北京市通州區(qū)第六中學(xué)初一數(shù)學(xué)壓軸題專題一、七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)壓軸題1．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，．（1）如圖①，當(dāng)?shù)囊贿吷渚€OC在直線AB上（即OC與OA重合），另一邊射線OD在直線AB上方時(shí)，OF是的平分線，則的度數(shù)為_______．（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角度小于），OE是的平分線，OF是的平分線，試探究的大?。偃鐖D②，當(dāng)?shù)膬蛇吷渚€OC、OD都在直線AB的上方時(shí)，求的度數(shù)．小紅、小英對(duì)該問題進(jìn)行了討論：小紅：先求出與的和，從而求出與的和，就能求出的度數(shù)．小英：可設(shè)為x度，用含x的代數(shù)式表示、的度數(shù)，也能求出的度數(shù)．請(qǐng)你根據(jù)她們的討論內(nèi)容，求出的度數(shù)．②如圖③，當(dāng)?shù)囊贿吷渚€OC在直線AB的上方，另一邊射線OD在直線AB的下方時(shí)，小紅和小英認(rèn)為也能求出的度數(shù)．你同意她們的看法嗎?若同意，請(qǐng)求出的度數(shù)；若不同意，請(qǐng)說明理由．③如圖④，當(dāng)?shù)膬蛇吷渚€OC、OD都在直線AB的下方時(shí)，能否求出的度數(shù)?若不能求出，請(qǐng)說明理由；若能求出，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．答案：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，由即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)小紅和小英的方法，利用角的互補(bǔ)關(guān)系和角平分線的性質(zhì)去求解角度；②用同上的方解析：（1）；（2）①；②同意，；③能求出，【分析】（1）由得，再由角平分線的性質(zhì)求出的度數(shù)，由即可求出結(jié)果；（2）①根據(jù)小紅和小英的方法，利用角的互補(bǔ)關(guān)系和角平分線的性質(zhì)去求解角度；②用同上的方法去求出結(jié)果；③設(shè)，則，由角平分線的性質(zhì)表示出和，根據(jù)即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，∵OF平分，∴，∴，故答案是：；（2）①方法1：∵，∴∵OE平分，OF平分，∴，，∴，∴，方法2：設(shè)為x度，∵OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴；②同意，方法1：∵，OE平分，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，方法2：設(shè)為x度，∵OE平分，∴，∴，∵，∴，∵OF平分，∴，∴，③能求出，，理由：設(shè)，則，∴，∵OE平分，OF平分，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角度求解，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)，角度互補(bǔ)和互余的性質(zhì)．2．如圖，半徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)Q與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合（提示：圓的周長(zhǎng)）．（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是________；（2）圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄如下：①第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是多少？答案：（1）-2π；（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；；②34π；2π．【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動(dòng)周數(shù)即可得出滾動(dòng)距離；（2）①利用滾動(dòng)的方向以及滾動(dòng)的周數(shù)即解析：（1）-2π；（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；；②34π；2π．【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動(dòng)周數(shù)即可得出滾動(dòng)距離；（2）①利用滾動(dòng)的方向以及滾動(dòng)的周數(shù)即可得出Q點(diǎn)移動(dòng)距離變化；

②利用絕對(duì)值得性質(zhì)以及有理數(shù)的加減運(yùn)算得出移動(dòng)距離和Q表示的數(shù)即可．【詳解】解：（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)Q到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，點(diǎn)A表示的數(shù)是-2π；故答案為：-2π；

（2）①第4次滾動(dòng)后Q點(diǎn)離原點(diǎn)最近，第3次滾動(dòng)后，Q點(diǎn)離原點(diǎn)最遠(yuǎn)；

②|﹢2|+|-1|+|-5|+|+4|+|+3|+|-2|=17，

Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有：17×2π×1=34π；

（+2）+（-1）+（-5）+（+4）+（+3）+（-2）=1，

