21.4.4二次函數(shù)應(yīng)用中的其他問題第21章二次函數(shù)與反比例函數(shù)【2025-2026學(xué)年】滬科版

數(shù)學(xué)

九年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********21.4.4二次函數(shù)應(yīng)用中的其他問題學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握二次函數(shù)在幾何圖形動(dòng)態(tài)問題、方案設(shè)計(jì)等其他場景中的應(yīng)用方法，能準(zhǔn)確建立函數(shù)模型。學(xué)會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決這些問題中的最值、存在性等問題，提升綜合分析能力。體會(huì)二次函數(shù)在不同實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問題的信心。課堂講解知識(shí)點(diǎn)一：幾何圖形動(dòng)態(tài)問題中的二次函數(shù)應(yīng)用問題特點(diǎn)：幾何圖形中存在動(dòng)點(diǎn)，隨著動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)，圖形的面積、線段長度等會(huì)發(fā)生變化，這些變化量之間的關(guān)系往往可以用二次函數(shù)來表示。解題思路：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或移動(dòng)的距離為自變量\(x\)。根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，用含\(x\)的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段長度、面積等。建立這些量與\(x\)之間的二次函數(shù)關(guān)系。利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值或解決其他相關(guān)問題。實(shí)例分析：在直角三角形\(ABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=6cm\)，\(BC=8cm\)，點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)沿邊\(AC\)向點(diǎn)\(C\)以\(1cm/s\)的速度移動(dòng)，點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)沿邊\(CB\)向點(diǎn)\(B\)以\(2cm/s\)的速度移動(dòng)。如果點(diǎn)\(P\)、\(Q\)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒后，\(\trianglePCQ\)的面積最大？最大面積是多少？設(shè)經(jīng)過\(t\)秒后，\(\trianglePCQ\)的面積為\(Scm?2\)。此時(shí)，\(AP=tcm\)，則\(PC=(6-t)cm\)；\(CQ=2tcm\)。根據(jù)三角形面積公式，\(S=\frac{1}{2}\timesPC\timesCQ=\frac{1}{2}(6-t)\times2t=-t?2+6t\)。這是一個(gè)二次函數(shù)，\(a=-1\lt0\)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為\(t=-\frac{6}{2\times(-1)}=3\)。因?yàn)閈(t\)的取值范圍是\(0\ltt\lt4\)（\(Q\)到達(dá)\(B\)點(diǎn)時(shí)\(t=4\)），\(3\)在這個(gè)范圍內(nèi)。當(dāng)\(t=3\)時(shí)，\(S\)有最大值，\(S_{????¤§???}=-3?2+6\times3=9cm?2\)。所以經(jīng)過\(3\)秒后，\(\trianglePCQ\)的面積最大，最大面積是\(9cm?2\)。知識(shí)點(diǎn)二：方案設(shè)計(jì)中的二次函數(shù)應(yīng)用問題特點(diǎn)：在實(shí)際生活中，常常需要設(shè)計(jì)最優(yōu)方案，如材料最省、成本最低、效率最高等，這些問題往往可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題。解題思路：分析問題中的變量，確定自變量和因變量。根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，建立因變量與自變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式。結(jié)合自變量的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最優(yōu)方案。實(shí)例分析：某工廠要制作一批容積為\(500cm?3\)的長方體盒子，盒子的底面長是寬的\(2\)倍，制作盒子的側(cè)面成本為每平方厘米\(0.1\)元，底面和頂面的成本為每平方厘米\(0.2\)元，求當(dāng)盒子的寬為多少時(shí)，制作一個(gè)盒子的成本最低？最低成本是多少？設(shè)盒子的寬為\(xcm\)，則長為\(2xcm\)，高為\(hcm\)。由容積公式\(V=é?????????é??\)，可得\(500=2x\timesx\timesh\)，則\(h=\frac{500}{2x?2}=\frac{250}{x?2}\)。盒子的側(cè)面面積為\(2\times(é????é??+?????é??)=2\times(2x\times\frac{250}{x?2}+x\times\frac{250}{x?2})=2\times(\frac{500}{x}+\frac{250}{x})=2\times\frac{750}{x}=\frac{1500}{x}cm?2\)。底面和頂面的面積為\(2\times(é???????)=2\times(2x\timesx)=4x?2cm?2\)。制作一個(gè)盒子的成本\(y=0.1\times\frac{1500}{x}+0.2\times4x?2=\frac{150}{x}+0.8x?2\)。為了方便計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為關(guān)于\(x\)的二次函數(shù)（此處通過求導(dǎo)或其他方法可知，當(dāng)\(x=5\)時(shí)成本最低），經(jīng)計(jì)算當(dāng)\(x=5\)時(shí)，\(y=\frac{150}{5}+0.8\times25=30+20=50\)元。所以當(dāng)盒子的寬為\(5cm\)時(shí)，制作一個(gè)盒子的成本最低，最低成本是\(50\)元。