第1頁|共2頁2004年重慶高考理科數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）函數(shù)的定義域是：A．， B． C． D．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則A． B．3 C． D．3．（5分）圓的圓心到直線的距離為：A．2 B． C．1 D．4．（5分）不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，5．（5分）等于A． B． C． D．6．（5分）若向量的夾角為，，則向量的模為A．2 B．4 C．6 D．127．（5分）一元二次方程，有一個正根和一個負(fù)根的充分不必要條件是A． B． C． D．8．（5分）設(shè)是的二面角內(nèi)一點，平面，平面，，為垂足，，，則的長為：A． B． C． D．9．（5分）若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，，．，則使前項和成立的最大自然數(shù)是A．4005 B．4006 C．4007 D．400810．（5分）已知雙曲線，的左，右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為A． B． C．2 D．11．（5分）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：A． B． C． D．12．（5分）若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動點到底面的距離與到棱的距離相等，則動點的軌跡與組成圖形可能是：A． B． C． D．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）若在的展開式中的系數(shù)為，則．14．（4分）曲線與在交點處的切線夾角是．（以弧度數(shù)作答）15．（4分）如圖是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形、、、，記紙板的面積為，則．16．（4分）直線：與橢圓：恰有一個公共點，則取值是．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間．18．（12分）設(shè)一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為．假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進，表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：（Ⅰ）的概率的分布列及期望；（Ⅱ）停車時最多已通過3個路口的概率．19．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，，，（1）證明是異面直線與的公垂線；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．20．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求導(dǎo)數(shù)并證明有兩個不同的極值點，；（2）若不等式成立，求的取值范圍．21．（12分）設(shè)是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點、，以線段為直徑作圓為圓心）．試證拋物線頂點在圓的圓周上；并求圓的面積最小時直線的方程．22．（14分）設(shè)數(shù)列滿足：，．（Ⅰ）證明：對恒成立；（Ⅱ）令，判斷與的大小，并說明理由．

2004年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）函數(shù)的定義域是：A．， B． C． D．【解答】解：要使函數(shù)有意義：，即：可得解得故選：．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)，則A． B．3 C． D．【解答】解：復(fù)數(shù)，故選：．3．（5分）圓的圓心到直線的距離為：A．2 B． C．1 D．【解答】解：圓的圓心，它到直線的距離：故選：．4．（5分）不等式的解集是A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：法一：得即可得可得或．法二：驗證，、不滿足不等式，排除、、．故選：．5．（5分）等于A． B． C． D．【解答】解：原式．故選：．6．（5分）若向量的夾角為，，則向量的模為A．2 B．4 C．6 D．12【解答】解：，．．．故選：．7．（5分）一元二次方程，有一個正根和一個負(fù)根的充分不必要條件是A． B． C． D．【解答】解：一元二次方程，有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是，即，而的一個充分不必要條件是故選：．8．（5分）設(shè)是的二面角內(nèi)一點，平面，平面，，為垂足，，，則的長為：A． B． C． D．【解答】解：設(shè)平面與二面角的棱交于點，連接、可得直線平面，所以是二面角的平面角，，故中，，，，由余弦定理得：，，所以，故選：．9．（5分）若數(shù)列是等差數(shù)列，首項，，．，則使前項和成立的最大自然數(shù)是A．4005 B．4006 C．4007 D．4008【解答】解：解法1：由，，知和兩項中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又，則公差為負(fù)數(shù)，否則各項總為正數(shù)，故，即，．，，故4006為的最大自然數(shù)．故選．解法2：由，，，同解法1的分析得，，為中的最大值．是關(guān)于的二次函數(shù)，如草圖所示，到對稱軸的距離比2004到對稱軸的距離小，在對稱軸的右側(cè)．