南京市2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)2021.01注意事項：1．本試卷包括單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）四部分。本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置。3．作答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．若角α的終邊經(jīng)過點P(3，a)(a≠0)，則A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜02．記函數(shù)y＝eq\r(,4－x2)的定義域為A，函數(shù)y＝ln(x－1)的定義域為B，則A∩B＝A．(1，2)B．(1，2]C．(－2，1)D．[－2，1)3．設(shè)實數(shù)x滿足x＞0，函數(shù)y＝2＋3x＋eq\f(4,x＋1)的最小值為A．4eq\r(3)－1B．4eq\r(3)＋2C．4eq\r(2)＋1D．64．已知a，b，m都是負(fù)數(shù)，且a＜b，則A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)B．eq\f(a,b)＜eq\f(b,a)C．a(chǎn)＋m＞b＋mD．eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a)5．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是A．v＝2t－2B．v＝eq\f(t2－1,2)C．v＝log0.5tD．v＝log3t6．若函數(shù)f(x)＝sin2x與g(x)＝2cosx都在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則b－a的最大值是A．eq\s\do1(\f(π,4))B．eq\s\do1(\f(π,3))C．eq\s\do1(\f(π,2))D．eq\s\do1(\f(2π,3))B－ππ1yxOAx－ππ1yOD1－ππOxyxC－ππ1yO7．函數(shù)f(x)B－ππ1yxOAx－ππ1yOD1－ππOxyxC－ππ1yO8．若函數(shù)f(x)同時滿足：①定義域內(nèi)存在實數(shù)x，使得f(x)·f(－x)＜0；②對于定義域內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；則稱函數(shù)f(x)為“DM函數(shù)”．下列函數(shù)中是“DM函數(shù)”的為A．f(x)＝x3B．f(x)＝sinxC．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有選錯的得0分．9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝tan2x，下列說法中正確的是A．最小正周期是eq\s\do1(\f(π,2))B．圖象關(guān)于點(eq\s\do1(\f(π,2))，0)對稱C．圖象關(guān)于直線x＝eq\s\do1(\f(π,4))對稱D．在區(qū)間(－eq\s\do1(\f(π,2))，eq\s\do1(\f(π,2)))上單調(diào)遞增10．已知曲線C1：y＝sinx，C2：y＝sin(2x＋eq\s\do1(\f(π,3)))，下列說法中正確的是A．把C1向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到C2B．把C1向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，得到C2C．把C1上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，再向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到C2D．把C1上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，再向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到C211．我們知道，如果集合Aeq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())S，那么S的子集A的補(bǔ)集為?sA＝{x|x∈S，且xA}．類似地，對于集合A，B，我們把集合{x|x∈A，且xB}叫作集合A與B的差集，記作A－B．據(jù)此，下列說法中正確的是A．若Aeq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())B，則A－B＝B．若Beq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())A，則A－B＝AC．若A∩B＝，則A－B＝AD．若A∩B＝C，則A－B＝A－C12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，y＝[x]也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．已知函數(shù)f(x)＝[x＋1]－x，下列說法中正確的是A．f(x)是周期函數(shù)B．f(x)的值域是(0，1]C．f(x)在(0，1)上是增函數(shù)D．x∈R，[f(x)]＝0三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(2，eq\r(2))，則α的值為▲．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝3a，則a的值為▲．15．已知sin(α＋eq\s\do1(\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則sin(eq\s\do1(\f(5π,6))－α)＋sin2(eq\s\do1(\f(π,3))－α)的值為▲．16．地震震級是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般采用里氏震級標(biāo)準(zhǔn)．震級(M)是用據(jù)震中100千米處的標(biāo)準(zhǔn)地震儀所記錄的地震波最大振幅值的對數(shù)來表示的．里氏震級的計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差)．根據(jù)該公式可知，7.5級地震的最大振幅是6級地震的最大振幅的▲倍(精確到1)．