廣東省深圳市龍華區(qū)2024-2025學年八年級下學期期末數(shù)學試題一、選擇題（本題共有8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．對稱性不僅是數(shù)學的美學體現(xiàn)，更是生物適應環(huán)境的“最優(yōu)解”。下列生物的外輪廓同時具備軸對稱性和中心對稱性的是（）A． B．C． D．2．下列x的值是不等式x-1>0的解的是（）A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．x=-13．分式x?1x+2A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=24．將圖①沿虛線剪開后，拼成如圖②所示的長方形，據(jù)此寫出一個多項式的因式分解為（）A．x2-y2=(x+y)(x-y) B．x2+y2=(x+y)(x-y)C．(x+y)(х-y)=x2-y2 D．(x+y)(x-y)=x2+y25．如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃修建一個油庫，要求油庫到這三條公路（AB，AC，BC)的距離都相等，則油庫的位置可以設計在（）A．△ABC三條中線的交點B．△ABC三條角平分線的交點C．△ABC三條高所在直線的交點D．△ABC三條邊的垂直平分線的交點6．藻井作為中國傳統(tǒng)建筑中獨特的穹頂裝飾構件，其造型融合宇宙觀，僅用于最高等級建筑，并巧妙結合五行思想。如圖是外輪廓為正八邊形的“蟠龍藻井”圖案，這個正八邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為（）A．45° B．120° C．130° D．135°7．今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文。只云綾、羅各一尺共值錢一百二十文，問綾、羅尺價各幾何？（選自《四元玉鑒》）題目大意：現(xiàn)在有綾和羅一共3丈（1丈=10尺），它們各自的價值都是896文錢。已知綾和羅各1尺總共值120文錢，問綾和羅每尺的價值各多少錢？設綾布有x尺，根據(jù)題意可列方程為（）A．8963?x+896C．89630?x+8968．如圖，在平面內(nèi)將一塊含45°的三角板ABC向右平移得到ADEF，若∠BAD=30°，則邊BC掃過的面積與邊AB掃過的面積之比為（）A．2 B．3 C．2 D．2二、填空題（本題共有5小題，每小題3分，共15分。）9．因式分解：x2y+2xy+y=10．A、B兩地相距10千米，甲從A地到B地步行需要t小時，乙騎自行車行同樣的路程比甲少用1小時，則乙的速度可表示為千米/時。11．關于x的不等式組x≥ax≥1的解集為x≥1，請寫出一個符合條件的a的值：12．如圖，將兩個完全相同的直角三角形紙板疊放在一起，∠A=∠F=30°。若BD=313．如圖，D是等邊△ABC內(nèi)一點，∠ADC=120°，CD=6，則△BDC的面積為.

三、解答題（本大題共7小題，共61分）14．（1）解不等式組2x<?4（2）先化簡，再求值：(2m?1m?115．如圖，在方格紙中，每個小方格的邊長均為1個單位長度，線段AB的兩個端點都在小方格的格點上，根據(jù)下列要求用無刻度直尺作圖：（1）將線段AB繞點B逆時針旋轉90得到線段BD；（2）平移線段AB至線段DC，使得點A與點D重合，連接AD，BC；（3）直線BD將四邊形ABCD分成了全等的兩個部分，這樣的直線還有很多，請再畫出兩條符合條件的直線。16．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，且AD=AE。請判斷BD與CE之間的數(shù)量關系，并說明理由。17．小亮計劃去書店為全班50名同學各買一本課外書，從書店店員處了解到，科普書的單價是文學書的單價的1.5倍，若用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本。（1）科普書和文學書的單價各是多少元？（2）若小亮可以使用的經(jīng)費不超過700元，則至多購買多少本科普書？18．如圖，在□ABCD中，AP⊥BD于點P。請用尺規(guī)作圖在BD上求作一點Q，連接AQ，CQ，PC，使得四邊形APCQ是平行四邊形。（1）某數(shù)學小組經(jīng)過討論，得到如下兩種作法，請選擇其中一種作法說明其正確性。思路一思路二作圖步驟在BD上作DQ=BP。點Q即為所求。過點C作CQ⊥BD于點Q。點Q即為所求。作圖痕跡我選擇思路，理由如下：（2）請你用不同于（1）中的尺規(guī)作圖方法求作出點Q（保留作圖痕跡，不寫作法），并說明作法的正確性。19．數(shù)學學習小組在學習《不等關系》后，深入研究了兩個正數(shù)a，b的和與積之間的大小關系?！景l(fā)現(xiàn)問題】當a=b=2時，a+b=ab。【提出問題】當a>2，b>2時，a+b與ab存在怎樣的大小關系？（1）【特例分析】給a，b分別賦予不同的數(shù)值，通過計算，判斷a+b與ab的大小關系。請完成下面的表格：a…345…b…356…a+bab（填“>”，“＜”、"=”）…＜＜…（2）【得出猜想】根據(jù)特例分析，猜想：當a>2，b>2時，a+bab。（3）【驗證猜想】①小明認為可以設a=2+x，b=2+y，其中x>0，y>0，再通過計算完成驗證。請補充驗證過程：②小紅發(fā)現(xiàn)可以用圖形的面積關系來直觀驗證。如圖，在長方形ABCD中，AB=a>2，AD=b>2，AM=MN=AP=PQ=1。請在長方形ABCD中，用畫陰影的方法表示面積為(a+b)的部分。（4）【深入探究】學習小組經(jīng)過討論，還可從以下思路驗證猜想：思路一：利用不等式的基本性質(zhì)得到ab>2b?思路二：對多項式(ab?a?b+1)思路三：對分式a+bab進行變形與運算根據(jù)以上思路的啟發(fā)，選擇一種方法完成驗證。20．綜合與實踐數(shù)學活動課上，同學們對兩個完全相同的直角三角形紙片（如圖1）圍繞拼接、平移、旋轉開展操作研究。（1）【活動一】拼接將兩個三角形紙片按圖2方式進行拼接（點A與點F重合，點C與點D重合），求四邊形ABCE的周長；（2）【活動二】平移在圖2中，將△ABC紙片沿射線FE的方向平移。在平移過程中，兩個紙片的重疊部分為四邊形AMDN，如圖3所示。①求證：四邊形AMDN是平行四邊形；②若點A為EF的中點，則四邊形AMDN的周長為。（3）【活動三】旋轉在圖3中，當點A為EF的中點時，將△DEF繞點F順時針旋轉一周。在旋轉過程中，若兩個紙片的重疊部分為等腰三角形，直接寫出旋轉角的度數(shù)。