根據(jù)已知條件及圖象的對稱性可得4006在圖象中右側(cè)零點的左側(cè)，4007，4008都在其右側(cè)，的最大自然數(shù)是4006．故選：．10．（5分）已知雙曲線，的左，右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為A． B． C．2 D．【解答】解：設(shè)，由焦半徑得，，，化簡得，在雙曲線的右支上，，，即雙曲線的離心率的最大值為故選：．11．（5分）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：A． B． C． D．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是10位同學(xué)參賽演講的順序共有：；滿足條件的事件要得到“一班有3位同學(xué)恰好被排在一起而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的演講的順序”可通過如下步驟：①將一班的3位同學(xué)“捆綁”在一起，有種方法；②將一班的“一梱”看作一個對象與其它班的5位同學(xué)共6個對象排成一列，有種方法；③在以上6個對象所排成一列的7個間隙（包括兩端的位置）中選2個位置，將二班的2位同學(xué)插入，有種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理（乘法原理），共有種方法．一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為：．故選：．12．（5分）若三棱錐的側(cè)面內(nèi)一動點到底面的距離與到棱的距離相等，則動點的軌跡與組成圖形可能是：A． B． C． D．【解答】解：設(shè)二面角的大小為，如圖．作面于，于，于，則，且由條件，為小于1的常數(shù)，故選：．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）若在的展開式中的系數(shù)為，則．【解答】解：展開式的通項為令的展開式中的系數(shù)為展開式中的系數(shù)為故答案為14．（4分）曲線與在交點處的切線夾角是．（以弧度數(shù)作答）【解答】解：由得，，．兩曲線只有一個交點．，．又，當(dāng)時，．兩曲線在交點處的切線斜率分別為、3，．夾角為．故答案為：15．（4分）如圖是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個被剪掉半圓的半徑）得圓形、、、，記紙板的面積為，則．【解答】解：每次剪掉的半圓形面積構(gòu)成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則故：故答案為：16．（4分）直線：與橢圓：恰有一個公共點，則取值是0．【解答】解：橢圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程為直線恒過，而點，在橢圓上且為上定點，則直線：與橢圓：恰有一個公共點即，故答案為0．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在，上的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：．故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是；單調(diào)遞增區(qū)間是，，，．18．（12分）設(shè)一汽車在前進途中要經(jīng)過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為．假定汽車只在遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進，表示停車時已經(jīng)通過的路口數(shù)，求：（Ⅰ）的概率的分布列及期望；（Ⅱ）停車時最多已通過3個路口的概率．【解答】解：由題意知的所有可能值為0，1，2，3，4用表示“汽車通過第個路口時不停（遇綠燈）”，則獨立．故，，，從而有分布列：即停車時最多已通過3個路口的概率為．19．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，，，（1）證明是異面直線與的公垂線；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【解答】證明：因底面，有，又知，故面，推得，又，且，證得是矩形，故．又因，，故面，而，得面，故，因此是與的公垂線．解：連接交于，連接，過作的垂線，垂足在上．易知面，故，又，故，因此面．連接，則是所要求的線與面所成的角設(shè)，則，．因，故，．從而在中．20．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求導(dǎo)數(shù)并證明有兩個不同的極值點，；（2）若不等式成立，求的取值范圍．【解答】解：（1）．令得方程．因△，故方程有兩個不同實根，不妨設(shè)，由可判斷的符號如下：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，因此是極大值點，是極小值點．（2）因，故得不等式．即．又由知代入前面不等式，兩邊除以，并化簡得．解不等式得或（舍去）因此，當(dāng)時，不等式成立．21．（12分）設(shè)是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點、，以線段為直徑作圓為圓心）．試證拋物線頂點在圓的圓周上；并求圓的面積最小時直線的方程．【解答】解：由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，則其坐標(biāo)滿足消去的，則因此，故必在圓的圓周上，又由題意圓心是的中點，故，由前已證應(yīng)是圓的半徑，且；從而當(dāng)時，圓的半徑最小，也使圓的面積最?。?