四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知集合A＝{x|eq\f(2x＋1,x－1)＜1}，B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}．（1）當(dāng)m＝1時，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．18．（本小題滿分12分）已知sin(π＋α)cos(π－α)＝eq\f(1,8)，且0＜α＜eq\s\do1(\f(π,4))．（1）求cosα＋cos(eq\s\do1(\f(π,2))＋α)的值；（2）求tanα的值．19．（本小題滿分12分）（1）計算：2EQ\s\up4(log25)＋(0.125)EQ\s\up4(－EQ\F(2,3))＋logeq\s\do4(eq\r(,3))9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求證：ab＜a＋b＜0．20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|為R上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）若不等式f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0對任意x∈[eq\s\do1(\f(π,3))，eq\s\do1(\f(7π,6))]恒成立，求實數(shù)t的最小值．21．（本小題滿分12分）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t(單位：s)時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝Asin(ωt＋eq\s\do1(\f(π,4)))確定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為1s．且最高點與最低點間的距離為10cm．（1）求小球相對平衡位置的高度h(單位：cm)和時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系；（2）小球在t0s內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，求t0的取值范圍．（第21題圖）（第21題圖）22．（本小題滿分12分）對于定義在D上的函數(shù)f(x)，如果存在實數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，那么稱x0是函數(shù)f(x)的一個不動點．已知f(x)＝ax2＋1．（1）當(dāng)a＝－2時，求f(x)的不動點；（2）若函數(shù)f(x)有兩個不動點x1，x2，且x1＜2＜x2．①求實數(shù)a的取值范圍；②設(shè)g(x)＝loga[f(x)－x]，求證：g(x)在(a，＋∞)上至少有兩個不動點．南京市2020－2021學(xué)年度第一學(xué)期期末學(xué)情調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)2021.01注意事項：1．本試卷包括單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第12題）、填空題（第13題~第16題）、解答題（第17題~第22題）四部分。本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號填涂在答題卡上指定的位置。3．作答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。4．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．若角α的終邊經(jīng)過點P(3，a)(a≠0)，則A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜0【答案】C【考點】三角函數(shù)的定義、在各象限的符號【解析】由三角函數(shù)的定義可知，sinα符號不確定，cosα，故答案選C.2．記函數(shù)y＝eq\r(,4－x2)的定義域為A，函數(shù)y＝ln(x－1)的定義域為B，則A∩B＝A．(1，2)B．(1，2]C．(－2，1)D．[－2，1)【答案】B【考點】定義域的求解、集合的交集【解析】由題意，，所以A∩B＝(1，2]，故答案選B.3．設(shè)實數(shù)x滿足x＞0，函數(shù)y＝2＋3x＋eq\f(4,x＋1)的最小值為A．4eq\r(3)－1B．4eq\r(3)＋2C．4eq\r(2)＋1D．6【答案】A【考點】利用基本不等式求最值【解析】由題意x＞0，所以x+1＞0，所以y＝2＋3x＋eq\f(4,x＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)y＝2＋3x＋eq\f(4,x＋1)的最小值為4eq\r(3)－1，故答案選A.4．已知a，b，m都是負(fù)數(shù)，且a＜b，則A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)B．eq\f(a,b)＜eq\f(b,a)C．a(chǎn)＋m＞b＋mD．eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a)【答案】D【考點】不等式的基本性質(zhì)【解析】法一：可取特殊值a＝－2，b＝－1驗證可得D選項正確；法二：由題意a＜b＜0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，選項A錯誤；由a＜b，不等式兩邊同除ab，可得，即eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，選項B錯誤；由不等式的可加性可知，由a＜b，可得a＋m＜b＋m，選項C錯誤；由，所以eq\f(b＋m,a＋m)＞eq\f(b,a)，選項D正確；故答案選D.5．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t1.93.04.05.16.1v1.54.07.512.018.0現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是A．v＝2t－2B．v＝eq\f(t2－1,2)C．v＝log0.5tD．