1×2π=2π，此時(shí)點(diǎn)Q所表示的數(shù)是2π．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及絕對(duì)值的性質(zhì)和圓的周長(zhǎng)公式應(yīng)用，利用數(shù)軸得出對(duì)應(yīng)數(shù)是解題關(guān)鍵．3．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)b，點(diǎn)表示數(shù)c，其中．若點(diǎn)與點(diǎn)B之間的距離表示為，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為，點(diǎn)在點(diǎn)之間，且滿足．（1）；（2）若點(diǎn)分別從、同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)的速度是1個(gè)單位/秒，點(diǎn)的速度是2個(gè)單位秒，經(jīng)過多久后相遇．（3）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)位置出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立即以同樣的速度返回，運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，問：在點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后，兩點(diǎn)之間的距離能否為2個(gè)單位？如果能，請(qǐng)求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的值以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．答案：（1）5；（2）2秒；（3）當(dāng)t的值為6或2時(shí)，M、N兩點(diǎn)之間的距離為2個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)為5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的長(zhǎng)度，結(jié)合BC=2AB可求出b值；（2）根據(jù)相遇時(shí)間解析：（1）5；（2）2秒；（3）當(dāng)t的值為6或2時(shí)，M、N兩點(diǎn)之間的距離為2個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)為5或9．【分析】（1）用b表示BC、AB的長(zhǎng)度，結(jié)合BC=2AB可求出b值；（2）根據(jù)相遇時(shí)間=相遇路程÷速度和，即可得出結(jié)論；（3）用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)M，N表示的數(shù)，結(jié)合MN=2，即可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵．又∵點(diǎn)B在點(diǎn)A、C之間，且滿足BC=2AB，

∴9-b=2（b-3），

∴b=5．

（2）AC=9-3=66÷（2+1）=2，即兩秒后相遇．（3）M到達(dá)B點(diǎn)時(shí)t=（5-3）÷1=2（秒）；M到達(dá)C點(diǎn)時(shí)t=（9-3）÷1=6（秒）；N到達(dá)C時(shí)t=（9-3）÷2+2=5（秒）N回到A點(diǎn)用時(shí)t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）當(dāng)0≤t≤5時(shí)，N沒有到達(dá)C點(diǎn)之前，此時(shí)點(diǎn)N表示的數(shù)為3+2（t-2）=2t-1；M表示的數(shù)為3+tMN==2解得（舍去）或此時(shí)M表示的數(shù)為5當(dāng)5≤t≤6時(shí)，N從C點(diǎn)返回，M還沒有到達(dá)終點(diǎn)C點(diǎn)N表示的數(shù)為9-2（t-5）=-2t+19；M表示的數(shù)為3+tMN==2解得或（舍去）此時(shí)M表示的數(shù)為9當(dāng)6≤t≤8時(shí)，N從C點(diǎn)返回，M到達(dá)終點(diǎn)C此時(shí)M表示的數(shù)是9點(diǎn)N表示的數(shù)為9-2（t-5）=-2t+19；MN==2解得此時(shí)M表示的數(shù)是9綜上所述：當(dāng)t的值為6或2時(shí)，M、N兩點(diǎn)之間的距離為2個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)M表示的數(shù)為5或9．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．4．已知，如圖，實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B、C,且a、b、c滿足．（1）求a、b、c的值；（2）若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向左以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，速度分別是2個(gè)單位/秒、3個(gè)單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．①2秒后，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是，，；②運(yùn)動(dòng)t秒后，求點(diǎn)B和點(diǎn)C之間的距離（用“BC”表示）和點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離（用“AB”表示）；（用含t的代數(shù)式表示）③在②的基礎(chǔ)上，請(qǐng)問：3×BC-AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而變化？若不變化，求這個(gè)不變的值；若變化，求這個(gè)值的變化范圍；（3）若點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，速度分別是2個(gè)單位/秒、3個(gè)單位/秒.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．是否存在某一時(shí)刻，滿足點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是點(diǎn)B和點(diǎn)C之間的距離的？若存在，直接寫出時(shí)間t的值；若不存在，說明理由．答案：（1）；（2）①，；②，；③不變，這個(gè)不變的值為；（3）存在，，．【分析】（1）根據(jù)平方與絕對(duì)值的和為0，可得平方與絕對(duì)值同時(shí)為0，可得a、b、c的值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；（2）①解析：（1）；（2）①，；②，；③不變，這個(gè)不變的值為；（3）存在，，．【分析】（1）根據(jù)平方與絕對(duì)值的和為0，可得平方與絕對(duì)值同時(shí)為0，可得a、b、c的值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得答案；（2）①2秒時(shí)A計(jì)算-8-2，B計(jì)算-2+2×2，C計(jì)算3+2×3即可,②t秒時(shí)，點(diǎn)A表示-8-t，點(diǎn)B表示-2+2t，點(diǎn)C表示3+3t，根據(jù)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算BC=3+3t-(-2+2t)，AB=-2+2t-(-8-t),③計(jì)算3×BC-AB=3（5+t）-(8+3t)即可；（3）分類討論．