第三章§1~§2

【數(shù)學(xué)建模活動介紹】數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.模型是實物、過程的表示形式,是人們認識事物的一種概念框架,也就是用某種形式來近似地描述或模擬所研究的對象或過程.模型可以分為具體模型和抽象模型兩類,數(shù)學(xué)模型就是抽象模型的一種.一般地說,數(shù)學(xué)模型可以描述為對于現(xiàn)實世界的一個特定對象,為了一個特定目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,作出一些必要的簡化假設(shè),運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).【數(shù)學(xué)建模的一般步驟】建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式,通常與問題性質(zhì)、建模目的等有關(guān).下面介紹的是機理分析方法建模的一般過程,如圖所示.【建模案例】建筑物高度的測量【試題】師生嘗試測量一幢學(xué)校教學(xué)樓的高度,要求不能爬到樓頂去測量,要通過所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行測量與計算;三人一組,分工討論,提出測算方案,分工合作完成測量,及時記錄好測量數(shù)據(jù)并減小誤差;不限定任何測算方法、工具;允許各組組內(nèi)分工準(zhǔn)備相應(yīng)的測量工具(可以自制一些簡單的測量工具),相互合作、組內(nèi)討論或通過互聯(lián)網(wǎng)查閱相關(guān)資料.【模型準(zhǔn)備】(1)查閱相關(guān)文獻、資料和書籍,尋找合適測量方法.(2)結(jié)合數(shù)學(xué)知識,建立數(shù)學(xué)模型,并進行數(shù)學(xué)運算,求解模型.(3)準(zhǔn)備測量工具.【模型假設(shè)】假設(shè)測量工具的精度符合要求.【模型建立與求解】方法1:(如圖①所示)圖①“樓與人”的測量依據(jù)和方法.教學(xué)樓是實物,有實際高度、有影子長度;人有高度,同樣是實物,也有影長,測出人的身高、影長和教學(xué)樓的影長,列出比例式就可以算出教學(xué)樓的高度.AB是教學(xué)樓的高度(未知),DE是一位同學(xué)的身高,為1.64米,EF表示該同學(xué)的影長為1.95米,并量得教學(xué)樓的影長BC為13.6米,算出教學(xué)樓的高度AB約為11.44米.方法2:(如圖②所示)圖②“樓與竹竿”的測量依據(jù)和方法.原理和方法1差不多,用事先準(zhǔn)備好的竹竿,在教學(xué)樓的影子上來回移動竹竿,直到看到竹竿的影子的頂端與教學(xué)樓影子的頂端重合.量出竹竿長DE為2.0米,竹竿影子長EC為2.39米,教學(xué)樓影子長BC為14.42米,列出比例式計算出教學(xué)樓的高度約為12.07米.方法3:(如圖③所示)圖③“光的反射原理”測量依據(jù)和方法.根據(jù)光的反射原理,學(xué)生在離教學(xué)樓一段距離的地面上放一面鏡子,然后人前后移動,直到在鏡子里看到教學(xué)樓頂端.量出教學(xué)樓到鏡子的距離BC為16.3米,學(xué)生到鏡子的距離CE為2.07米,該學(xué)生的眼睛到地面的高度DE為1.49米,算出教學(xué)樓的高度約為11.73米.方法4:(如圖④所示)圖④“樓、人眼與標(biāo)桿”的測量依據(jù)和方法.該測量方法是在教學(xué)樓和一位同學(xué)之間放一標(biāo)桿,人前后移動,使眼睛、標(biāo)桿頂端和教學(xué)樓頂端三點共線,量出DE高為0.84米,GE長為2.11米,GC長為28.51米,人的眼睛到地面的高度GH為1.54米,算出教學(xué)樓的高度約為12.89米.其他方法:還有同學(xué)提出用解直角三角形的方法測算出教學(xué)樓的高度,但是在實際的測量過程當(dāng)中,地面和視線的夾角難得到60°,45°,30°的準(zhǔn)確值.【模型分析】同學(xué)們求解的結(jié)果各不相同,下面進一步分析產(chǎn)生這種結(jié)果的原因:(1)測量誤差:學(xué)生自制的測量工具較為粗糙,測量不夠準(zhǔn)確.另外,學(xué)生利用測量工具測出的數(shù)據(jù)會有測量誤差.(2)間距差的問題:如果間距差的值選定較小,兩次測量的角度差就會很小,將會導(dǎo)致計算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差.(3)高度選取不對:存在部分學(xué)生用“身高”代替“眼高”,導(dǎo)致誤差較大.【模型檢驗與應(yīng)用】根據(jù)建筑物的實際高度和測量高度進行比較,即可得知采用的測量方法是否合適.利用測量學(xué)校教學(xué)樓的方法還可以測量一些其他建筑物或旗桿的高度,為今后學(xué)生測量其他物品提供了參考依據(jù)和理論基礎(chǔ).【數(shù)學(xué)建模論文的寫作方法】數(shù)學(xué)建模論文的組成部分一、題目題目是一篇文章的身份證,一篇文章的第一印象來自其題目.