v＝log3t【答案】B【考點】函數(shù)的基本性質(zhì)與解析式【解析】法一：從圖表數(shù)據(jù)可知，隨著t的變大，v變大，則函數(shù)為單調(diào)遞增，且增加速度越來越快，故排除選項A、C、D（A選項為線性增加的函數(shù)，C選項為遞減函數(shù)，D選項為比線性增加較為緩慢的函數(shù)），故答案選B.法二：取t＝4，可得：對于A選項，v＝2×4－2=6，故選項A錯誤；對于B選項，v＝eq\f(t2－1,2)＝7.5，故選項B可能正確；對于C選項，v＝log0.5t＝－2，故選項C錯誤；對于D選項，v＝log3t＝log34，故選項D錯誤；以上只有B選項最接近，故答案選B.6．若函數(shù)f(x)＝sin2x與g(x)＝2cosx都在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則b－a的最大值是A．eq\s\do1(\f(π,4))B．eq\s\do1(\f(π,3))C．eq\s\do1(\f(π,2))D．eq\s\do1(\f(2π,3))【答案】C【考點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：單調(diào)性【解析】由題意函數(shù)f(x)＝sin2x在(，)上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)＝2cosx在(0，)上單調(diào)遞減，則，，所以b－a的最大值為，故答案選C.B－ππ1yxOAx－ππ1yOD1－ππOxyxC－ππ1yO7．函數(shù)f(xB－ππ1yxOAx－ππ1yOD1－ππOxyxC－ππ1yO【答案】D【考點】利用函數(shù)的基本性質(zhì)對函數(shù)圖象的識別與判斷【解析】由題意該函數(shù)f(x)＝eq\s\do1(\f(sinx＋x,cosx＋x2))在[－π，π]上為奇函數(shù)，且f(π)＝，故答案排除A、B、C，故答案選D.8．若函數(shù)f(x)同時滿足：①定義域內(nèi)存在實數(shù)x，使得f(x)·f(－x)＜0；②對于定義域內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0；則稱函數(shù)f(x)為“DM函數(shù)”．下列函數(shù)中是“DM函數(shù)”的為A．f(x)＝x3B．f(x)＝sinxC．f(x)＝ex－1D．f(x)＝lnx【答案】A【考點】新定義函數(shù)的性質(zhì)【解析】由題意“DM函數(shù)”為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，故只有A選項滿足，所以答案選A.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有選錯的得0分．9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝tan2x，下列說法中正確的是A．最小正周期是eq\s\do1(\f(π,2))B．圖象關(guān)于點(eq\s\do1(\f(π,2))，0)對稱C．圖象關(guān)于直線x＝eq\s\do1(\f(π,4))對稱D．在區(qū)間(－eq\s\do1(\f(π,2))，eq\s\do1(\f(π,2)))上單調(diào)遞增【答案】AB【考點】正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)【解析】由題意函數(shù)f(x)＝tan2x的最小正周期為，故選項A正確；由f(eq\s\do1(\f(π,2)))＝0，故選項B正確；因為函數(shù)f(x)＝tan2x不存在對稱軸，故選項C錯誤；因為x∈(－eq\s\do1(\f(π,2))，eq\s\do1(\f(π,2)))，所以2x，此區(qū)間不是函數(shù)y＝tanx的單調(diào)遞增區(qū)間，故選項D錯誤；故答案選AB.10．已知曲線C1：y＝sinx，C2：y＝sin(2x＋eq\s\do1(\f(π,3)))，下列說法中正確的是A．把C1向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到C2B．把C1向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，得到C2C．把C1上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，再向左平移eq\f(π,3)個單位長度，得到C2D．把C1上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，再向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到C2【答案】BD【考點】函數(shù)的圖象變換【解析】變換方式一：由函數(shù)y＝sinx的圖象可向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，得到y(tǒng)＝sin(2x＋eq\s\do1(\f(π,3)))；變換方式二：因為，所以由函數(shù)y＝sinx的圖象可講其圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)倍，再向左平移eq\f(π,6)個單位長度，得到y(tǒng)＝sin(2x＋eq\s\do1(\f(π,3)))；故答案選BD.11．我們知道，如果集合Aeq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())S，那么S的子集A的補(bǔ)集為?sA＝{x|x∈S，且xA}．類似地，對于集合A，B，我們把集合{x|x∈A，且xB}叫作集合A與B的差集，記作A－B．據(jù)此，下列說法中正確的是A．若Aeq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())B，則A－B＝B．若Beq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())A，則A－B＝AC．若A∩B＝，則A－B＝AD．若A∩B＝C，則A－B＝A－C【答案】ACD【考點】新定義集合的應(yīng)用【解析】由差集的定義可知，對于選項A，若Aeq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())B，則A中的元素均在B中，則A－B＝，故選項A正確；對于選項B，若Beq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())A，則B中的元素均在A中，則A－B＝?AB≠A，故選項B錯誤；對于選項C，若A∩B＝，則A、B無公共元素，則A－B＝A，故選項C正確；對于選項D，若A∩B＝C，則A－B＝?AC＝A－C，故選項D正確；故答案選ACD.12．