先把A、B、C用t表示，點(diǎn)A表示-8+t，點(diǎn)B表示-2-2t，，點(diǎn)C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，時(shí)5-t=2(6-3t)，時(shí)5-t=2(3t-6)，t≥5時(shí)，t-5=2(3t-6)即可．【詳解】(1)依題意，=0，=0，=0．所以，，．(2)①2秒后，點(diǎn)A表示-8-2=-10，點(diǎn)B表示-2+2×2=-2+4=2,點(diǎn)C表示3+2×3=3+6=9,2秒后，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是-10，2，9；②t秒時(shí)，點(diǎn)A表示-8-t，點(diǎn)B表示-2+2t，點(diǎn)C表示3+3t，BC=3+3t-(-2+2t)=3+3t+2-2t=5+t，AB=-2+2t-(-8-t)=-2+2t+8+t=6+3t，③3×BC-AB=3（5+t）-(6+3t)=15+3t-6-3t=9不變化，這個(gè)不變的值為9；（3）t秒時(shí)，點(diǎn)A表示-8+t，點(diǎn)B表示-2-2t，點(diǎn)C表示3-3t，BC=3-3t-(-2-2t)=3-3t+2+2t=5-t，AB=-2-2t-(-8+t)=-2-2t+8-t=6-3t，時(shí)5-t=2(6-3t)，t=時(shí)5-t=2(3t-6)，t=t≥5時(shí)，t-5=2(3t-6),t=舍去存在，時(shí)間t的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列代數(shù)式，整式的加減，兩點(diǎn)間的距離公式，分類構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．5．如圖，數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)、、，表示的數(shù)分別是、、，請(qǐng)回答：（1）若使、兩點(diǎn)的距離與、兩點(diǎn)的距離相等，則需將點(diǎn)向左移動(dòng)______個(gè)單位．（2）若移動(dòng)、、三點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，使三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)相同，移動(dòng)方法有種，其中移動(dòng)所走的距離和最小的是_______個(gè)單位；（3）若在表示的點(diǎn)處有一只小青蛙，一步跳個(gè)單位長(zhǎng)．小青蛙第次先向左跳步，第次再向右跳步，然后第次再向左跳步，第次再向右跳步按此規(guī)律繼續(xù)跳下去，那么跳第次時(shí)，應(yīng)跳_______步，落腳點(diǎn)表示的數(shù)是_______．（4）數(shù)軸上有個(gè)動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)是，則的最小值是_______．答案：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動(dòng)點(diǎn)B、C；移動(dòng)點(diǎn)A、C；移動(dòng)點(diǎn)A、B，再解析：（1）3；（2）3，7；（3）197，；（4）9．【分析】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，再根據(jù)數(shù)軸的定義建立方程，解方程即可得；（2）分為三種：移動(dòng)點(diǎn)B、C；移動(dòng)點(diǎn)A、C；移動(dòng)點(diǎn)A、B，再利用數(shù)軸的定義分別求出移動(dòng)所走的距離和即可得；（3）先根據(jù)前4次歸納類推出一般規(guī)律，再列出運(yùn)算式子，計(jì)算有理數(shù)的加減法即可得；（4）分，，和數(shù)四種情況，再分別結(jié)合數(shù)軸的定義、化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得．【詳解】（1）設(shè)需將點(diǎn)C向左移動(dòng)x個(gè)單位，由題意得：，解得，即需將點(diǎn)C向左移動(dòng)3個(gè)單位，故答案為：3；（2），，，由題意，分以下三種情況：①移動(dòng)點(diǎn)B、C，把點(diǎn)B向左移動(dòng)2個(gè)單位，點(diǎn)C向左移動(dòng)7個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；②移動(dòng)點(diǎn)A、C，把點(diǎn)A向右移動(dòng)2個(gè)單位，點(diǎn)C向左移動(dòng)5個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；③移動(dòng)點(diǎn)A、B，把點(diǎn)A向右移動(dòng)7個(gè)單位，點(diǎn)B向右移動(dòng)5個(gè)單位，此時(shí)移動(dòng)所走的距離和為；綜上，移動(dòng)方法有3種，其中移動(dòng)所走的距離和最小的是7個(gè)單位，故答案為：3，7；（3）第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，第次跳的步數(shù)為，歸納類推得：第n次跳的步數(shù)為，其中n為正整數(shù)，則第99次跳的步數(shù)為，落腳點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，故答案為：197，；（4）由題意，分以下四種情況：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)時(shí)，則，，；③當(dāng)時(shí)，則，，；④當(dāng)時(shí)，則；綜上，，則的最小值是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關(guān)鍵．6．已知數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，且兩點(diǎn)間的距離為8．點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在原點(diǎn)位置．