例題講解例1：在矩形\(ABCD\)中，\(AB=6cm\)，\(BC=12cm\)，點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)沿\(AB\)邊向點(diǎn)\(B\)以\(1cm/s\)的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(B\)出發(fā)沿\(BC\)邊向點(diǎn)\(C\)以\(2cm/s\)的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒，求\(\trianglePBQ\)的面積\(S\)與\(t\)的函數(shù)關(guān)系式，并求出\(S\)的最大值。解：由題意可知，\(AP=tcm\)，則\(PB=(6-t)cm\)；\(BQ=2tcm\)（\(t\leq6\)，因?yàn)閈(Q\)到達(dá)\(C\)點(diǎn)時(shí)\(t=6\)）。\(\trianglePBQ\)的面積\(S=\frac{1}{2}\timesPB\timesBQ=\frac{1}{2}(6-t)\times2t=-t?2+6t\)（\(0\ltt\leq6\)）。此函數(shù)中\(zhòng)(a=-1\lt0\)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為\(t=3\)。因?yàn)閈(t=3\)在\(0\ltt\leq6\)范圍內(nèi)，所以當(dāng)\(t=3\)時(shí)，\(S\)有最大值，\(S_{????¤§???}=-3?2+6\times3=9cm?2\)。例2：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為\(10\)元，銷售價(jià)為\(x\)元（\(10\ltx\leq25\)），根據(jù)市場調(diào)查，銷售量\(y\)（件）與銷售價(jià)\(x\)（元）之間滿足關(guān)系\(y=-10x+400\)。設(shè)該公司銷售這種產(chǎn)品的利潤為\(w\)元，求當(dāng)銷售價(jià)為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？解：利潤\(w=(é???????·-??????)??é?????é??=(x-10)(-10x+400)=-10x?2+500x-4000\)。函數(shù)中\(zhòng)(a=-10\lt0\)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為\(x=-\frac{500}{2\times(-10)}=25\)。因?yàn)閈(x\)的取值范圍是\(10\ltx\leq25\)，所以當(dāng)\(x=25\)時(shí)，\(w\)有最大值。\(w_{????¤§???}=-10\times25?2+500\times25-4000=-6250+12500-4000=2250\)元。所以當(dāng)銷售價(jià)為\(25\)元時(shí)，利潤最大，最大利潤是\(2250\)元。課堂小結(jié)二次函數(shù)在幾何圖形動(dòng)態(tài)問題中，可通過設(shè)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)距離為自變量，結(jié)合圖形性質(zhì)建立面積等與自變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求最值。在方案設(shè)計(jì)問題中，需分析變量關(guān)系，建立成本、利潤等與自變量的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)找到最優(yōu)方案。解決這些問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確建立二次函數(shù)模型，明確自變量取值范圍，再運(yùn)用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值。作業(yè)提升在邊長為\(4cm\)的正方形\(ABCD\)中，點(diǎn)\(E\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)沿\(AB\)向點(diǎn)\(B\)以\(1cm/s\)的速度移動(dòng)，點(diǎn)\(F\)從點(diǎn)\(B\)出發(fā)沿\(BC\)向點(diǎn)\(C\)以\(1cm/s\)的速度移動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒，求\(\triangleDEF\)的面積\(S\)與\(t\)的函數(shù)關(guān)系式，并求\(S\)的最小值。某工廠計(jì)劃生產(chǎn)一種長方體形通風(fēng)管，其橫截面是邊長為\(x\)米的正方形，通風(fēng)管的長為\(y\)米，已知制作通風(fēng)管的材料總面積為\(12\)平方米（不計(jì)損耗），且\(y\gtx\)。求當(dāng)\(x\)為多少時(shí)，通風(fēng)管的體積最大？最大體積是多少？某商店購進(jìn)一批單價(jià)為\(20\)元的日用品，若按每件\(30\)元銷售，每天可售出\(40\)件；若每件售價(jià)每上漲\(1\)元，每天的銷售量就減少\(2\)件。設(shè)每件售價(jià)為\(x\)元（\(x\geq30\)），每天的利潤為\(w\)元，求當(dāng)售價(jià)為多少時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解新課導(dǎo)入行駛中的汽車，在制動(dòng)后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“制動(dòng)距離”.為了了解某型號(hào)汽車的制動(dòng)性能，對(duì)其進(jìn)行了測試，測得數(shù)據(jù)如下表：制動(dòng)時(shí)車速/km·h-101020304050制動(dòng)距離/m00.31.02.13.65.5

有一輛該型號(hào)的汽車在公路上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場測得制動(dòng)距離為46.5m，試問交通事故發(fā)生時(shí)車速是多少？是否因超速（該段公路限速110km/h）行駛導(dǎo)致了交通事故？

解以制動(dòng)時(shí)車速的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)（x值）、制動(dòng)距離的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)（y值），在平面直角坐標(biāo)系中，描出各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖.o102030405060708012345678制動(dòng)距離y與制動(dòng)時(shí)車速x之間的關(guān)系可近似地看成二次函數(shù).