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，y＝[x]也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．已知函數(shù)f(x)＝[x＋1]－x，下列說法中正確的是A．f(x)是周期函數(shù)B．f(x)的值域是(0，1]C．f(x)在(0，1)上是增函數(shù)D．x∈R，[f(x)]＝0【答案】AB【考點】新定義函數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用【解析】由題意[x＋1]＝，所以f(x)＝[x＋1]－x＝，可畫出圖象（圖略），可得到函數(shù)f(x)是周期為1的函數(shù)，且值域為(0，1]，在(0，1)上單調(diào)遞減，故選項A、B正確，C錯誤；對于選項D，[f(x)]＝1，所以選項D錯誤，故答案選AB.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．13．已知冪函數(shù)y＝xα的圖象過點(2，eq\r(2))，則α的值為▲．【答案】eq\s\do1(\f(1,2))【考點】冪函數(shù)的概念【解析】由題意可知，即，解得，故答案為eq\s\do1(\f(1,2)).14．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x＜1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝3a，則a的值為▲．【答案】4【考點】分段函數(shù)求參數(shù)【解析】由題意可知，，解得a＝4，故答案為4.15．已知sin(α＋eq\s\do1(\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，則sin(eq\s\do1(\f(5π,6))－α)＋sin2(eq\s\do1(\f(π,3))－α)的值為▲．【答案】eq\f(11,9)【考點】三角函數(shù)中同角的三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用（給值求值）【解析】因為，，所以sin(eq\s\do1(\f(5π,6))－α)＝，，所以sin(eq\s\do1(\f(5π,6))－α)＋sin2(eq\s\do1(\f(π,3))－α)＝.故答案為eq\f(11,9).16．地震震級是根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定的，一般采用里氏震級標(biāo)準(zhǔn)．震級(M)是用據(jù)震中100千米處的標(biāo)準(zhǔn)地震儀所記錄的地震波最大振幅值的對數(shù)來表示的．里氏震級的計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差)．根據(jù)該公式可知，7.5級地震的最大振幅是6級地震的最大振幅的▲倍(精確到1)．【答案】32【考點】文化題：指對數(shù)的運算【解析】由題意M＝lgA－lgA0，即，則，當(dāng)M=7.5時，地震的最大振幅為；當(dāng)M=6時，地震的最大振幅為，所以，故答案為32.四、解答題：本大題共6小題，共70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知集合A＝{x|eq\f(2x＋1,x－1)＜1}，B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}．（1）當(dāng)m＝1時，求A∪B；（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【考點】集合與邏輯用語（含分式不等式、一元二次不等式的解法）【解析】解：（1）由eq\f(2x＋1,x－1)＜1，得eq\f(x＋2,x－1)＜0，所以A＝{x|－2＜x＜1}．B＝{x|2x2＋(m－2)x－m＜0}＝{x|(x－1)(2x＋m)＜0}．當(dāng)m＝1時，B＝{x|－eq\s\do1(\f(1,2))＜x＜1}． 3分所以A∪B＝{x|－2＜x＜1}． 4分（2）因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，所以Beq\o(\s\do3(－),\d\fo0()\s\up2())A． 6分若－eq\f(m,2)＞1，不符合題意； 7分若－eq\f(m,2)＝1即m＝－2時，B＝，符合題意； 8分若－eq\f(m,2)＜1，則B＝{x|－eq\f(m,2)＜x＜1}，所以－2≤－eq\f(m,2)＜1，解得－2＜m≤4． 9分綜上，m∈[－2，4]． 10分18．（本小題滿分12分）已知sin(π＋α)cos(π－α)＝eq\f(1,8)，且0＜α＜eq\s\do1(\f(π,4))．（1）求cosα＋cos(eq\s\do1(\f(π,2))＋α)的值；（2）求tanα的值．【考點】同角的三角函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式【解析】解：（1）因為sin(π＋α)cos(π－α)＝sinαcosα，且sin(π＋α)cos(π－α)＝eq\f(1,8)，所以sinαcosα＝eq\f(1,8)． 2分故(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)． 4分又因為0＜α＜eq\f(π,4)，所以cosα＞sinα，即cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2)．所以cosα＋cos(eq\s\do1(\f(π,2))＋α)＝cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2)． 6分（2）法一：由（1）知sinαcosα＝eq\f(1,8)，又因為sin2α＋cos2α＝1，所以eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1,8)．因為0＜α＜eq\s\do1(\f(π,4))，cosα≠0，所以eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1,8)，即tan2α－8tanα＋1＝0， 9分解得tanα＝4－eq\r(15)或tanα＝4＋eq\r(15)． 10分因為0＜α＜eq\f(π,4)，所以0＜tanα＜1，所以tanα＝4－eq\r(15)． 