（1）點(diǎn)B的數(shù)為____________；（2）①若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離比到點(diǎn)B的距離大2，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為_________；②數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）已知在數(shù)軸上存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離之和等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為___________；答案：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可得結(jié)果；（2）①根據(jù)點(diǎn)P相對(duì)于A、B的不同位置分類討論即可；②分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)P在A、B之間，解析：（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離可得結(jié)果；（2）①根據(jù)點(diǎn)P相對(duì)于A、B的不同位置分類討論即可；②分點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)P在A、B之間，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)三種情況，列方程求解；（3）分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)P在A、O之間，點(diǎn)P在O、B之間，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)四種情況，列方程求解，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-6，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，A，B兩點(diǎn)間的距離為8，∴-6+8=2，即點(diǎn)B表示的數(shù)為2；（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，PA-PB=AB=8，不符合；故答案為：-1；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；∴P對(duì)應(yīng)的數(shù)為或10；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；當(dāng)點(diǎn)P在A、O之間時(shí)，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；綜上：點(diǎn)P表示的數(shù)為-8和-4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次的方程的應(yīng)用，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是本題的關(guān)鍵．7．已知射線在的內(nèi)部，射線平分，射線平分．（1）如圖1，若，則__________度；（2）若，①如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)；②若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于180°的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．答案：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平解析：（1）60；（2）①∠EOF=α；②當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【分析】（1）先求出∠BOC度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出∠EOC和∠FOC的度數(shù)，求和即可得出答案；（2）①根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；②分兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．故答案為：60；（2）①∵OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線，

∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；②分以下兩種情況：當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外部時(shí)，如圖3①，∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，如圖3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．綜上所述，當(dāng)射線OE，OF只有1條在∠AOB外面時(shí)，∠EOF=α；當(dāng)射線OE，OF都在∠AOB外部時(shí)，∠EOF=180°-α．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．8．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時(shí)針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí)，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時(shí)針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度順時(shí)針返回，當(dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t=2時(shí)，求∠POQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，求t的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，t=解析：（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【分析】當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，得到∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，利用∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ求出結(jié)果即可；（2）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可；（3）分三種情況：當(dāng)0≤t≤15時(shí)，當(dāng)15＜t≤20時(shí)，當(dāng)20＜t≤30時(shí)，分別列出等量關(guān)系式求解即可．