設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c在已知數(shù)據(jù)中任選三組，如取(0,0)，(10,0.3)，(20,1.0)，分別代入所設(shè)函數(shù)的表達(dá)式，得解方程組，得

所求函數(shù)的表達(dá)式為y=0.002x2+0.01x(x≥0)把y=46.5m代入上式，得46.5=0.002x2+0.01x.解方程，得x1=150(km/h)，x1=-155(km/h)(舍去)答：制動(dòng)時(shí)車速為150km/h(>110km/h)，即在事故發(fā)生時(shí)，該汽車屬超速行駛.

隨堂練習(xí)1.平時(shí)我們?cè)谔K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距離為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂，已知學(xué)生丙的身高是1.5m，則學(xué)生丁的身高為________.1.625m

2.如圖，用長10m的鋁合金條制成下部為矩形、上部為半圓的窗框（包括窗棱），若使此窗戶的透光面積最大，則最大透光面積為()ABDCC

3.羽毛球比賽中的某次運(yùn)動(dòng)路線可以看成是一條拋物線(如圖).若不考慮外力因素，羽毛球行進(jìn)高度y(m)與水平距離x(m)之間滿足關(guān)系，則羽毛球飛行的最大高度為()A.1m B.2mC.3m D.4mB

4.如圖，有一個(gè)拋物線形狀的涵洞，其函數(shù)解析式為y=ax2(a≠0)，涵洞跨度AB=12m，內(nèi)部高度h=4m.為了安全，卡車經(jīng)過涵洞時(shí)，載貨(矩形)最高處與其正上方頂部之間的距離不能小于0.5m.現(xiàn)有一輛運(yùn)貨卡車欲通過涵洞，經(jīng)測量，該車寬度為4m，載貨最高處距地面2.5m.該車能否通過？為什么？

解：∵AB=12，內(nèi)部高度h=4，∴A(-6,-4)，代入y=ax2，得-4=36a，∴a=，∴當(dāng)x=2時(shí)，∴∴該車可以通過涵洞.

知識(shí)點(diǎn)1

用二次函數(shù)模擬數(shù)據(jù)解決實(shí)際問題1．

滑雪是冬季運(yùn)動(dòng)愛好者的喜愛項(xiàng)目之一．滑雪者從山坡

滑下，其滑行距離s(m)是滑行時(shí)間t(s)的二次函數(shù)．滑雪愛

好者小聰從山坡滑下，同學(xué)小敏幫他測得了一些數(shù)據(jù)，記

錄于下表．滑行時(shí)間t/s01234滑行距離s/m04.51438.54823456781(1)在上表的數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)有一對(duì)數(shù)據(jù)記錄錯(cuò)誤．請(qǐng)你在如圖

所示的坐標(biāo)系中，通過描點(diǎn)、連線的方法畫出函數(shù)的大致

圖象，并觀察判斷哪一對(duì)數(shù)據(jù)是錯(cuò)誤的；解：(1)如圖所示．由圖象可知t＝3，s＝38.5這組數(shù)據(jù)是錯(cuò)誤的．23456781(2)根據(jù)(1)中結(jié)果，求出s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出當(dāng)滑行時(shí)間為6s時(shí)，小聰在山坡上滑行的距離是多少．觀察函數(shù)圖象，設(shè)s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s＝at2＋bt(a≠0)，將點(diǎn)(1，4.5)，(2，14)的坐標(biāo)分別代入s＝at2＋bt，得所以s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s＝

t2＋2t.當(dāng)t＝6時(shí)，s＝

×62＋2×6＝102，所以當(dāng)滑行時(shí)間為6s時(shí)，小聰在山坡上滑行的距離是102m.23456781知識(shí)點(diǎn)2用二次函數(shù)解決銷售問題2．

[2025·蕪湖無為月考]某商場降價(jià)銷售一批襯衫，已知所

獲利潤y(元)與降價(jià)金額x(元)之間滿足函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝－2x2

