2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定2.2.2平面與平面平行的判定1．理解直線與平面平行，平面與平面平行的判定定理．(重點(diǎn))2．會用圖形語言、文字語言、符號語言準(zhǔn)確描述這兩個判定定理，并知道其地位和作用．(易混點(diǎn))3．能夠應(yīng)用兩個判定定理證明直線與平面平行和平面與平面平行(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1直線與平面平行的判定定理閱讀教材P54～P55“例1”以上的內(nèi)容，完成下列問題．自然語言平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥α圖形語言能保證直線a與平面α平行的條件是()A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b【解析】A錯誤，若b?α，a∥b，則a∥α或a?α；B錯誤，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，則a∥α或a?α；C錯誤，若滿足此條件，則a∥α或a?α或a與α相交；D正確．【答案】D教材整理2平面與平面平行的判定定理閱讀教材P56～P57“例2”以上的內(nèi)容，完成下列問題．自然語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行符號語言a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α圖形語言判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()(2)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()(3)平行于同一平面的兩條直線平行．()(4)若α∥β，且直線a∥α，則直線a∥β.()【解析】(1)錯誤．當(dāng)這兩條直線為相交直線時，才能保證這兩個平面平行．(2)正確．如果兩個平面平行，則在這兩個平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn)，則它們平行或異面．(3)錯誤．兩條直線平行或相交或異面．(4)錯誤．直線a∥β或直線a?β.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小組合作型]直線與平面平行的判定已知公共邊為AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ(如圖2-2-1)．求證：PQ∥平面CBE.圖2-2-1【精彩點(diǎn)撥】在平面CBE中找一條直線與PQ平行，從而證明PQ∥平面CBE.【自主解答】作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四邊形PMNQ是平行四邊形，∴PQ∥MN.又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.1．利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是尋找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．2．證線線平行的方法常用三角形中位線定理、平行四邊形性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平行公理等．圖2-2-2[再練一題]1．如圖2-2-2，四邊形ABCD是平行四邊形，S是平面ABCD外一點(diǎn)，M為SC的中點(diǎn)，求證：SA∥平面MDB.【證明】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OM.∵M(jìn)為SC的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)，∴OM∥SA，∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，∴SA∥平面MDB.平面與平面平行的判定如圖2-2-3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、E、F、N分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A圖2-2-3求證：(1)E、F、B、D四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【精彩點(diǎn)撥】(1)欲證E、F、B、D四點(diǎn)共面，需證BD∥EF即可．(2)要證平面MAN∥平面EFDB，只需證MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．【自主解答】(1)連接B1D1，∵E、F分別是邊B1C1、C1D1∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.連接MF.∵M(jìn)、F分別是A1B1、C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.1．要證明面面平行，關(guān)鍵是要在其中一個平面中找到兩條相交直線和另一個平面平行，而要證明線面平行，還要通過證明線線平行，注意這三種平行之間的轉(zhuǎn)化．2．解決此類問題有時還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線(或輔助面)使問題能夠順利轉(zhuǎn)化．[再練一題]2．如圖2-2-4所示，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，E，F(xiàn)，H分別為AB，CD，PD的中點(diǎn)．圖2-2-4求證：平面AFH∥平面PCE.【證明】因?yàn)镕，H分別為CD，PD的中點(diǎn)，所以FH∥PC，因?yàn)镻C?平面PCE，F(xiàn)H?平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF∥CE，而CE?平面PCE，AF?平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH?平面AFH，AF?平面AFH，F(xiàn)H∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.[探究共研型]線面平行、面面平行的綜合應(yīng)用探究1如圖2-2-5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)．你能證明直線EG∥平面BDD1B1圖2-2-5【提示】如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.∴直線EG∥平面BDD1B1.探究2上述問題中，條件不變，請證明平面EFG∥平面BDD1B1.【提示】連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.已知底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論，并說出點(diǎn)F的位置．【精彩點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再確定F的位置．【自主解答】如圖，連接BD交AC于O點(diǎn)，連接OE，過B點(diǎn)作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥CE，交PC于點(diǎn)F，連接BF.∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.∴平面BGF∥平面AEC.∴BF∥平面AEC.∵BG∥OE，O是BD中點(diǎn)，∴E是GD中點(diǎn)．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中點(diǎn)．而GF∥CE，∴F為PC中點(diǎn)．綜上，當(dāng)點(diǎn)F是PC中點(diǎn)時，BF∥平面AEC.解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略1．立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．2.eq\x(線線平行)eq\o(→,\s\up17(判定))eq\x(線面平行)eq\o(→,\s\up17(判定))eq\x(面面平行)所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的判定定理．[再練一題]3.如圖2-2-6，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．圖2-2-6證明：直線MN∥平面OCD.【證明】如圖，取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE，則ME∥AB.又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又∵M(jìn)E?平面OCD，CD?平面OCD，∴ME∥平面OCD.又∵NE∥OC，且NE?平面OCD，OC?平面OCD，∴NE∥平面OCD.又∵M(jìn)E∩NE＝E，且ME，NE?平面MNE，∴平面MNE∥平面OCD.∵M(jìn)N?平面MNE，∴MN∥平面OCD.1．過直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面()A．不可能作出 B．只能作出一個C．能作出無數(shù)個 D．上述三種情況都存在【解析】設(shè)直線外兩點(diǎn)為A、B，若直線AB∥l，則過A、B可作無數(shù)個平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個平面與l平行；若直線AB與l相交，則過A、B沒有平面與l平行．【答案】D2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的動點(diǎn)，則直線MC1與平面AA1B1BA．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行B[如圖，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面3．a(chǎn)、b、c為三條不重合的直線，α、β、γ為三個不重合的平面，現(xiàn)給出六個命題．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))?a∥b；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))?α∥β；⑤eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,α∥c))?a∥α；⑥eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))?a∥α，其中正確的命題是________．(填序號)【解析】①是平行公理，正確；②中a，b還可能異面或相交；③中α、β還可能相交；④是平面平行的傳遞性，正確；⑤還有可能a?α；⑥也是忽略了a?α的情形．【答案】①④4．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關(guān)系是________.【解析】因?yàn)锳B∥CD，