【詳解】解：當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，2t+6t=120，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，6t=120，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，2t6t=120+2t，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=120°-4°-12°=104°.（2）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，2t+40+6t=120，t=10；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t+6t=120+40，t=20；當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t=6t-120+40，t=20（舍去）；答：當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20.（3）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，120-8t=(120-6t），120-8t=60-3t，t=12；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t–(120-6t）=(120-6t），t=.當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t–(6t-120）=(6t-120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.【分析】本題考查了角的和差關(guān)系及列方程解實(shí)際問題，解決本題的關(guān)鍵是分好類，列出關(guān)于時(shí)間的方程．9．如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+2|+（c﹣7）2=0．（1）a=，b=，c=；（2）若將數(shù)軸折疊，使得A點(diǎn)與C點(diǎn)重合，則點(diǎn)B與數(shù)表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過后，若點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC．則AB=，AC=，BC=．（用含t的代數(shù)式表示）（4）請(qǐng)問：3BC﹣2AB的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值．答案：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c解析：（1）-2，1，c=7；（2）4；（3）3t+3，5t+9，2t+6；（4）不變，3BC﹣2AB=12．【分析】（1）利用|a＋2|＋（c?7）2＝0，得a＋2＝0，c?7＝0，解得a，c的值，由b是最小的正整數(shù)，可得b＝1；（2）先求出對(duì)稱點(diǎn)，即可得出結(jié)果；（3）AB原來的長(zhǎng)為3，所以AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，再由AC＝9，得AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，由原來BC＝6，可知BC＝4t?2t＋6＝2t＋6；（4）由3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）求解即可．【詳解】（1）∵|a＋2|＋（c?7）2＝0，∴a＋2＝0，c?7＝0，解得a＝?2，c＝7，∵b是最小的正整數(shù)，∴b＝1；故答案為：?2；1；7．（2）（7＋2）÷2＝4.5，對(duì)稱點(diǎn)為7?4.5＝2.5，2.5＋（2.5?1）＝4；故答案為：4．（3）依題意可得AB＝t＋2t＋3＝3t＋3，AC＝t＋4t＋9＝5t＋9，BC＝2t＋6；故答案為：3t＋3；5t＋9；2t＋6．（4）不變．3BC?2AB＝3（2t＋6）?2（3t＋3）＝12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)軸及兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)軸的特點(diǎn)能求出兩點(diǎn)間的距離．10．如圖1，在平面內(nèi)，已知點(diǎn)O在直線上，射線、均在直線的上方，（），，平分，與互余．（1）若，則________°；（2）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)①若，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，求的度數(shù)；②判斷射線是否平分，并說明理由；（3）若，請(qǐng)直接寫出的值．答案：（1）；（2）①補(bǔ)全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；解析：（1）；（2）①補(bǔ)全圖形見解析；；②OF平分，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE：∠BOE=1：5，再根據(jù)∠AOE=∠AOC+∠COE即可求解；（2）①根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形；根據(jù)∠DOF與∠AOC互余，可求出∠DOF，又因?yàn)镺D平分∠COE，可求得∠DOE，根據(jù)∠EOF=∠DOF-∠DOE即可求解；②根據(jù)∠DOF=-∠AOC，∠BOF=，即可求證；（3）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：①OF在∠BOC內(nèi)部，根據(jù)∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，可得∠DOE=∠COD=，繼而可得∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，根據(jù)∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°即可求出的值；②OF在∠BOC外部，根據(jù)∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF，可得到∠AOF=，又因?yàn)椤螪OF與∠AOC互余，可得到∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，繼而可求出的值．