第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法,并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.2.利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論,并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境如圖所示,在△ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C,求邊c.根據(jù)學(xué)過的正弦定理知識,能夠求出邊c嗎?二、信息交流,揭示規(guī)律聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法,可用什么途徑來解決這個問題?是否可以用向量解決這個問題呢?如果可以,嘗試一下解決這個問題.余弦定理:思考1:這個式子中有幾個量?從方程的角度看已知其中三個量,可以求出第四個量,能否由三邊求出一角?余弦定理的推論形式:思考2:勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個定理之間的關(guān)系?三、運用規(guī)律,解決問題【例1】在△ABC中,已知a=2,c=,B=45°,求b及A.【例2】在△ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161四、變式訓(xùn)練,深化提高【例3】在△ABC中,已知b=5,c=5,A=30°,解三角形.【例4】在△ABC中,若a2=b2+c2+bc,求角A.五、限時訓(xùn)練(一)選擇題1.△ABC中,a=3,b=,c=2,那么B等于()A.30° B.45° C.60° D.120°2.已知△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=1∶∶2,則A∶B∶C等于()A.1∶2∶3 B.2∶3∶1C.1∶3∶2 D.3∶1∶23.在△ABC中,B=60°,b2=ac,則△ABC一定是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形4.若三條線段的長為5,6,7,則用這三條線段()A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形5.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8,則其面積等于()A.12 B. C.28 D.66.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則∠A等于()A.90° B.60° C.120° D.150°(二)填空題7.在△ABC中,若AB=,AC=5,且cosC=,則BC=.

8.在△ABC中,(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,則△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是.

(三)解答題9.在△ABC中,a+b=10,cosC是方程2x2-3x-2=0的一個根,求△ABC周長的最小值.10.在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程x2-2x+2=0的兩個根,且2cos(A+B)=1.求:(1)角C的度數(shù);(2)AB的長度.六、反思小結(jié),觀點提煉通過本節(jié)課的研討,請大家談?wù)勛约旱捏w會.(1)在本節(jié)課中,學(xué)習(xí)了哪些知識?(2)包含了哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法?參考答案一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境不可以二、信息交流,揭示規(guī)律利用向量.如圖,設(shè)=a,=b,=c,那么c=a-b,|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)=a·a+b·b-2a·b=|a|2+|b|2-2從而c2=a2+b2-2abcosC.同理可證a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.思考1:4個量,可以.余弦定理的推論:cosA=cosB=cosC=思考2:若△ABC中,C=90°,則cosC=0,這時c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣,勾股定理是余弦定理的特例.三、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:∵b2=a2+c2-2accosB=(2)2+()2-2×2×()×cos45°=12+()2-4×(+1)=8,∴b=2.(求A可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理.)方法一:∵cosA=,∴A=60°.方法二:∵sinA=sinB=·sin45°=,又∵>2.4+1.4=3.8,2<2×1.8=3.6,∴a<c,即0°<A<90°.∴A=60°.(方法二應(yīng)注意確定A的取值范圍.)【例2】解:由余弦定理的推論,得cosA==≈0.5543,A≈56°20';cosB==≈0.8398,B≈32°53';C=180°-(A+B)≈180°-(56°20'+32°53')=90°47'.四、變式訓(xùn)練,深化提高【例3】解:∵a2=b2+c2-2bccosA=25+75-75=25,∴a=5.(求B可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理.)方法一:∵cosB=,∴B=30°.方法二:∵sinB=sinA=·sin30°,∴B=30°或B=150°(舍去).∴C=180°-30°-30°=120°.【例4】解:由余弦定理推論,可知cosA===-,所以角A為120°.五、限時訓(xùn)練1.C2.A3.D4.B5.D6.C7.4或58.120°9.解:∵2x2-3x-2=0,∴x1=2,x2=-.又∵cosC是方程2x2-3x-2=0的一個根,∴cosC=-.由余弦定理,得c2=a2+b2-2ab·=(a+b)2-ab,則c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75.當(dāng)a=5時,c最小且c==5,此時a+b+c=10+5,∴△ABC周長的最小值為10+5.10.解:(1)∵cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,∴C=120°.(2)由題意,知∴AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=a2+