高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案;不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.從一個含有個個體的總體中抽取一容量為的樣本，當(dāng)選取抽簽法、隨機數(shù)法和分層隨機抽樣三種不同方法時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，三者關(guān)系可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為在抽簽法抽樣、隨機數(shù)法抽樣和分層隨機抽樣中，每個個體被抽中的概率均為，所以.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因為，所以的共軛復(fù)數(shù)為，對應(yīng)點的坐標為，位于第二象限.故選：B.3.在中，已知，則C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，解得，則或.故選：D4.下面四個命題：①過一點和一條直線垂直的直線有且只有一條；②過一點和一個平面垂直的直線有且只有一條；③過一點和一條直線垂直的平面有且只有一個；④過一點和一個平面垂直的平面有且只有一個．其中正確的是（）A.①④ B.②③ C.①② D.③④【答案】B【解析】對于①：過一點和一條直線垂直的直線有無數(shù)條，故①不正確；對于②：過一點和一個平面垂直的直線有且只有一條；故②正確；對于③：過一點和一條直線垂直的平面有且只有一個；故③正確；對于④：過一點和一個平面垂直的平面有無數(shù)個，故④不正確；易知②③均正確，故選：B．5.如圖，在中，，點是的中點，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為即，點為的中點，所以，所以.故選：D.6.在如圖（1）所示的四棱錐中，底面為正方形，且側(cè)面垂直于底面，水平放置的側(cè)面的斜二測直觀圖如圖（2）所示，已知，，則四棱錐的側(cè)面積是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】四棱錐中，底面為正方形，且側(cè)面垂直于底面，則側(cè)面，側(cè)面由水平放置的側(cè)面的斜二測直觀圖可知，，由勾股定理可得，，所以等腰三角形的面積為，直角三角形與直角三角形的面積均為，等腰直角三角形的面積為，故該幾何體的側(cè)面積是.故選：D7.《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生二儀，二儀生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現(xiàn)象．如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形如圖2中的正八邊形．其中為正八邊形的中心，若，點為正八邊形邊上的一個動點，則下列說法正確的是（）A.的最大值為1 B.C. D.【答案】A【解析】在正八邊形中，線段被點平分，，，在中，，對于A，當(dāng)點在線段上時，在上的投影向量的模最大，而，因此的最大值為，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，在中，，，C錯誤；對于D，，因此，D錯誤.故選：A8.已知銳角三角形中，角所對的邊分別為的面積為，且，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，即，所以，整理得：，因為，所以，由正弦定理得：，因為，所以，因為為銳角三角形，所以為銳角，所以，即，由，解得：，因為，所以，解得：，故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則或【答案】ABD【解析】設(shè)，，因為，，所以，故A正確；又，，，所以，故B正確；取，，可得，故C錯誤；若，由B選項知，所以或，可得或，故D正確；故選：ABD．10.在日常生活中，我們會看到這樣的情境：兩個人共提一個行李包．假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，且與的夾角為，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.越小越費力，越大越省力C.當(dāng)時， D.的范圍為【答案】AC【解析】因為，所以平行四邊形法則為菱形，故，即，故A正確；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則越小越省力，越大越費力，故B錯誤；當(dāng)時，，又，所以為等邊三角形，即，故C正確；若，則，與矛盾，所以，故D錯誤；故選：AC.11.如圖，在棱長為1正方體中，點P，Q分別是線段，上的動點，點E是棱的中點，下列命題正確的有（）A.異面直線與所成的角為定值B.的最小值為C.三棱錐的體積隨P點的變化而變化D.過點E作平面，當(dāng)//平面時，平面與正方體表面的交線構(gòu)成平面多邊形的周長為【答案】ABD【解析】由于平面平面,，，，平面,所以平面，平面，所以，則異面直線與所成的角為90°，故A正確；把平面沿直線翻折到平面，使得與共面且不重合，點翻折到點的位置，過作交于點，由于與為全等的直角三角形，且,所以，故,故,則的最小值為線段的長，故B正確；因為,由于為定值,且到底面的距離為定值，故體積為定值，故C錯誤.分別取的中點為，連接構(gòu)成六邊形,則平面平面,故平面即為六邊形所在的平面，由于六邊形為正六邊形，且邊長為,故其周長為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知單位向量滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，所以，則，故.故答案為：13.已知復(fù)數(shù)滿足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，_____【答案】【解析】設(shè)，則，依題意，，即，由，得，解得，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，即當(dāng)時，則，解得，所以.故答案為：14.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié).這一天民間有吃粽子的習(xí)俗，據(jù)說是為了紀念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國詩人屈原.粽子的形狀有多種.今有某種粽子類似于由一個直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)（如圖）而成.如果粽子的餡可以看成是這個幾何體內(nèi)的一個球狀物，則粽子餡的最大體積為______.【答案】【解析】如圖所示：是的中點，連接，，，，則，，根據(jù)對稱性，球心在平面內(nèi)，設(shè)為，設(shè)球半徑為，當(dāng)球體積最大時，球與平面，平面，平面和直線相切，設(shè)切點分別為，，，，平面與直線交于點，則四邊形為正方形，邊長為，中，，，根據(jù)等面積法：，解得，球的體積.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，其中．（1）設(shè)，若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值；（2）設(shè)，分別記復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，求與的夾角余弦值以及在上的投影向量．解：（1），因為是純虛數(shù)，所以且，解得；（2）當(dāng)時，，故，，故．設(shè)，則；所以在上的數(shù)量投影向量為．16.如圖，在三棱錐中，．（1）平面；（2）當(dāng)時，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，由余弦定理，即，解得，所以，即，所以，又，，平面，所以平面；（2）因為平面，又平面，所以，又，所以為二面角的平面角，取的中點，連接，因為，所以，又，所以，所以，所以二面角的正弦值為.17.在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，因為，可得．因為，由正弦定理得，．由，所以，可得，所以．又由，所以，所以，所以，可得．（2），解得：，故．18.已知正三棱柱中，點是的中點，底面的邊長為2，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積；（3）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）連接交于點，連接，因為四邊形是矩形，所以為的中點，又是的中點，又，又平面，平面，所以平面.（2）由于，又是的中點，所以，在正三棱柱中，平面，平面，所以，又平面平面，所以平面，所以是三棱錐的高，又，所以，（3）設(shè)點到平面的距離為，直線與平面所成角為，由（2）有平面，又平面，所以，因為，，所以，又，即，解得，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.在內(nèi)一點滿足，則稱為的布洛卡點，為布洛卡角．小明同學(xué)對布洛卡點產(chǎn)生興趣，對其進行探索得到許多正確的結(jié)論，比如，若下列問題中的點為的布洛卡點，請你和他一起解決如下問題：（1）當(dāng)，且時，求；（2）角，，所對的邊分別為，，，，求證：；（3）在（2）的條件下，若的周長為4，試把表示