【詳解】解：（1）∵AB為直線，∴∠AOE+∠BOE=180°，又∵∠AOE：∠BOE=1：5，∴∠AOE=，∵∠AOC=，∠COE=，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=+==30°，解得：；（2）①補(bǔ)全的圖形見下圖：∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF=-∠AOC=70°，∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE==20°，∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=；②OF平分∠BOD，理由如下：由題意得：∠DOF=-∠AOC=-，∠BOF===，∴∠DOF=∠BOF，∴OF平分∠BOD；（3）分兩種情況：①當(dāng)OF在∠BOC內(nèi)部時(shí)，如下圖所示：∵∠EOF=4∠AOC=，OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=+==∠BOF，∴∠AOC+∠COD+∠DOF+∠BOF=180°，即，解得：；②當(dāng)OF在∠BOC外部時(shí)，如下圖所示：∵OD平分∠COE，∠COE=，∴∠DOE=∠COD=，∵∠EOF=4∠AOC=，∴∠EOF=∠COE+∠AOC+∠AOF=++∠AOF=，∴∠AOF=，∵∠DOF與∠AOC互余，∴∠DOF+∠AOC=90°，即∠DOC+∠COA+∠AOF+∠AOC=90°，∴+++=90°，解得：綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線、余角補(bǔ)角、尺規(guī)作圖等知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC＝40°，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在O處，即∠DOE＝90°．（1）如圖1，若直角三角板DOE的一邊OE放在射線OA上，則∠COD＝；（2）如圖2，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OE恰好平分∠AOC，則∠COD＝；（3）將直角三角板DOE繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（OD與OB重合時(shí)為停止）的過程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此時(shí)∠BOD的度數(shù)．答案：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解的度數(shù)，進(jìn)而可求解；（3）可分兩種情況：①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)在解析：（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°．【分析】（1）利用余角的定義可求解；（2）由平角的定義及角平分線的定義求解的度數(shù)，進(jìn)而可求解；（3）可分兩種情況：①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)在的外部時(shí)，根據(jù)角的和差可求解．【詳解】解：（1）由題意得，，，故答案為；（2），，，平分，，，，故答案為；（3）①當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，，而，，，，，又，，；②當(dāng)在的外部時(shí)，，而，，，，，又，，，綜上所述：的度數(shù)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查余角的定義，角的和差，角平分線的定義等知識(shí)的綜合運(yùn)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．12．（學(xué)習(xí)概念）如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個(gè)角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．（理解運(yùn)用）（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠MPN；（拓展提升）（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時(shí)，則t＝秒．答案：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據(jù)新定義的理解，即可得到答案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況：當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)；當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)；分別求出∠MPN即可；（2）根據(jù)題意，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，然后對(duì)PM和PQ的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析，可分為四種情況進(jìn)行分析，分別求出每一種情況的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當(dāng)∠MPQ=2∠QPN時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當(dāng)∠QPN=2∠MPQ時(shí)∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據(jù)題意，PM運(yùn)動(dòng)前∠MPN＝120°，設(shè)運(yùn)用的時(shí)間為t秒，則PM運(yùn)用后有，，①當(dāng)時(shí)，如圖：∴，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，如圖：∴，解得：；③當(dāng)，如圖：∴，解得：；④當(dāng)，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的角度運(yùn)算，角度的和差關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確掌握運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．13．如圖1，射線OC在的內(nèi)部，圖中共有3個(gè)角：、、，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是的“定分線”．