2025年高考數(shù)學立體幾何立體幾何幾何性質應用與解題策略模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點P（1，2，3）關于平面x＋y＋z＝1的對稱點的坐標是（）A.（0，0，0）B.（－1，－1，－1）C.（2，1，1）D.（1，1，1）2.已知正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為3，E是SC的中點，則直線SB與平面AED所成角的正弦值是（）A.B.C.D.3.若一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積為（）A.4πB.6πC.8πD.10π4.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2，則AD與平面BB1C1C所成角的正弦值是（）A.B.C.D.5.已知球的半徑為R，點P、Q在該球面上，且OP⊥OQ，則三棱錐P－OQ的體積最大值為（）A.B.C.D.6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線DF與平面A1DE所成角的正切值是（）A.1B.C.D.27.已知一個圓錐的母線長為l，底面半徑為r，且l∶r＝2∶1，則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為（）A.90°B.120°C.180°D.270°8.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，則二面角A－PC－D的余弦值是（）A.B.C.D.9.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為a，高為h，E是SC的中點，F(xiàn)是AB的中點，則EF與SF所成角的余弦值是（）A.B.C.D.10.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝3，BB1＝4，則三棱錐D－ABC的體積是（）A.12B.16C.20D.2411.已知一個圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑為（）A.1B.C.D.212.在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，E是BC的中點，F(xiàn)是B1B的中點，則三棱錐D－EFB的體積是（）A.B.C.D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡相應位置。）13.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，則直線DF與平面A1DE所成角的正弦值是________。14.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，則點A到平面PBC的距離是________。15.已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為2，高為1，E是SC的中點，則直線SE與平面ABC所成角的正切值是________。16.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝3，BB1＝4，則點A到平面B1CD的距離是________。（接續(xù)第三、第四題）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.(10分)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D是AC的中點，B1B⊥平面ABC，且B1B＝2。求二面角A－BC－B1的余弦值。18.(12分)已知正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，高為3，E是SC的中點。求異面直線SB與AC所成角的余弦值。19.(12分)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1。求三棱錐P－ABD的體積。20.(12分)已知圓錐的母線長為5，底面半徑為3，點P在圓錐的底面圓周上，點Q在圓錐的側面上，且P、Q兩點在圓錐的軸截面上的投影分別是底面圓周與軸截面的交點。求直線PQ與平面ABC所成角的正弦值。21.(12分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點，G是棱DD1的中點。求二面角E－BC－F的余弦值。22.(10分)已知球的半徑為R，點A、B、C在球面上，且OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA。求三棱錐A－BC的體積。四、證明題（本大題共2小題，共30分。）23.(15分)在正三棱錐S－ABC中，D是BC的中點，E是SC的中點。求證：SE⊥平面ABC。24.(15分)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c。求證：對角線AC與B1D1所成角的余弦值是。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：設點P（1，2，3）關于平面x＋y＋z＝1的對稱點為P1（x1，y1，z1），則有向量PP1＝（x1－1，y1－2，z1－3）與平面垂直，即（x1－1，y1－2，z1－3）·（1，1，1）＝0，解得x1＋y1＋z1－6＝0。又因為P1在平面上，所以x1＋y1＋z1＝1，聯(lián)立解得x1＝2，y1＝1，z1＝1，即P1（2，1，1）。2.答案：B解析：取正四棱錐S－ABCD的底面中心O為原點，建立空間直角坐標系，則A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0），S（0，0，3），E（0，0，1.5）。向量SB＝（1，－1，－3），向量AE＝（1，1，1.5），設直線SB與平面AED所成角為θ，則sinθ＝｜向量SB×向量AE｜/（｜向量SB｜｜向量AE｜），計算得到sinθ＝√30/√77，選項B正確。3.答案：C解析：圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線長l＝2，底面周長為2πr＝4π，解得r＝2。全面積＝底面積＋側面積＝πr^2＋πrl＝π×2^2＋π×2×2＝8π。4.答案：D解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），B1（1，2，2），E（1，1，0），F(xiàn)（1，2，1）。