9.3.2向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算第1課時(shí)向量的坐標(biāo)表示及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示(教學(xué)方式:基本概念課逐點(diǎn)理清式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.借助于平面直角坐標(biāo)系,理解向量坐標(biāo)的概念,會(huì)求點(diǎn)的坐標(biāo).2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法和減法及數(shù)乘運(yùn)算.逐點(diǎn)清(一)向量的坐標(biāo)表示[多維理解]在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y),使得.我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo),記作a=.

特殊向量的坐標(biāo):i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).|微|點(diǎn)|助|解|點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接,而點(diǎn)A(x,y)中間沒(méi)有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置,a=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示點(diǎn),也可以表示向量,敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同[微點(diǎn)練明]1.如圖所示,e1,e2為單位正交基底,則向量a,b的坐標(biāo)分別是()A.(3,4),(2,-2)B.(2,3),(-2,-3)C.(2,3),(2,-2)D.(3,4),(-2,-3)2.已知D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),BC=3CD,設(shè)AB=e1,AC=e2,則AD在基底e1,e2下的坐標(biāo)為()A.43,13C.13,-43.若i,j為正交基底,設(shè)a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),則向量a對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位于()A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三象限 D.第四象限4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第二象限,|OA|=2,∠x(chóng)OA=120°,則向量OA的坐標(biāo)為.

逐點(diǎn)清(二)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示[多維理解]文字?jǐn)⑹龇?hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=______________減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=______________數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)若a=(x,y),λ∈R,則λa=________向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=______________|微|點(diǎn)|助|解|(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān),而與它們的具體位置無(wú)關(guān).當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.(2)當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),向量終點(diǎn)的坐標(biāo)等于向量本身的坐標(biāo).(3)由向量坐標(biāo)的定義知,相同的向量的坐標(biāo)一定相同,但是相同的向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同.也就是說(shuō),兩個(gè)向量相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a=b?x[微點(diǎn)練明]1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),則向量12a-32b=(A.(2,1) B.(-2,1)C.(1,2) D.(-1,2)2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,則c=()A.-133,-C.133,43.在平面直角坐標(biāo)系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),點(diǎn)P滿足P1P=-3PP2,則點(diǎn)P4.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(2)求M,N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).逐點(diǎn)清(三)向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用[典例]已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB(t∈R).(1)t為何值時(shí),P在x軸上?t為何值時(shí),P在y軸上?(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一.先將未知量設(shè)出來(lái),建立方程(組)求出未知數(shù)的值,是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用.(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相同的向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等,對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相同的向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值.[針對(duì)訓(xùn)練]已知O(0,0),向量OA=(2,1),OB=(3,-2).(1)如圖,若四邊形OACB為平行四邊形,求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P為線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo).9.3.2向量坐標(biāo)表示與運(yùn)算第1課時(shí)向量的坐標(biāo)表示及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示[多維理解]單位向量a=xi+yj(x,y)[微點(diǎn)練明]1.選C根據(jù)平面直角坐標(biāo)系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2.∴a=(2,3),b=(2,-2).2.選D因?yàn)锽C=3CD,所以CD=13BC=13(AC-所以AD=AC+CD=AC+13(AC-AB=-13AB+43AC=-13e1因此向量AD在基底e1,e2下的坐標(biāo)為-13.選Dx2+x+1=x+122+34>0,x2-x+1=x-122+34>0,因此a對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)滿足x2+x+1>0,-(x24.解析:如圖,由∠x(chóng)OA=120°可得∠yOA=30°.因?yàn)閨OA|=2,所以A(-1,3).故OA=(-1,3).答案:(-1,3)[多維理解](x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)[微點(diǎn)練明]1.選D12a-32b=12(1,1)-32(1,-1)=(-12.選A由a-2b+3c=0,可得c=-13a+23b=-13(5,-2)+23(-4,-33.解析:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镻1(-1,1),P2(1,3),所以P1P=(x+1,y-1),PP2=(1-x,3因?yàn)镻1P=-3所以x+1=-3(1-x所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4).答案:(2,4)4.解:(1)由題意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),所以mb+nc=(-6m+n,-3m+8n).因?yàn)閍=mb+nc,所以-6m+(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)镃M=OM-OC=3c,所以O(shè)M=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,20).因?yàn)镃N=ON-OC=-2b,所以O(shè)N=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(9,2).故MN=(9,-18).[典例]解:(1)由題意得OA=(1,2),AB=(3,3),則OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若P在x軸上,則2+3t=0,∴t=-23若P在y軸上,則1+3t=0,∴t=-13(2)不能.理由如下:由題意知OA=(1,2),PB=OB-OP=(3-3t,3-3t).若四邊形OABP為平行四邊形,則OA=PB,∵3-3t=1,∴四邊形OABP不能成為平行四邊形.[針對(duì)訓(xùn)練]解:(1)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由題意,得A(2,1),B(3,-2),則BC