12分法二：由（1）知eq\b\lc\{(\a\al(cosα－sinα＝eq\f(\r(3),2)，,sinαcosα＝eq\f(1,8)．))因為0＜α＜eq\f(π,4)，所以cosα＞sinα＞0，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝eq\f(eq\r(3)＋eq\r(5),4)，,sinα＝eq\f(－eq\r(3)＋eq\r(5),4)，)) 10分所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝4－eq\r(15)． 12分19．（本小題滿分12分）（1）計算：2EQ\s\up4(log25)＋(0.125)EQ\s\up4(－EQ\F(2,3))＋logeq\s\do4(eq\r(,3))9；（2）已知a＝log0.43，b＝log43，求證：ab＜a＋b＜0．【考點】指對數(shù)的運算、指對數(shù)的應(yīng)用：比較大小【解析】解：（1）原式＝5＋[(2)－3]EQ\s\up4(－EQ\F(2,3))＋logeq\s\do4(eq\r(,3))(eq\r(,3))4＝5＋4＋4＝13． 4分（2）法一：因為y＝log0.4x在(0，＋∞)上遞減，y＝log4x在(0，＋∞)上遞增，所以a＝log0.43＜log0.41＝0，b＝log43＞log41＝0，故ab＜0． 6分因為eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log30.4＋log34＝log3(0.4×4)＝log31.6，且y＝log3x在(0，＋∞)遞增，所以0＝log31＜log31.6＜log33＝1，即0＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＜1． 10分所以0＞ab(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＞ab，即ab＜a＋b＜0． 12分法二：因為a＝log0.43，b＝log43，所以a＋b＝log0.43＋log43＝eq\f(lg3,lg0.4)＋eq\f(lg3,lg4)＝lg3×eq\f(lg4＋lg0.4,lg0.4·lg4)＝lg3×eq\f(lg1.6,lg0.4·lg4)，因為lg3＞0，lg4＞0，lg1.6＞0，lg0.4＜0，所以a＋b＜0． 6分(a＋b)－ab＝lg3×eq\f(lg1.6,lg0.4·lg4)－eq\f(lg3,lg0.4)×eq\f(lg3,lg4)＝lg3×eq\f(lg1.6－lg3,lg0.4·lg4)＝lg3×eq\f(lgeq\f(1.6,3),lg0.4·lg4)＝lg3×eq\f(lgeq\f(8,15),lg0.4·lg4)． 10分因為lg3＞0，lg4＞0，lgeq\f(8,15)＜0，lg0.4＜0，所以(a＋b)－ab＞0，即a＋b＞ab，綜上，ab＜a＋b＜0． 12分20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|為R上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）若不等式f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0對任意x∈[eq\s\do1(\f(π,3))，eq\s\do1(\f(7π,6))]恒成立，求實數(shù)t的最小值．【考點】函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性，及其應(yīng)用：恒成立問題【解析】解：（1）因為函數(shù)f(x)＝x|x－a|為R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立，即(－x)·|－x－a|＝－x·|x－a|對任意x∈R成立， 2分所以|－x－a|＝|x－a|，所以a＝0． 4分（2）由f(sin2x)＋f(t－2cosx)≥0得f(sin2x)≥－f(t－2cosx)，因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(sin2x)≥f(2cosx－t)． 6分由（1）得，f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{(\a\al\vs1(x2，x≥0，,－x2，x＜0，))是R上的單調(diào)增函數(shù)，故sin2x≥2cosx－t對任意x∈[eq\s\do1(\f(π,3))，eq\s\do1(\f(7π,6))]恒成立． 8分所以t≥2cosx－sin2x對任意x∈[eq\s\do1(\f(π,3))，eq\s\do1(\f(7π,6))]恒成立．因為2cosx－sin2x＝cos2x＋2cosx－1＝(cosx＋1)2－2，令m＝cosx，由x∈[eq\s\do1(\f(π,3))，eq\s\do1(\f(7π,6))]，得cosx∈[－1，eq\s\do1(\f(1,2))]，即m∈[－1，eq\s\do1(\f(1,2))]． 10分所以y＝(m＋1)2－2的最大值為eq\s\do1(\f(1,4))，故t≥eq\s\do1(\f(1,4))，即t的最小值為eq\s\do1(\f(1,4))． 12分21．（本小題滿分12分）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動，它在t(單位：s)時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度h(單位：cm)由關(guān)系式h＝Asin(ωt＋eq\s\do1(\f(π,4)))確定，其中A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為1s．且最高點與最低點間的距離為10cm．（1）求小球相對平衡位置的高度h(單位：cm)和時間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系；（2）小球在t0s內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50次，求t0的取值范圍．（第21題圖）（第21題圖）【考點】三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用【解析】解：（1）因為小球振動過程中最高點與最低點的距離為10cm，所以A＝eq\s\do1(\f(10,2))＝5． 2分因為在一次振動中，小球從最高點運動至最低點所用時間為1s，所以周期為2，即T＝2＝eq\s\do1(\f(2π,ω))，所以ω＝π． 4分所以h＝5sin(πt＋eq\s\do1(\f(π,4))