2025年高考數(shù)學立體幾何立體幾何幾何性質(zhì)應用與證明模擬試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離為（）A.2√3/√6B.√6/2C.√3D.√62.已知直線l：x=2與平面α：x+y+z=1的交點為P，那么點P到直線l的距離為（）A.1B.√2C.√3D.23.設(shè)直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1的夾角為θ，則θ的值為（）A.π/4B.π/3C.π/2D.3π/44.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離為（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√25.如果直線l1：x+y=1與直線l2：ax+y=0互相平行，那么a的值為（）A.1B.-1C.0D.不存在6.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2，z=3的交點B（1，2，3）的距離為（）A.0B.1C.√2D.√37.如果直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1互相垂直，那么它們的夾角為（）A.π/4B.π/3C.π/2D.3π/48.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到直線BC的距離為（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√29.如果直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1相交于點P，那么點P到直線l1的距離為（）A.1/√2B.1/√3C.1/√5D.1/√610.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離為（）A.2√3/√6B.√6/2C.√3D.√611.如果直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1互相平行，那么它們的夾角為（）A.π/4B.π/3C.π/2D.3π/412.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離為（）A.1B.√2/2C.√3/2D.√2二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。）13.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離為______。14.已知直線l：x=2與平面α：x+y+z=1的交點為P，那么點P到直線l的距離為______。15.設(shè)直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1的夾角為θ，則θ的值為______。16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離為______。三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（本小題滿分12分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。求證：四邊形B1EDF是一個平行四邊形。18.（本小題滿分12分）已知點A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），求向量AB與向量AC的夾角余弦值。19.（本小題滿分12分）過點P（1，2，3）作平面α，使得平面α與平面π：x+y+z=1的距離為√2/2。求平面α的方程。20.（本小題滿分14分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），D（1，3，2）。求四面體ABCD的體積。21.（本小題滿分12分）已知直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1相交于點P，求點P到直線l1：x+y=1的距離。22.（本小題滿分14分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離為1。求正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長。四、證明題（本大題共2小題，共20分。）23.（本小題滿分10分）已知直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1互相垂直，求證：直線l1與直線l2的交點到原點的距離為√2/2。24.（本小題滿分10分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），求證：向量AB與向量AC垂直。五、綜合題（本大題共2小題，共26分。）25.（本小題滿分13分）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是棱CC1的中點。求證：四邊形B1EDF是一個平行四邊形，并求四邊形B1EDF的面積。26.（本小題滿分13分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3），B（3，2，1），C（2，1，3），D（1，3，2）。求四面體ABCD的體積，并求點A到平面BCD的距離。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：D解析：點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√6。2.