=45°．26．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠AOE與∠BOC互余：②∠BOE與∠EOD互補(bǔ)；③∠AOD+∠BOE=∠BOD+180°；④∠AOC?∠BOC=2∠EOD．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有．27．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖①，把直角三角形MON的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分∠AON．(1)若∠MOC=28°，求∠BON的度數(shù)；(2)若∠MOC=m°，則∠BON的度數(shù)為______；（用含m的代數(shù)式表示）(3)由（1）和（2）可得，∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系是______；(4)若將直角三角形MON繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，其他條件不變，請(qǐng)問：∠BON和∠MOC之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．28．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）探究與實(shí)踐將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知∠AOB=90°，∠COD=60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：【問題發(fā)現(xiàn)】（1）保持三角板AOB不動(dòng)，將三角板COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD=__________；②∠BOC?∠AOD=__________．【問題探究】（2）若三角板COD按每分鐘6°的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，三角板AOB按每分鐘4°的速度也繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時(shí)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計(jì)算∠MOC?∠AOD（用含t的代數(shù)式表示）．【問題解決】（3）保持三角板AOB不動(dòng)，將三角板COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°(n≤360)，若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。?9．（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若∠COB=3∠AOD，OE為∠AOD的角平分線，則∠COE的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°30．（23-24七年級(jí)上·湖北荊門·單元測(cè)試）如圖，射線OC,OD都在∠AOB的內(nèi)部，∠AOC和∠BOD都是直角，下列說法：①∠AOD=∠BOC；②∠DOC+∠AOB=180°；③若∠AOB=5∠DOC，則∠COD=30°；④若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠MON=45°．其中結(jié)論正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)31．（22-23七年級(jí)下·安徽淮南·開學(xué)考試）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，∠D=30°、∠BAC=45°，將三角板DBE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且0°<∠CBE<90°，則下列結(jié)論中正確的是（）①∠DBC+∠ABE的角度恒為105°；②∠DBC+∠ABE的角度不恒為105°；③在旋轉(zhuǎn)過程中，若BM平分∠DBA，BN平分∠EBC，則∠MBN=52.5°．A．① B．②③ C．③ D．①③32．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）已知∠AOB=60°,∠AOC=13∠AOB，射線OD平分∠BOC，則33．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，∠AOB=90°，OC是其內(nèi)部一條射線，以O(shè)C為一邊作直角∠COD，點(diǎn)D與點(diǎn)A在邊OC同側(cè)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①∠AOC只與∠BOC互余；②∠AOC與∠BOD互補(bǔ)；③OC平分∠AOB，則OA平分∠COD；④∠AOD的平分線與∠BOC的平分線的夾角是直角．其中正確的是（填序號(hào)）．34．（2024七年級(jí)上·甘肅蘭州·專題練習(xí)）如圖，OC是∠BOD的平分線，OE是∠BOC內(nèi)部一條射線，過點(diǎn)O作射線OA，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得∠AOB:∠BOE=3:2，若∠BOD=120°，∠COE=30°則∠AOC的度數(shù)為．35．（24-25七年級(jí)上·全國·期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA=12∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA的伴隨線．例如，如圖1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，則∠AOC=12∠BOC，稱射線OC是射線OA的伴隨線；同時(shí)，由于(1)【知識(shí)運(yùn)用】如圖2，∠AOB=120°，射線OM是射線OA的伴隨線，則∠AOM=________°，若∠AOB的度數(shù)是α，射線ON是射線OB的伴隨線，射線OC是∠AOB的平分線，則∠NOC的度數(shù)是________．（用含α的代數(shù)式表示）(2)如圖3若∠AOB=180°，射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒5°的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒）使得∠COD的度數(shù)是20°？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t的值為多少時(shí)，射線OC，OD，OA中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？36．（24-25七年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）如圖1，大課間的廣播操展示讓我們充分體會(huì)到了一種整體的圖形之美，洋洋和樂樂想從數(shù)學(xué)角度分析下如何能讓班級(jí)同學(xué)們的廣播操做的更好，他們搜集了標(biāo)準(zhǔn)廣播操圖片進(jìn)行討論，如圖2，為方便研究，定義兩手手心位置分別為A、B兩點(diǎn)，兩腳腳跟位置分別為C、D兩點(diǎn)，定義A、B、C、D平面內(nèi)O為定點(diǎn)，將手腳運(yùn)動(dòng)看作繞點(diǎn)O進(jìn)行旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，A、O、B三點(diǎn)共線，點(diǎn)C、D重合，∠AOC=∠BOC，則∠AOC=°；(2)如圖3，A、O、B三點(diǎn)共線，且∠AOC:∠BOC=3:2，DO平分∠BOC，求∠AOD的大?。?3)第三節(jié)腿部運(yùn)動(dòng)中，如圖4，洋洋發(fā)現(xiàn)，雖然A、O、B三點(diǎn)共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC=3:2，他經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，∠AOC?23∠BOD(4)第四節(jié)體側(cè)運(yùn)動(dòng)中，如圖5，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開，使豎直方向的射線OE平分∠COD，且∠COD=30°，開始運(yùn)動(dòng)前A、O、B三點(diǎn)在同一水平線上，OA、OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OA旋轉(zhuǎn)速度為每秒50°，OB旋轉(zhuǎn)速度為每秒25°，當(dāng)OB旋轉(zhuǎn)到與OD重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止（OE是豎直方向的一條射