答案解析部分1．【答案】D【知識點】軸對稱圖形；中心對稱圖形【解析】【解答】解：A、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以A不符合題意；

B、圖案不是軸對稱，也不是中心對稱，所以B不符合題意；

C、圖案是軸對稱，不是中心對稱，所以C不符合題意；

D、圖案是軸對稱，也是中心對稱，所以D符合題意；故答案為：D.【分析】根據(jù)軸對稱和中心對稱的特點分別進行識別，即可得出答案。2．【答案】A【知識點】解一元一次不等式【解析】【解答】解：x-1>0

∴x＞1.

∵2＞1，1=1，0＜1，-1＜1

∴只有x=2是不等式x-1>0的解。故答案為：A.【分析】首先解不等式求得解集，然后只需判斷哪個選項在解集范圍內(nèi)即可。3．【答案】C【知識點】分式的值為零的條件【解析】【解答】解：x-1=0，且x+2≠0

∴x=1故答案為：C.【分析】根據(jù)分式值為0的條件，分子為零，且分母不為0，即可求出答案。4．【答案】A【知識點】平方差公式的幾何背景【解析】【解答】解：圖①面積：x2-y2，圖②面積：（x+y）（x-y）

∴x2-y2=（x+y）（x-y）。故答案為：A.【分析】分別表示圖①和圖②的面積，即可得出答案。5．【答案】B【知識點】角平分線的性質(zhì)【解析】【解答】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：△ABC三條角平分線的交點到三邊的距離相等。故答案為：B.【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可找到正確選項。6．【答案】D【知識點】正多邊形的性質(zhì)；多邊形的外角和公式7．【答案】C【知識點】列分式方程【解析】【解答】解：設綾布有x尺，則羅（30-x）尺

根據(jù)題意，得：89630?x故答案為：C.【分析】設綾布有x尺，則羅（30-x）尺，根據(jù)綾和羅各1尺總共值120文錢，即可得出方程89630?x8．【答案】B【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的面積9．【答案】y【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法【解析】【解答】解：x2故答案為：y(x+1)【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式進行因式分解．10．【答案】10【知識點】用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關系【解析】【解答】解：乙的速度=10t?1故答案為：10t?1【分析】根據(jù)速度=路程÷時間，即可得出答案。11．【答案】1【知識點】已知不等式的解（集）求參數(shù)【解析】【解答】解：∵x≥ax≥1的解集為x≥1

∴故答案為：1（答案不唯一，符合條件即可）.

【分析】根據(jù)不等式組解集的求法：同大取大，由不等式組的解集，可求出a的取值范圍，然后寫出一個符合條件的a的值即可。12．【答案】1【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理【解析】【解答】解：在Rt△BDF中：∠F=30°，BD=3

∴BF=23

∵△BDF≌△BCA

∴BC=BD=3

∴CF=BF-BC=3

在Rt△ECF中：（2CE)2-CE2=CF2=(3)故答案為：1.【分析】首先根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出BF的長，進而得出CF的長，然后再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求出CE的長。13．【答案】93【知識點】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：延長AD交BC于點E，當點D是等邊△ABC的中心時，∠ADC=120°，∴當∠ADC=120°時△BDC的面積與點D是等邊△ABC的中心時△BDC面積相等。

