10.2等腰三角形

素養(yǎng)目標(biāo)1.掌握等腰三角形的性質(zhì)定理：“等邊對(duì)等角”及“三線合一”；掌握等腰三角形的判定定理：“等角對(duì)等邊”，并會(huì)證明它們；2.借助輔助線來(lái)證明等腰三角形的性質(zhì)和判定。知識(shí)喚醒：ABC腰腰底底角頂角等腰三角形的概念導(dǎo)入新課：AC動(dòng)手折一折你發(fā)現(xiàn)了什么？已知：求證：ABC發(fā)現(xiàn)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等你能想到哪些證明思路？組內(nèi)交流條件和結(jié)論？在△ABC中，AB=AC∠B=∠C探究新知：AB=ACBD＝CDAD=ADABC已知：如圖，在△ABC中，AB=AC；求證：∠B＝∠CD(SSS)∴∠B＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在△ABD和△ACD中證法1：取底邊的中點(diǎn)D，連接AD，則BD＝CD.探究新知：AB=AC∠BAD＝∠CADAD=ADABC證法2：作頂角的平分線AD，則∠BAD＝∠CAD.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC；求證：∠B＝∠CD(SAS)∴∠B＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在△ABD和△ACD中探究新知：如圖，先自己折紙觀察探索并寫(xiě)出等腰三角形的性質(zhì)，然后再小組交流，互相彌補(bǔ)不足。→→DCBADCBAD（C）BA等腰三角形的性質(zhì)你能利用已有的公理和定理證明這個(gè)結(jié)論嗎?推進(jìn)新課

(1)△ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形折痕所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸找發(fā)現(xiàn)把你剪出的△ABC沿折痕AD對(duì)折找出其中重合的線段或重合的角，填入下表：重合的線段重合的角AB=AC∠B=∠CAD=AD∠BAD=∠CADBD=DC∠BDA=∠CDAABCD等腰三角形的兩個(gè)底角相等AD是頂角的平分線AD是底邊上的高AD是底邊上的中線找發(fā)現(xiàn)ABCD猜想1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等猜想2:等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=

C.猜想1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等分析：1、如何證明兩個(gè)角相等？2、如何構(gòu)造全等三角形？ABC已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=

C.證明：

作底邊高線AD，則∠BDA=∠ADC=90°.∴

△BAD≌

△CAD(HL)∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)AB=AC(已知)AD=AD(公共邊)在Rt△BAD和Rt△CAD中ABCD已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=

C.證明：

作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.∴

△BAD≌

△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(已作)AD=AD(公共邊)在△BAD和△CAD中ABCD已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=

C.證明：

作底邊中線AD，則BD=CD∴

△BAD≌

△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)AB=AC(已知)BD=CD(已作)AD=AD(公共邊)在△BAD和△CAD中ABCD等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）.性質(zhì)一必須是在同一個(gè)三角形中符合語(yǔ)言：如圖，在△ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C.1.求下列各等腰三角形中未知角的度數(shù)。2.已知等腰三角形的一個(gè)角為50°，則另兩個(gè)角為多少度？如果把50°的角改為100°呢？72°72°30°即時(shí)訓(xùn)練2.已知等腰三角形的一個(gè)角為50°，則另兩個(gè)角為多少度？如果把50°的角改為100°呢？3.若等腰三角形的周長(zhǎng)為13，其中一邊長(zhǎng)為5，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為_(kāi)__________。3或54.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是________175.如圖,在△ABC中,AB=AC。（1）若∠A=40°,則∠C等于多少度？（2）若∠B=72°,則∠A等于多少度？ABC解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°∴∠B+∠C=140°∴∠C=70°（2）∵∠B=72°∴∠C=72°∴∠B+∠C=144°∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=36°想一想在右圖中,線段AD還具有怎樣的性質(zhì)?為什么?由此你能得到什么結(jié)論?AD是頂角的平分線AD是底邊上的中線AD是底邊上的高線合作探究2想一想定理:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(三線合一)12符號(hào)語(yǔ)言：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=CD，AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，BD=CD（已知）∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（三線合一）∵AB=AC，AD⊥BC（已知）∴BD=CD，∠BAD=∠CAD（三線合一）前面已經(jīng)證明了“等邊對(duì)等角”，反過(guò)來(lái)，“等角對(duì)等邊”嗎？即有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎？等腰三角形的判定合作探究3已知:如圖，在△ABC中，∠B＝∠C.求證:AB=AC.∵∠B=∠C∠ADB=∠ADCAD=AD證明：∴△ABD≌△ACD(ASA)∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）證法一：在△ABD和△ACD中過(guò)點(diǎn)A作△ABC的高，則∠ADB=∠ADC=90°已知:如圖，在△ABC中，∠B＝∠C.求證:AB=AC.∵∠B=∠C∠BAD=∠CADAD=AD證明：∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）證法二：在△ABD和△ACD中作頂角的平分線AD，則∠DAB=∠CAD12定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊）符號(hào)語(yǔ)言：如圖：在△ABC中∵∠B＝∠C（已知）∴AB=AC（等角對(duì)等邊）1.兩個(gè)等腰三角形的頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。ABCA′B′C′即時(shí)訓(xùn)練2、

如圖,在△ABD中,C是BD上的一點(diǎn)，AC⊥BD，AC=BC=CD，（1）求證：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度數(shù)。ABCD即時(shí)訓(xùn)練3.下列說(shuō)法中，正確的有（）①等腰三角形的底角一定是銳角；②等腰三角形的角平分線、中線和高都相等；③等腰三角形的兩腰相等；④等腰三角形的兩底角相等；A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)D4.如圖，在△ABC中，AB=AC，且D為BC上一點(diǎn)，CD=AD，AB=BD，則∠B的度數(shù)為（）A.30°B.36°C.40°D.45°B6.已知等腰三角形的一個(gè)外角為70°，則這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為_(kāi)___________________110°、35°、35°6.已知等腰三角形的一個(gè)角為40°，則其它兩個(gè)角分別為_(kāi)__________70°、70°或40°、100°即時(shí)訓(xùn)練7.如圖，△ABC中，AB=