答案：A解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=1的交點為P（2，-1，0），點P到直線l：x=2的距離即為點P的y坐標的絕對值，為1。3.答案：C解析：直線l1：x+y=1的斜率為-1，直線l2：x-y=1的斜率為1，兩直線斜率之積為-1，故兩直線垂直，夾角為π/2。4.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離即為點A到BC1的距離，BC1與BC垂直，且長度為正方體棱長，故距離為1。5.答案：A解析：直線l1：x+y=1與直線l2：ax+y=0互相平行，斜率相同，即-1=a，故a=1。6.答案：A解析：點A（1，2，3）到直線l：x=1，y=2，z=3的交點B（1，2，3）的距離為0，因為點A與點B重合。7.答案：C解析：直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1互相垂直，夾角為π/2。8.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到直線BC的距離即為點A到BC的垂線距離，為正方體棱長，為1。9.答案：A解析：直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1相交于點P（1，0），點P到直線l1：x+y=1的距離為|1*1+1*0-1|/√(1^2+1^2)=1/√2。10.答案：D解析：點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√6。11.答案：C解析：直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1互相平行，斜率相同，即-1=a，故a=1，夾角為π/2。12.答案：A解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離即為點A到BC1的距離，BC1與BC垂直，且長度為正方體棱長，故距離為1。二、填空題答案及解析13.答案：√6/2解析：點A（1，2，3）到平面π：x+y+z=1的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√6/2。14.答案：1解析：直線l：x=2與平面α：x+y+z=1的交點為P（2，-1，0），點P到直線l：x=2的距離即為點P的y坐標的絕對值，為1。15.答案：π/2解析：直線l1：x+y=1的斜率為-1，直線l2：x-y=1的斜率為1，兩直線斜率之積為-1，故兩直線垂直，夾角為π/2。16.答案：1解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離即為點A到BC1的距離，BC1與BC垂直，且長度為正方體棱長，故距離為1。三、解答題答案及解析17.答案：證明：連接B1E，ED，DF，B1F。因為E是BC的中點，所以BE=EC。又因為F是CC1的中點，所以CF=C1F。在正方形BCC1B1中，B1E=DF，B1F=ED。所以四邊形B1EDF是平行四邊形。18.答案：cosθ=1/√3解析：向量AB=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，向量AC=(2-1，1-2，3-3)=(1，-1，0)。向量AB與向量AC的夾角余弦值為cosθ=向量AB·向量AC/|向量AB|·|向量AC|=2*1+0*(-1)+(-2)*0/√(2^2+0^2+(-2)^2)·√(1^2+(-1)^2+0^2)=2/√12=1/√3。19.答案：平面α：x+y+z=2解析：過點P（1，2，3）作平面α，使得平面α與平面π：x+y+z=1的距離為√2/2。設(shè)平面α的方程為x+y+z+d=0，代入點P得1+2+3+d=0，即d=-6。所以平面α的方程為x+y+z-6=0。因為平面α與平面π的距離為√2/2，所以|1*1+1*2+1*3-1+d|/√(1^2+1^2+1^2)=√2/2，解得d=-6。所以平面α的方程為x+y+z-6=0。20.答案：V=1/3解析：四面體ABCD的體積公式為V=1/3×底面積×高。底面為三角形ABC，高為點D到平面ABC的距離。三角形ABC的面積為1/2×|向量AB×向量AC|=1/2×√12=√3。點D到平面ABC的距離為|向量AD·向量BC/|向量BC|=|向量AD·向量BC/|向量BC|=|1*1+3*2+2*3-1|/√(1^2+3^2+2^2)=√2。所以V=1/3×√3×√2=1/3。21.答案：1/√2解析：直線l1：x+y=1與直線l2：x-y=1相交于點P（1，0），點P到直線l1：x+y=1的距離為|1*1+1*0-1|/√(1^2+1^2)=1/√2。22.答案：2解析：正方體ABCD-A1B1C1D1中，點A到平面BCD1的距離即為點A到BC1的距離，BC1與BC垂直，且長度為正方體棱長，故棱長為2。四、證明題答案及解析23.答案：證明：直線l1：x+y=1的斜率為-1，直線l2：x-y=1的斜率為1，兩直線斜率之積為-1，故兩直線垂直。設(shè)交點為P（1/2，1/2），則點P到原點的距離為√((1/2)^2+(1/2)^2)=√2/2。24.答案：證明：向量AB=(3-1，2-2，1-3)=(2，0，-2)，向量AC=(2-1，1-2，3-3)=(1，-1，0)。向量AB·向量AC=2*1+0*(-1)+(-2)*0=2，不為0，故向量AB與向量AC垂直。五、綜合題答案及解析25.答案：證明：連接B1E，ED，DF，B1F。因為E是BC的中點，所以BE=EC。又因為F是CC1的中點，所以CF=C1F。在正方形BCC1B1中，B1E=DF，B1F=ED。所以四邊形B1EDF是平行四邊形。四邊形B1EDF的面積為1/2×|向量B1E×向量ED|=1/2×√12=√3。26.答案：V=1/3，d=1/√2解析：四面體ABCD的體積公式為V=1/3×底面積×高。底面為