向量AD＝（1，0，0），向量BF＝（0，0，1），設AD與平面BB1C1C所成角為θ，則cosθ＝｜向量AD·向量BF｜/（｜向量AD｜｜向量BF｜），計算得到cosθ＝1/√2，sinθ＝1/√2，選項D正確。5.答案：A解析：由OP⊥OQ，得三角形OQP為直角三角形，設OP＝a，OQ＝b，則三棱錐P－OQ的體積V＝1/3×1/2×a×b×sin90°＝1/6ab。根據(jù)勾股定理，a^2＋b^2≥2ab，即ab≤R^2/2，所以V≤1/6×R^2/2＝R^2/12，當且僅當a＝b＝R/√2時取等，最大值為R^2/12。6.答案：C解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），D（0，0，0），E（1，1，1/2），F(xiàn)（0，1，1/2），向量DF＝（0，1，1/2），向量A1E＝（0，1，1/2），設DF與平面A1DE所成角為θ，則tanθ＝｜向量DF×向量A1E｜/（｜向量DF｜｜向量A1E｜），計算得到tanθ＝1，選項C正確。7.答案：B解析：圓錐的母線長l與底面半徑r之比為2∶1，即l＝2r，側面展開圖扇形的圓心角α滿足r＝l×（α/360°）×2π，代入l＝2r得α＝180°。8.答案：A解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），向量PC＝（1，2，－2），向量PD＝（0，2，－2），設二面角A－PC－D的平面角為θ，則cosθ＝｜向量PC·向量PD｜/（｜向量PC｜｜向量PD｜），計算得到cosθ＝4/√13，選項A正確。9.答案：B解析：建立空間直角坐標系，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AS為z軸，則A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，0，h），E（0，a/2，h/2），F(xiàn)（a/2，a/2，0），向量EF＝（a/2，a/2，－h(huán)/2），向量SF＝（0，0，－h(huán)），設EF與SF所成角為θ，則cosθ＝｜向量EF·向量SF｜/（｜向量EF｜｜向量SF｜），計算得到cosθ＝a/√2a^2＋h^2，選項B正確。10.答案：C解析：長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝AB×BC×BB1＝2×3×4＝24，三棱錐D－ABC的體積V1＝1/3×底面積×高＝1/3×1/2×2×3×4＝12，所以三棱錐D－ABC的體積是12。11.答案：D解析：圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的母線長l＝2，底面周長為2πr＝4π，解得r＝2。12.答案：B解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），E（1/2，1，0），F(xiàn)（1，1，1/2），B（1，1，0），向量EF＝（1/2，0，－1/2），向量FB＝（0，0，－1/2），設三棱錐D－EFB的體積為V，則V＝1/3×底面積×高＝1/3×1/2×1/2×1×1/2＝1/24，選項B正確。二、填空題答案及解析13.答案：√10/5解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，2），E（1，1，1），F(xiàn)（0，1，2），向量DF＝（－1，1，2），向量A1E＝（0，1，1），設DF與平面A1DE所成角為θ，則sinθ＝｜向量DF×向量A1E｜/（｜向量DF｜｜向量A1E｜），計算得到sinθ＝√10/5。14.答案：√5/5解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），向量BC＝（0，2，0），向量PB＝（1，0，－2），設點A到平面PBC的距離為d，則d＝｜向量PA·向量BC｜/｜向量BC｜，計算得到d＝√5/5。15.答案：1/√3解析：建立空間直角坐標系，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AS為z軸，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），S（0，0，1），E（0，1/2，1/2），向量SE＝（0，1/2，－1/2），向量ABC＝（1，0，0），設SE與平面ABC所成角為θ，則tanθ＝｜向量SE×向量ABC｜/（｜向量SE｜｜向量ABC｜），計算得到tanθ＝1/√3。16.答案：3/√22解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，3，0），D（0，3，0），B1（2，0，4），向量B1D1＝（0，3，－4），向量AC＝（2，3，0），設點A到平面B1CD的距離為d，則d＝｜向量AC·向量B1D1｜/｜向量B1D1｜，計算得到d＝3/√22。三、解答題答案及解析17.答案：√2/2解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，2），向量BC＝（－1，0，0），向量BB1＝（0，0，2），向量BC與向量BB1所成角的平面角即為二面角A－BC－B1的平面角，設該角為θ，則cosθ＝｜向量BC·向量BB1｜/（｜向量BC｜｜向量BB1｜），計算得到cosθ＝√2/2。18.答案：1/4解析：取正四棱錐S－ABCD的底面中心O為原點，建立空間直角坐標系，則A（－1，－1，0），B（1，－1，0），C（1，1，0），D（－1，1，0），S（0，0，3），E（0，0，1.5），向量SB＝（1，－1，－3），向量AC＝（2，2，0），設異面直線SB與AC所成角為θ，則cosθ＝｜向量SB·向量AC｜/（｜向量SB｜｜向量AC｜），計算得到cosθ＝1/4。19.答案：1解析：建立空間直角坐標系，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，則D（0，0，0），A（0，0，2），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），向量AB＝（1，0，0），向量AD＝（0，0，2），向量BD＝（－1，1，0），設三棱錐P－ABD的體積為V，則V＝1/3×底面積×高＝1/3×1/2×1×2＝1。20.答案：2/√13解析：建立空間直角坐標系，以圓錐的頂點S為原點，底面圓心O為坐標原點，建立空間直角坐標系，則S（0，0，0），O（0，0，－h(huán)），P（r，0，－h(huán)），Q（rcosθ，rsinθ，－h(huán)），向量PQ＝（rcosθ－r，rsinθ，0），向量SO＝（0，0，h），設直線PQ與平面ABC所成角為θ，則sinθ＝｜向量PQ×向量SO｜/（｜向量PQ｜｜向量SO｜），計算得到sinθ＝2/