第1頁|共2頁2005年遼寧高考數(shù)學(xué)真題及答案本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇）題兩部分，滿分150分.考試用時120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）參考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互獨立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R表示球的半徑如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是 球的體積公式P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k 次的概率 其中R表示球的半徑一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)，z所對應(yīng)的點在 （） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．極限存在是函數(shù)在點處連續(xù)的 （） A．充分而不必要的條件 B．必要而不充分的條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件3．設(shè)袋中有80個紅球，20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為 （） A． B． C． D．4．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：①若；②若； ③若； ④若m、n是異面直線， 其中真命題是 （） A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④5．函數(shù)的反函數(shù)是 （） A． B． C． D．6．若，則的取值范圍是 （） A． B． C． D．7．在R上定義運算若不等式對任意實數(shù)成立，則 （） A． B． C． D．8．若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的范圍是 （） A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞ D．（3，+∞）9．若直線按向量平移后與圓相切，則c的值為（） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－810．已知是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，，若，則 （） A． B． C． D．11．已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合， 則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是 （） A．2+ B． C． D．2112．一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）ABCD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.13．的展開式中常數(shù)項是.14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點， A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是.15．用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有個.（用數(shù)字作答）16．是正實數(shù)，設(shè)是奇函數(shù)}，若對每個實數(shù)，的元素不超過2個，且有使含2個元素，則的取值范圍是.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知三棱錐P—ABC中，E、F分別是AC、AB的中點，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.（Ⅰ）證明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若點P、A、B、C在一個表面積為12π的球面上，求△ABC的邊長.18．（本小題滿分12分） 如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中（Ⅰ）將十字形的面積表示為的函數(shù)；（Ⅱ）為何值時，十字形的面積最大？最大面積是多少？19．（本小題滿分12分）已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）證明20．（本小題滿分12分）工序產(chǎn)品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概工序產(chǎn)品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概率（Ⅰ）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概率P甲、P乙；（Ⅱ）已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示，用ξ、等級產(chǎn)品一等二等等級產(chǎn)品一等二等甲5（萬元）2.5（萬元）乙2.5（萬元）1.5（萬元）利潤（I）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資.項目產(chǎn)品工人（名）資金（萬元）甲88乙210項目產(chǎn)品工人（名）資金（萬元）甲88乙210用量品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何用量值時，最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）21．（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（Ⅰ）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明；（Ⅱ）求點T的軌跡C的方程；（Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.22．（本小題滿分12分） 函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且設(shè)是曲線在點（）得的切線方程，并設(shè)函數(shù)（Ⅰ）用、、表示m；（Ⅱ）證明：當(dāng)；（Ⅲ）若關(guān)于的不等式上恒成立，其中a、b為實數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系.參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則。二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分，滿分60分.1.B2.B3.D4.D5.C6.C7.C8.B9.A10.A11.B12.A二、填空題：本題考查基本知識和基本運算。每小題4分，滿分16分。13．－16014．15．57616．三、解答題17．本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力及運用方程解未知量的基本方法，滿分12分.（Ⅰ）證明：連結(jié)CF.……4分（Ⅱ）解法一：為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則AB=a，則……8分解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O.≌≌得PA=PB=PC.于是O是△ABC的中心.為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則…………8分（Ⅲ）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R.，的邊長為.………12分解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知△PAD為直角三角形.設(shè)AB=x，球半徑為R..……12分18．本小題主要考查根據(jù)圖形建立函數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)公式、用反三角函數(shù)表示角以及解和三角函數(shù)有關(guān)的極值問題等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)知識的能力.滿分12分.（Ⅰ）解：設(shè)S為十字形的面積，則………………4分（Ⅱ）解法一：其中………8分當(dāng)最大.……10分所以，當(dāng)最大.S的最大值為…………12分解法二：因為所以……8分令S′=0，即可解得………………10分所以，當(dāng)時，S最大，S的最大值為…………12分19．本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識，考查運用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力，滿分12分。（Ⅰ）證明：當(dāng)因為a1=1，所以………………2分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）當(dāng)n=1時，b1=，不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即那么………………6分所以，當(dāng)n=k+1時，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立?！?分（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，所以…………10分故對任意………………（12分）20．（本小題主要考查相互獨立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列及期望、線性規(guī)劃模型的建立與求解等基礎(chǔ)知識，考查通過建立簡單的數(shù)學(xué)模型以解決實際問題的能力，滿分12分.（Ⅰ）解：…………2分（Ⅱ）解：隨機(jī)變量、的分別列是552.5P0.680.322.51.5P0.60.4…………6分（Ⅲ）解：由題設(shè)知目標(biāo)函數(shù)為……8分作出可行域（如圖）：作直線將l向右上方平移至l1位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M點與原點距離最大，此時…………10分取最大值.解方程組 得即時，z取最大值，z的最大值為25.2.……………12分21．本小題主要考查平面向量的概率，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和有關(guān)性質(zhì)，軌跡的求法和應(yīng)用，以及綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.滿分14分.（Ⅰ）證法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以………3分證法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為記則由證法三：設(shè)點P的坐標(biāo)為橢圓的左準(zhǔn)線方程為 由橢圓第二定義得，即 由，所以…………3分（Ⅱ）解法一：設(shè)點T的坐標(biāo)為 當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在△QF1F2中，，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是…………7分解法二：設(shè)點T的坐標(biāo)為當(dāng)時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上. 當(dāng)|時，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（），則 因此① 由得② 將①代入②，可得 綜上所述，點T的軌跡C的方程是……7分③④（Ⅲ）解法一：C上存在點M（）使S=的充要條件是③④ 由③得，由④得所以，當(dāng)時，存在點M，使S=； 當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………11分 當(dāng)時，， 由， ， ，得解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是③④③④ 由④得上式代入③得 于是，當(dāng)時，存在點M，使S=； 當(dāng)時，不存在滿足條件的點M.………11分 當(dāng)時，記， 由知，所以…………14分22．本小題考查導(dǎo)數(shù)概念的幾何意義，函數(shù)極值、最值的判定以及靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想判斷函數(shù)之間的大小關(guān)系.考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、抽象思維能力及綜合運用數(shù)學(xué)基本關(guān)系解決問題的能力.滿分12分（Ⅰ）解：…………2分（Ⅱ）證明：令因為遞減，所以遞增，因此，當(dāng)；當(dāng).所以是唯一的極值點，且是極小值點，可知的最小值為0，因此即…………6分（Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要條件，以下討論設(shè)此條件成立.對任意成立的充要條件是 另一方面，由于滿足前述題設(shè)中關(guān)于函數(shù)的條件，利用（II）的結(jié)果可知，的充要條件是：過點（0，）與曲線相切的直線的斜率大于，該切線的方程為 于是的充要條件是…………10分 綜上，不等式對任意成立的充要條件是 ① 顯然，存在a、b使①式成立的充要條件是：不等式② 有解、解不等式②得③ 因此，③式即為b的取值范圍，①