高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向叼量.數(shù)量：只有大小，沒有方向的量.

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.零向量：長(zhǎng)度為()的向量.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

平行向量（共線向量）：方向相似或相反H勺非零向量.零向量與旺歷來(lái)量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相似的向量.

<F-

17、向最加法運(yùn)算：

⑴三角形法則依J特點(diǎn)：首尾相連.人

⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn).

a+l?=AB+BC=AC=AB+AD=AC

⑶三角形不等式：圖-網(wǎng)0〃+/?引4+可.

⑷運(yùn)算性質(zhì)：①互換律：a+b=b+a；

②結(jié)合律：（〃+方）+c=a+（/?+d）；③a+0=0+a=a.

r\

⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ci=（X],y）,〃=（工2，%），則a+“=(%+X2,X+%)?/\

7B

18、向量減法運(yùn)算：

A

⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn),方向指向被減向量.-

ci-Z?=AC-AB=BC

⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（%,yj,b=（七,：均），則4一力=（王一天，）1一%）?

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（％,yj,（工,%）,則AB=（x-玉,）「名）?

19向量數(shù)乘運(yùn)算：

⑴實(shí)數(shù)2與向量。的積是一種向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作.

①I明=視間;

②當(dāng)2>0時(shí)，義。日勺方向與。H勺方向相似；當(dāng)；1<0時(shí)，而的方向與。的方向相反；當(dāng)2=0時(shí)，4。=0.

（2）運(yùn)算律：①義（"4）=（辦）曰；②（2+〃）4=義/+〃4:③幺（〃+/?）=2〃+4/?.

⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)〃=（x,y）,則4〃=/1（用?。?（/1%,右）.

20、向量共線定理：向量。（。工0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一種實(shí)數(shù)/L使人=4〃.

設(shè)〃="［,另），b=（x2,y2）,其中Z?w0,則當(dāng)且僅當(dāng)Rj2T2y=0時(shí)，向量。、力,工0）共線.

21、平面向量基本定理：假如外、g是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量。，

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、4，使（不共線的向量6、g作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基

底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)P是線段RP?上的一點(diǎn)，P|、P2的坐標(biāo)分別是（N，y），（辱％），當(dāng)PF=4PP；

時(shí)，點(diǎn)PH勺坐標(biāo)是（士空，上學(xué)］.（當(dāng)4=1時(shí)，就為中點(diǎn)公式。：

I1+41+A）

23、平面向量的數(shù)量積：

⑴〃/TdWcosg.wO/wQO<6><180）.零向量與任歷來(lái)量的數(shù)量積為0.

⑵性質(zhì)：設(shè)。和〃都是非零向量，則①〃。=0.②當(dāng)。與〃同向時(shí)，ah=\a\b；當(dāng)。與〃反

向時(shí)，a-b=-\a\b；as=/或時(shí)③《同〃

（3）運(yùn)算律：①ab=b,（i；?（2a）Z7=Z（a-Z7）=a-（/lZ?）；③（6+〃）々=4々+力￡.

⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量〃二（%,），］）,〃=（々，%），則。力=入1工2+）1%.

若a=（x,y），則同2=f+）,2,或同=J.+y?.設(shè)a=（x，）,J,人=（%,）&），則

aLb<=>xix2+y,y2=0.

設(shè)a、匕都是非零向量，a=（x，yj,。=仇,%），。是4與人的夾角，則

c°se=*)中2^?呼2

HH

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:

⑴cos(a-6)=cosacosQ+sinasinQ：(2)8s(a+/?)=cosacosB-sinasinP：

(3)sin(6Z-/7)=sinacos/y-cos￡Zsin/7；(4)sin(?+^)=sin<zcos/74-coscrsinp；

tana-tan夕

(5)tan(?-/?)==>(tan?-tan/?=tan(a-6)(1+tanatan°))；

1+tanatanp

,八\tana+tan。

(6)tan(a+/7)=---------—n(tana+tan/?=tan(Q+^)(l-tanatan^)).

1-tanatanp

25、二倍角的J正弦、余弦和正切公式:

(l)sin2a=2sinacos。.=1±sin2a=sin-a+cos~a±2sinacosa=(sina±cosa)~

(2)cosla=cos2a-sin2a=2cos2tz-1=1-2sin2a

n升舞公式1+cosa=2cos2—,1-cos?=2sin2—

22

n降累公式cos?。""茲里，siia=a北

22

八2tana萬(wàn)能公式:

(3；tan2a=-----、-

-

1-tanaa、Q

2tan—1—tan~

半角公式：

.sina=?-------------;cosa=--2---------

aa

1+tan9—1+tan~9

22

=>（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更好用）

27、合一變形二把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一種三角函數(shù)，一種角，一次方”的J），=Asin（a+*）+8

形式。Asincr+Bcoscr=VA2+B2sin(cr+^>),其中tan°=—

28、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角

公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的措施和技能.常用日勺數(shù)學(xué)思想措施技巧如下:

(l)角的變換:在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，體現(xiàn)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間口勺和差,

倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角H勺變換，溝通條件與結(jié)論中角H勺差異，使問題獲解，對(duì)角的變形如:

c(CtCt

①2a是a的二倍：4a是2aR勺二倍；a是上的二倍；巴是上日勺二倍；

224

②15°=45°-30〃=60"-45〃=之；問：sin—=；cos—=

21212

?a=(a+/3)-/3④？+a=楙一(?一a)；

TTTT

⑤2a=(a+/?)+(a—〃)=('+。)—(上—a)；等等

44

(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，一般

化切為弦，變異名為同名。

(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”日勺

代換變形有：

1=sin2a+cos2a=tancrcota=sin90"=tan450

(4)幕的變換：降幕是三角變換時(shí)常用措施，對(duì)次數(shù)較高的三曲函數(shù)式，一般采用降耗處理的措施。常用

降豪公式有：;。降嘉并非絕對(duì)，有時(shí)需要升寒，如對(duì)無(wú)理式

J1+COSQ常用升轅化為有理式，常用升轅公式有：:;

(5)公式變形:三角公式是變換口勺根據(jù)，應(yīng)純熟掌握三角公式時(shí)順用，逆用及變形應(yīng)用。

.I+tan?1-tancz

如：--------=__________________；--------=_______________；

1-tana1+tana

tana+tan￡=；1-tanatanp-；

tana-tanp=；1+