（1）一個(gè)角的平分線_________這個(gè)角的“定分線”；（填“是”或“不是”）（2）如圖2，若，且射線PQ是的“定分線”，則________(用含a的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）；（3）如圖2，若=48°，且射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒8°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN成90°時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒；同時(shí)射線PM繞點(diǎn)P以每秒4°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時(shí)停止．當(dāng)PQ是的“定分線”時(shí)，求t的值．答案：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解析：（1）是；（2）；（3）t=2.4，6，4【分析】（1）根據(jù)“定分線”定義即可求解；（2）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”即可求解；（3）分3種情況，根據(jù)“定分線定義”列出方程求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)OC是角∠AOB的平分線時(shí)，∵∠AOB=2∠AOC，∴一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“定分線”；故答案為：是；（2）∵∠MPN=分三種情況①∵射線PQ是的“定分線”，∴=2=，∴=，②∵射線PQ是的“定分線”，∴=2，∵∠QPN+∠QPM=，∴3=，∴=，③∵射線PQ是的“定分線”，∴2=，∵∠QPN+∠QPM=，∴3∠QPN=，∴∠QPN=，∴∠QPM=，∴∠MPQ=或或；故答案為：或或；（3）依題意有三種情況：①∠NPQ=∠NPM，由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=2.4(秒)；②∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+48），解得t=4(秒)；③∠NPQ=∠NPM由∠NPQ=8t，∠NPM=4t+48,∴8t=（4t+45），解得：t=6(秒)，故t為2.4秒或4秒或6秒時(shí)，PQ是∠MPN的“定分線”．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的幾何應(yīng)用，“定分線”定義，學(xué)生的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移能力．理解“定分線”的定義并分情況討論是解題的關(guān)鍵．14．如圖，一副三角板中各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線的點(diǎn)處重合，三角板的邊落在直線上，三角板繞著頂點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．兩塊三角板都在直線的上方，作的平分線，且，．（1）當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)（如圖1），的度數(shù)是_______．（2）現(xiàn)將三角板繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度（即），請(qǐng)就下列兩種情形，分別求出的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）①當(dāng)為銳角時(shí)（如圖2）；②當(dāng)為鈍角時(shí)（如圖3）；答案：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度解析：（1）37.5°；（2）①當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②【分析】（1）根據(jù)題意可以求得∠BOD的度數(shù)，由于OP平分∠BOD，從而可以求得∠BOP的度數(shù)；（2）根據(jù)圖形和第一問中的推導(dǎo)可以解答本題；（3）通過圖形可以發(fā)現(xiàn)∠BOD是∠AOB與∠COD的和與∠MOC的差，從而可以解答本題．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，點(diǎn)C在射線ON上，∴∠BOD＝180°?45°?60°＝75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝37.5°．故答案為：37.5°；（2）①當(dāng)∠CON為銳角時(shí)，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠BOD＝180°?45°?60°?x°＝75°?x°．∵OP平分∠BOD，∴當(dāng)0°＜x°≤75°時(shí)，∠BOP＝，當(dāng)75°＜x°＜90°時(shí)，∠BOP＝；②當(dāng)∠CON為鈍角時(shí)，∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，∴∠MOC＝180°?x°．∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD?∠MOC＝45°＋60°?（180°?x°）＝x°?75°．∵OP平分∠BOD，∴∠BOP＝．【點(diǎn)睛】本題考查角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，可以根據(jù)圖形找出所求問題需要的條件．15．（閱讀理解）射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠COA＝∠BOC，則我們稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．例如，如圖1，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線；若∠BOD＝∠COD，則稱射線OD是射線OB關(guān)于∠BOC的伴隨線．（知識(shí)運(yùn)用）如圖2，∠AOB＝120°．（1）射線OM是射線OA關(guān)于∠AOB的伴隨線．則∠AOM＝_________°（2）射線ON是射線OB關(guān)于∠AOB的伴隨線，射線OQ是∠AOB的平分線，則∠NOQ的度數(shù)是_________°．（3）射線OC與射線OA重合，并繞點(diǎn)O以每秒2°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD與射線OB重合，并繞點(diǎn)O以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OD與射線OA重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒），使得∠COD的度數(shù)是20°，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t為多少秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．