＋60x＋800，則最多獲利(

)A．

15元B．

400元C．

800元D．

1250元D234567813．

[2025·合肥蜀山區(qū)模擬改編]某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30，且x為整數(shù))出

售，可賣出(30－x)件，要使利潤最大，每件的售價(jià)應(yīng)為

(

)A．

24元B．

25元C．

28元D．

30元B234567814．

[2025年1月滁州期末]落一子而全局活．地?cái)偨?jīng)濟(jì)一放開，不少地方出現(xiàn)了“千樹萬樹梨花開”的景象．某人將每件進(jìn)價(jià)為8元的紀(jì)念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售價(jià)的辦法來增加利潤，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種紀(jì)念品每件的售價(jià)每提價(jià)1元，每天的銷售量會(huì)減少4件．(1)寫出每天所得的利潤y(元)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)表達(dá)式；解：(1)由題意可得y＝(x－8)[20－4(x－9)]，即y＝－4x2＋88x－448.234567814．

[2025年1月滁州期末]落一子而全局活．地?cái)偨?jīng)濟(jì)一放開，不少地方出現(xiàn)了“千樹萬樹梨花開”的景象．某人將每件進(jìn)價(jià)為8元的紀(jì)念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售價(jià)的辦法來增加利潤，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種紀(jì)念品每件的售價(jià)每提價(jià)1元，每天的銷售量會(huì)減少4件．(2)每件的售價(jià)定為多少元，才能使一天所得的利潤最大？最大利潤是多少元？因?yàn)閥＝－4x2＋88x－448＝－4(x－11)2＋36，所以當(dāng)x＝11時(shí)，y有最大值，為36.答：每件的售價(jià)定為11元，才能使一天所得的利潤最大，最大利潤是36元.234567815．

某車在彎路上做剎車試驗(yàn)，收集到的數(shù)據(jù)如下表所示：速度x/(km·h-1)05101520a…剎車距離y/m00.7523.75612…

則a＝________．

30234567816．

[2025·馬鞍山模擬]某超市購進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每

個(gè)10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)

之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，則該超市每天銷售這款

拼裝玩具的最大利潤為________元．800234567817.

[跨學(xué)科·生物

2024·蘇州期中]數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行“校園農(nóng)業(yè)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)”，實(shí)施無土栽培．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：灑水少了“發(fā)芽率p”低，灑水多了要爛根，也會(huì)影響“發(fā)芽率p”．通過實(shí)驗(yàn)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：在溫度一定的條件下，發(fā)芽率p與灑水量v(單位：L)近似地滿足函數(shù)關(guān)系p＝av2＋bv＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳的灑水量為(

)A．

3.50LB．

3.75LC．

4.00LD．

4.25LB23456781點(diǎn)撥：根據(jù)題意，將(2，0.2)，(4，0.8)，(5，0.5)代入p＝av2＋bv＋c，所以p＝－0.2v2＋1.5v－2＝－0.2(v－3.75)2＋0.8125，所以當(dāng)v＝3.75時(shí)，p取到最大值．234567818.

[高階思維·決策力2024·溫州期中]綜合和實(shí)踐：設(shè)計(jì)保底利潤的銷售方案．【背景素材】某公司需處理100件成本為20元/件，售價(jià)為80元/件的庫存產(chǎn)品，計(jì)劃全部銷售給兩個(gè)經(jīng)銷商，以獲得4400元的保底利潤．經(jīng)協(xié)商，公司給經(jīng)銷商A的優(yōu)惠條件是：當(dāng)購買量超過30件時(shí)，每多購買1件，每件產(chǎn)品售價(jià)下降1元，并規(guī)定售價(jià)不能低于40元/件．公司給經(jīng)銷商B的優(yōu)惠條件是：當(dāng)購買量達(dá)到30件及以上時(shí)，每件產(chǎn)品售價(jià)降低20元．23456781【問題解決】為設(shè)計(jì)方案，可以通過特殊情況或滿足部分

條件逐步進(jìn)行探究．思考1(特值分析)：若公司將產(chǎn)品平均出售給兩個(gè)經(jīng)銷商，

則可以獲利________元；400023456781思考2(逐步求解)：當(dāng)公司出售給經(jīng)銷商A的數(shù)量超過70件

時(shí)，能否實(shí)現(xiàn)保底利潤？設(shè)公司可以獲得的利潤為w元，公司出售給經(jīng)銷商A的數(shù)量為a件，其中a>70，則出售給經(jīng)銷商B的數(shù)量為(100－a)件，且100－a<30，則公司可獲利w＝[80－(a－30)×1－20]a＋(100－a)(80－20)＝－a2＋30a＋6000＝－(a－15)2＋6225.當(dāng)