當點D是等邊△ABC的中心時，∠ADC=120°

∴∠CDE=60°，∠DEC=90°

∴∠DCE=30°

∵CD=6

∴DE=3，CE=33

∴BC=2CE=63

∴△BDC的面積=12故答案為：93【分析】當點D是等邊△ABC的中心時，∠ADC=120°，根據(jù)特殊情況求出△BDC的面積即可。14．【答案】（1）解：解不等式①得x＜-2解不等式②得x＞-3∴原不等式組的解集為-3＜x＜-2（2）解：原式=2m?1?m=m?1=m+2當m=2時，原式=2+2【知識點】分式的化簡求值；解一元一次不等式組；分式的化簡求值-直接代入15．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉方向和旋轉角度，即可得出線段BD；

（2）首先觀察A到D可以看成兩次平移，然后把點B也作相同的兩次平移，即可得到點C的位置；

（3）四邊形ABCD是平行四邊形，連接AC與BD有一個交點，過這個交點任意作直線，均符合題意。16．【答案】解：猜想：BD=CE解法一：過點A作AH⊥BC交BC于點H∵AB=AC，AH⊥BC∴BH=CH?！逜D=AE，AH⊥BC∴DH=EH∴BH－DH=CH－EH∴BD=EC。

解法二：∵AB=AC∴∠B=∠C，∵AD=AE∴∠ADE=∠AED，∴180°－∠ADE=180°－∠AED

即∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中∠B=∠C∴△ABD≌△ACE（AAS）∴BD=CE?！局R點】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性質(zhì)-三線合一【解析】【分析】解法一：過點A作AH⊥BC交BC于點H，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，分別得出BH=CH，DH=EH，然后再根據(jù)等式的性質(zhì)，即可得出結論；

解法二：根據(jù)AAS證明△ABD≌△ACE，進而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出BD=CE。17．【答案】（1）解：設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元。依題意得：150解得：x=10經(jīng)檢驗，x=10是原方程的解且符合實際。∴1.5x=15。（2）解：設購買a本科普書。依題意得：15a+10(50-a)≤700解得：a≤40∵a是正整數(shù)∴a的最大值為40。答：至多購買40本科普書?！局R點】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的應用；分式方程的實際應用-銷售問題【解析】【分析】（1）設文學書的單價為x元，則科普書的單價為1.5x元，根據(jù)用150元分別購買這兩種書，所買的科普書比所買的文學書少5本即可得出方程150x=15018．【答案】（1）解：選擇思路一，理由如下：連接AC交BD于點O∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，BO=DO?！連P=DQ∴BO－BP=DO－DQ即PO=QO。∵AO=CO，PO=QO∴四邊形APCQ為平行四邊形。選擇思路二，理由如下：∵AP⊥BD，CQ⊥BD∴∠APQ=∠CQP=90°，∠BPA=∠DQC

∴AP∥CQ?！咚倪呅蜛BCD是平行四邊形

∴AB∥CD，AB=CD∴∠ABP=∠CDQ。在△ABP和△CDQ中∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（AAS）

∴AP=CQ。又∵AP∥CQ∴四邊形APCQ是平行四邊形。（2）解：答案二：解：如圖，用尺規(guī)作圖在∠DCB內(nèi)部作∠DCQ=∠BAP，CQ交BD于點Q，點Q即為所求。

由作圖可知：∠BAP=∠DCQ，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABP=∠CDQ。在△ABP和△CDQ中∠ABP=∠CDQ∴△ABP≌△CDQ（ASA），∴AP=CQ，∠APB=∠CQD，∴∠APQ=∠CQP，∴AP∥CQ∴四邊形APCQ是平行四邊形?！局R點】三角形全等及其性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；尺規(guī)作圖-垂線；三角形全等的判定-AAS；尺規(guī)作圖-作一個角等于已知角【解析】【分析】（1）選擇思路一，連接AC，可證明OA=OC，OP=OQ，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；選擇思路二，通過證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；

（2）如圖，作∠DCQ=∠BAP，可根據(jù)ASA證明△ABP和△CDQ全等，從而得出AP=CQ且AP∥CQ，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得出四邊形APCQ為平行四邊形；19．【答案】（1）＜；＜（2）＜（3）解：①∵設a=2+x，b=2+y

∴a+b=4+x+y，ab=(2+x)(2+y)=4+2x+2y+xy=4+x+y+(x+y+xy)

∵x>0，y>0

∴x+y+xy>0

∴a+b＜ab；②答案一答案二答案三答案四答案五答案六???????（4）解：思路一：∵a＞2，兩邊同時乘b，（b＞2）

∴ab＞2b

同理可得：ab＞2a

∴2ab＞2a+2b

∴ab＞a+b

即a+b＜ab；

思路二：∵ab?a?b+1=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)

∵a＞2，b＞2

∴(a-1)(b-1)＞1

∴ab-a-b+1＞1

∴a+b＜ab；

思路三：a+bab=1a+1b

∵a＞2，b＞2

∴【知識點】整式的加減運算；因式分解﹣提公因式法；因式分解-分組分解法；不等式的性質(zhì)；分式的化簡求值-拆項變形法20．【答案】（1）解：由圖1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3∴AB=DE