高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】，故共軛復(fù)數(shù)為.故選：A．2.如圖，斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是，的面積為，那么的面積為().A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以.故選：A.3.在中，設(shè)，，若是線(xiàn)段中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.如圖，三個(gè)元件正常工作的概率均為，且是相互獨(dú)立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，則，電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個(gè)正常工作，、不發(fā)生故障即，至少有一個(gè)正常工作的概率，所以整個(gè)電路不發(fā)生故障的概率為.故選：C.5.已知點(diǎn)，若曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則稱(chēng)為型曲線(xiàn).給定下列三條曲線(xiàn)：①；②；③.其中，是型曲線(xiàn)的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】對(duì)于①，到直線(xiàn)的距離為，若直線(xiàn)上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，如圖，可求解出兩解，所以曲線(xiàn)①是型曲線(xiàn).對(duì)于②，化為，圖形是半圓（包括端點(diǎn)），則由為頂點(diǎn)的角兩邊能與半圓找到交點(diǎn)，故曲線(xiàn)②也是型曲線(xiàn)，對(duì)于③，過(guò)分別作傾斜角為和的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，則，同時(shí)過(guò)傾斜角為和的直線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)，使為正三角形，所以曲線(xiàn)③是型曲線(xiàn).故選：D.6.若圓臺(tái)有內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線(xiàn)均相切的球），且母線(xiàn)與底面所成角的余弦值為，則此圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)切球的表面積之比為（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】設(shè)上、下底面半徑分別為、，如圖，取圓臺(tái)的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點(diǎn)，知，由題意知：母線(xiàn)與底面所成角為，則，可得，即，得，則內(nèi)切球的半徑，所以圓臺(tái)表面積，球的表面積，所以.故選：C.7.小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)是班級(jí)第十五名（每位同學(xué)測(cè)試的成績(jī)兩兩不同），且小明同學(xué)的成績(jī)恰好是該班成績(jī)的第60百分位數(shù)，則該班的人數(shù)可能為（）A.36 B.41 C.46 D.51【答案】A【解析】設(shè)班級(jí)的人數(shù)為，由題意，解得.故選：A8.正四面體中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得所以，又由，所以四點(diǎn)共面，所以的最小值，即為點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，又因?yàn)?，所以三棱錐為正三棱錐，取等邊的中心為，連接，可得平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，在等邊，因?yàn)?，可得，在直角中，可得，即點(diǎn)到平面的距離為，所以的最小值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)是兩條不同直線(xiàn)，是兩個(gè)不同平面，下列命題為真命題的是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則D.若，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，若，則或，故A正確；對(duì)于B，若，則或，故B正確；對(duì)于C，若，則平行或相交或異面，故C不正確；對(duì)于D，若，當(dāng)，則，故D不正確.故選：AB.10.有以下說(shuō)法，其中錯(cuò)誤的是（）A.互斥的事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件B.互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件C.事件與事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大D.事件與事件同時(shí)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小【答案】ACD【解析】對(duì)于AB，投一枚骰子，事件表示擲出的點(diǎn)數(shù)為2，事件表出的點(diǎn)數(shù)為3，則事件和互斥，但不是對(duì)立事件，互為對(duì)立的事件一定互斥，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)事件和互斥時(shí)，事件和事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率與和中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等，他們都等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，考慮投擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)，樣本空間為，記事件，事件，則事件和同時(shí)發(fā)生的概率，和恰好有一個(gè)發(fā)生的概率為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11.某四面體的棱中恰好有一條的長(zhǎng)度大于2，則此四面體的體積可能是（）A. B. C.1 D.2【答案】ABC【解析】設(shè)四面體，棱，而其余每條棱長(zhǎng)都小于等于2，設(shè)到底面的高為，在中，到的距離為，則.若是的高，則中有一條的長(zhǎng)度，（設(shè)的長(zhǎng)為）.于是，從而.類(lèi)似的，在中，點(diǎn)到的距離小于等于，所以.所以，故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的最大值是_________．【答案】6【解析】設(shè)，則，則，即復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到的距離為1，又表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，結(jié)合圖像可知：最大值為原點(diǎn)到的距離加1，即.13.如圖，在梯形中，，且，若是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，則，設(shè)，則（其中），，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)取得最大值21.14.