高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義第七章內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.掌握復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解復(fù)數(shù)加法、減法運(yùn)算的幾何意義.(直觀想象)3.能夠利用復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算法則及幾何意義解決問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思任何兩個(gè)實(shí)數(shù)都可以相加,而且實(shí)數(shù)中的加法運(yùn)算還滿足交換律與結(jié)合律,即a,b,c∈R時(shí),必定有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).那么,復(fù)數(shù)中的加法應(yīng)該如何規(guī)定,才能使得類似的交換律與結(jié)合律都成立呢?知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算1.復(fù)數(shù)加法、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),則有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律設(shè)z1,z2,z3∈C,則有:交換律:z1+z2=z2+z1;結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).微練習(xí)(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,則z1+z2=

.

(2)(5-5i)-3i=

.

答案(1)1+2i

(2)5-8i解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.(2)(5-5i)-3i=5-8i.知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)加法的幾何意義

微練習(xí)

答案0解析(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.知識(shí)點(diǎn)三、復(fù)數(shù)減法的幾何意義

微練習(xí)

答案-1-7i課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+1-3i=5-2i,求z.分析(1)可根據(jù)復(fù)數(shù)的加法、減法的運(yùn)算法則計(jì)算.(2)可設(shè)z=x+yi(x,y∈R),根據(jù)復(fù)數(shù)相等計(jì)算,也可把等式看作z的方程,通過移項(xiàng)求解.(1)答案1+i(2)解(方法一)設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因?yàn)閦+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.反思感悟復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的方法技巧(1)可把復(fù)數(shù)運(yùn)算類比實(shí)數(shù)運(yùn)算,若有括號(hào),先計(jì)算括號(hào)里面的;若沒有括號(hào),可以從左到右依次進(jìn)行.(2)當(dāng)利用交換律、結(jié)合律抵消掉某些項(xiàng)的實(shí)部或虛部時(shí),可以利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算,注意正負(fù)號(hào)法則與實(shí)數(shù)相同,不能弄錯(cuò).變式訓(xùn)練1(1)計(jì)算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

(2)若(1-3i)+z=6+2i,則復(fù)數(shù)z=

.

答案(1)-2-4i

(2)5+5i解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.探究二復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義反思感悟用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的策略向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用向量加法“首尾相接”和向量減法“指向被減向量”的特點(diǎn),在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).注意向量

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB-zA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)).變式訓(xùn)練2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:探究三復(fù)數(shù)模的最值問題例3(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(

)(1)答案A解析設(shè)復(fù)數(shù)z,-i,i,-1-i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z,Z1,Z2,Z3,因?yàn)閨z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.問題轉(zhuǎn)化為:動(dòng)點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動(dòng),求|ZZ3|的最小值.畫圖可知(圖略),當(dāng)Z位于Z1位置時(shí),|ZZ3|最小.因?yàn)閨Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.故選A.要點(diǎn)筆記復(fù)數(shù)模的問題的求解策略|z1-z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1,z2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì),可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題,從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.延伸探究(1)若本例(2)條件改為“設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.(2)若本例(2)條件改為已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.解(1)因?yàn)閨z-3-4i|=1,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以C(3,4)為圓心,半徑為1的圓上,由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是

+1=6.(2)因?yàn)閨z|=1且z∈C,作圖如圖,所以|z-2-2i|的幾何意義為以O(shè)為圓心的單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用典例復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆時(shí)針順序作?ABCD,求||.方法點(diǎn)睛(1)解決此類問題的關(guān)鍵是由題意正確地畫出圖形,然后根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則借助復(fù)數(shù)相等即可求解.(2)復(fù)數(shù)的幾何意義包括三個(gè)方面:復(fù)數(shù)的表示(點(diǎn)和向量)、復(fù)數(shù)的模的幾何意義及復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.復(fù)數(shù)的幾何意義充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法,即通過幾何圖形來研究代數(shù)問題.變式訓(xùn)練若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.解設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為z1,z2,O為原點(diǎn),則|z1+z2|和|z1-z2|是以O(shè)Z1和OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).如圖所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四邊形為正方形,故另一條對(duì)角線的長(zhǎng)|z1-z2|=.當(dāng)堂檢測(cè)1.(2021甘肅靖遠(yuǎn)模擬)若z=2+3i,則|z+i|=(

)答案C2.若復(fù)數(shù)z滿足z+(3-4i)=1,則z的虛部是(

)A.-2 B.4 C.3 D.-4答案B解析z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虛部是4.A.-1-i B.7-3i C.-7+i D.1+I答案C4.若復(fù)數(shù)