答案：（1）；（2）；（3）①當(dāng)t=20秒或28秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°；②當(dāng)t為或或或秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義解析：（1）；（2）；（3）①當(dāng)t=20秒或28秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°；②當(dāng)t為或或或秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【分析】（1）根據(jù)伴隨線定義即可求解；（2）根據(jù)伴隨線定義結(jié)合角平分線的定義即可求解；（3）①利用分類討論思想，分相遇之前和之后進(jìn)行列式計(jì)算即可；②利用分類討論思想，分相遇之前和之后四個(gè)圖形進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）根據(jù)伴隨線定義得，∴；故答案為：；（2）如圖，根據(jù)伴隨線定義得，即，∵射線OQ是∠AOB的平分線，∴，∴；故答案為：；（2）射線OD與OA重合時(shí)，（秒），①當(dāng)∠COD的度數(shù)是20°時(shí)，有兩種可能：若在相遇之前，則120-3t-2t=20，∴t=20；若在相遇之后，則3t+2t-120=20，∴t=28；所以，綜上所述，當(dāng)t=20秒或28秒時(shí)，∠COD的度數(shù)是20°；②相遇之前，射線OC是射線OA關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠AOC=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之前，射線OC是射線OD關(guān)于∠AOD的伴隨線，則∠COD=∠AOC，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OA關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠AOD=∠COD，即，解得：（秒）；相遇之后，射線OD是射線OC關(guān)于∠AOC的伴隨線，則∠COD=∠AOD，即，解得：（秒）；綜上，當(dāng)t為或或或秒時(shí)，射線OC、OD、OA中恰好有一條射線是其余兩條射線組成的角的一邊的伴隨線．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解新定義，找到等量關(guān)系列出方程，難點(diǎn)是利用分類討論思想解決問題．16．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板畫出？在①，②，③，④中，小明同學(xué)利用一副三角板畫不出來的特殊角是；（填序號(hào)）（2）在探究過程中，愛動(dòng)腦筋的小明想起了圖形的運(yùn)動(dòng)方式有多種．如圖，他先用三角板畫出了直線，然后將一副三角板拼接在一起，其中角（）的頂點(diǎn)與角（）的頂點(diǎn)互相重合，且邊、都在直線上．固定三角板不動(dòng)，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，當(dāng)邊與射線第一次重合時(shí)停止．①當(dāng)平分時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角度；②是否存在？若存在，求旋轉(zhuǎn)角度；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）①根據(jù)已知條件得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論解析：（1）②③；（2）①15°；②存在，或【分析】（1）根據(jù)一副三角板中的特殊角，運(yùn)用角的和與差的計(jì)算，只要是的倍數(shù)的角都可以畫出來；（2）①根據(jù)已知條件得到，根據(jù)角平分線的定義得到，于是得到結(jié)論；②當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，和不能寫成、、、的和或差，故畫不出；故選②③；（2）①，，平分，，，；②當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，如圖②，則，，，，；當(dāng)在的右側(cè)時(shí)如圖③，則，，，，，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，存在．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）答案：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和平分畫圖即解析：（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分【分析】（1）根據(jù)圖形和題意得出，再除以每秒速度，即可得出；（2）根據(jù)圖形和題意得出，再根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度從而得出答案；（3）分別根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和平分畫圖即可．【詳解】（1）∵∴∵平分，∴∴∴解得：秒（2）度∵，平分∴∴∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設(shè)為，為∴∵解得：秒答：經(jīng)過秒平分．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．18．如圖①，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．（1）若，則____________°，____________°；（2）將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；（3）將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變，直接寫出和的度數(shù)之間的關(guān)系：__________________．（不用證明）答案：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC利用角的和差即可求出∠DOE的度數(shù)；（2）由∠AOC的度數(shù)可以求得∠BOC的度數(shù)，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度數(shù)，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度數(shù)；（3）由∠COD是直角，OE平分∠BO