已知圓和直線(xiàn)，折線(xiàn)，若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________；若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意可知：圓可化為表示圓心為，半徑為的圓，故，若與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則，解得；法一，因?yàn)榕c均關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，注意到與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于與在內(nèi)只有1個(gè)公共點(diǎn)，且不過(guò)，此時(shí)，聯(lián)立方程，消去得，即關(guān)于方程在僅有一解，且解不為2，則，或，或，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.法二，因?yàn)榕c均關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，注意到與直線(xiàn)的交點(diǎn)為，若與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于與在內(nèi)只有1個(gè)公共點(diǎn)，且不過(guò)，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在三角形中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長(zhǎng).解：（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因?yàn)?，所以，因此，所以，所?（2）由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長(zhǎng)為.16.在如圖所示的四棱錐中，底面是梯形，且面，為的中點(diǎn).（1）若，證明：平面；（2）已知，斜線(xiàn)和平面所成角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，可知，在中，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：由題意可知：平面，所以是斜線(xiàn)在平面上的射影，即為和平面所成的角，中，，所以.又因?yàn)?，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。粡亩芍?，所以平面和平面的夾角的余弦值為.17.已知橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓上?下頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）.證明直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出該值.解：（1）根據(jù)題意可得：，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓的交點(diǎn)不與重合，可知直線(xiàn)的斜率存在，且直線(xiàn)與橢圓必相交，可設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，因?yàn)?，可得直線(xiàn)，直線(xiàn)，所以.，即，解得，所以直線(xiàn)的交點(diǎn)在直線(xiàn)上.18.某校藝術(shù)團(tuán)共有人，男生與女生的比例是.為了解藝術(shù)團(tuán)全體學(xué)生的身高，按性別比例進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取樣本量為的樣本，并觀測(cè)樣本身高數(shù)據(jù)（單位：）.已知男生樣本的身高平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：抽取次序身高記抽取的第個(gè)女生的身高為，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.（1）用女生樣本的身高頻率分布情況估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體的身高頻率分布情況，試估計(jì)藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；（2）用總樣本的平均數(shù)和方差估計(jì)藝術(shù)團(tuán)總體身高的平均數(shù)和方差，求的值；（3）若女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱(chēng)為偏離值，剔除偏離值后，計(jì)算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.（其中，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.）【參考數(shù)據(jù)：，，.】解：（1）在女生樣本中，身高在的頻率，藝術(shù)團(tuán)女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為人.（2）由題意知：男生樣本的身高平均數(shù)為，方差為，女生樣本的身高平均數(shù)為，方差，則總樣本平均數(shù)為，方差為，，.（3）由題意知：，由樣本數(shù)據(jù)可知：，為偏離值，剔除后，女生樣本的身高平均數(shù)為，由得：，則剔除后，女生樣本的身高的方差為.19.球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對(duì)于半徑為的球，過(guò)球面上一點(diǎn)作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點(diǎn)稱(chēng)為球面角的頂點(diǎn)，大圓弧稱(chēng)為球面角的邊.不在同一大圓上的三點(diǎn)，可以得到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱(chēng)為球面，這三條劣弧稱(chēng)為球面的邊，三點(diǎn)稱(chēng)為球面的頂點(diǎn)；三個(gè)球面角稱(chēng)為球面的三個(gè)內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個(gè)大圓上的三點(diǎn).（1）球面的三條邊相等（稱(chēng)為等邊球面三角形），若，請(qǐng)直接寫(xiě)出球面的內(nèi)角和（無(wú)需證明）；（2）與二面角類(lèi)比，我們稱(chēng)從點(diǎn)出發(fā)的三條射線(xiàn)組成的圖形為三面角，記為.其中點(diǎn)稱(chēng)為三面角的頂點(diǎn)，稱(chēng)為它的棱，稱(chēng)為它的面角.若三面角的三個(gè)面角的余弦值分別為.①求球面的三個(gè)內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.解：（1）由可知在兩個(gè)互相垂直（即交點(diǎn)處切線(xiàn)垂直）的大圓上，從而，故，設(shè)，則，從而，注意到到直線(xiàn)的距離均為，故，所以由知，所以，即，這得到，從而，又在兩個(gè)互相垂直的大圓上，故，從而兩兩垂直，從而由在平面內(nèi)交于點(diǎn)，可知垂直于平面，而在平面和平面內(nèi)，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三個(gè)平面兩兩垂直，故由球面角的定義知，所以球面的內(nèi)角和是.（2）①由已知條件，可設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則，不妨設(shè)，設(shè)，則由可知；；，故，不妨設(shè)，則，所以有，設(shè)平面的法向量