題目中應(yīng)該包含的信息:1.論文研究什么問題.2.大致用什么方法或什么模型(最好突出自己創(chuàng)新的部分).3.一個推薦的題目形式:《基于**理論(模型、算法、方案)的**問題的求解》二、摘要摘要是一篇文章的靈魂,看完摘要,一篇文章的研究對象、研究思路、創(chuàng)新點、實踐情況、最終結(jié)果和自我評價等內(nèi)容都應(yīng)當(dāng)十分清楚.摘要結(jié)構(gòu):1.綜述(所求解的問題,對該問題定性,所使用的模型或基本方法).2.創(chuàng)新點闡釋(如果認為自己隊伍做這道題目采用的方法很不尋常或者發(fā)現(xiàn)了一些其他文獻中沒有提到的規(guī)律,在此重點闡釋).3.具體問題的解答(說明在解答中“基于**理論建立了**模型,采用**方法求解,得到了**結(jié)果”).要注意連接,最好不要“第一問:……”,而是“首先,針對第一問中提出的**問題”“然后,第二問在第一問的基礎(chǔ)上引入了**”“接著,將之前的模型進行**改進即可解答第三問”,大約半頁或半頁多一些的篇幅.4.對模型的簡要評價.三、關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞主要是為了在論文檢索時使用,因此此處寫的詞應(yīng)是論文中的核心詞,也可以理解為論文中反復(fù)提到的一些詞.數(shù)學(xué)建模論文中的關(guān)鍵詞一般為3~5個,組成如下:一個重述解決的問題或抽象為理論問題,一個說明使用模型,一個說明算法、創(chuàng)新點或求解方法.四、問題重述問題重述反映對整個問題的理解是否透徹.五、問題分析如果認為自己的想法比較有新意、認為文章偏短或自己的思路在開始寫論文時都不是很清晰,就寫這一部分.這一部分可以讓人較清楚地看到自己的思維過程.六、模型假設(shè)1.模型假設(shè)反映了對問題的理解和建立模型的方向,它是對實際問題必要的、合理的簡化.2.不要假設(shè)題目中明確給出的條件,不要做“假設(shè)題目中所給數(shù)據(jù)屬實”一類的假設(shè).3.只寫在以后的模型中都會或大部分會用到的假設(shè),如果是只針對某一問的假設(shè),可以在相應(yīng)問題的模型建立中提出.七、符號說明1.符號說明從一個側(cè)面反映建模傾向,同時考驗嚴謹程度和語言錘煉能力.2.在此只說明之后大部分模型會使用的符號,個別問題中應(yīng)用的符號可以在相應(yīng)問題的模型建立中重新說明.八、模型建立此處是論文的核心,必須嚴謹對待,主要的公式、理論、模型、圖表都在此給出;應(yīng)占全文一半篇幅,可以采用“問題一模型——模型求解——問題二模型……”的形式,也可以采用“所有模型——各問題的求解結(jié)果”的形式.模型的闡述要注意層次和技巧,一般是:1.首先給予**理論.2.建立**模型.3.對所給式子進行解釋在闡述已有理論的過程中,如果遇到之前沒有學(xué)習(xí)過的理論,則將自己的理解較詳細地闡述.每一個式子都必須解釋,解釋內(nèi)容包括變量含義、基于何種理論、有什么物理意義等.可以視其重要程度和復(fù)雜度有詳有略,但必須解釋.九、模型求解說明求解方法包括以下三種.1.如果求解方程或代數(shù)式,則要說明方程中參數(shù)如何確定,如果方程比較復(fù)雜,還有說明是用什么方法求解的,解的是精確解還是大致走勢.2.如果求解優(yōu)化式子,要說明使用的軟件.3.如果有比較大的程序或使用了比較深的算法,應(yīng)畫程序流程圖.求解結(jié)果是初判建模成果的依據(jù),結(jié)果必須詳細,一般來說要有關(guān)鍵點的準(zhǔn)確數(shù)字、圖形或表格.十、結(jié)果分析這部分主要是將模型求出的結(jié)果運用到實際問題中.1.首先,要根據(jù)實際問題大致分析自己解出的結(jié)果是否合理.2.然后,對當(dāng)前現(xiàn)實中的現(xiàn)象做出評價.3.最后,根據(jù)模型和結(jié)果對實際問題提出建議.十一、模型評價模型評價是自己在建模和求解過程中對自己所建模型的看法,應(yīng)包括優(yōu)點和缺點.一般從求解速度、準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性等方面進行評價.在寫缺點時可以寫明必要的理由,如硬件要求無法達到等.十二、模型改進這部分基本就按照之前在模型評價中的缺點部分提出相應(yīng)的改進方案.十三、參考文獻必須按照固定的格式書寫.書籍、論文、網(wǎng)站、報告、會議記錄有各自不同的書寫格式.課后練習(xí)1.學(xué)校操場上的國旗桿要更換,要求新旗桿與舊旗桿一樣高.學(xué)校決定把測量舊旗桿高度的任務(wù)交給我們,為了課下順利完成測量任務(wù),請同學(xué)們設(shè)計出一套切實可行的測量方案.解(方法一)在操場上取一點B,用皮尺測出B到旗桿底C的距離BC=a;在點B用測角儀測出旗桿頂A的仰角α.在Rt△ABC中,因為tan

α=,所以AC=BC·tan

α=a·tan

α.(方法二)考慮到測角儀本身有一個高度,因此先量出測角儀的高CD=b,再量出測角儀到旗桿底的距離BD=a,測出點C到旗桿頂A的仰角α.因為四邊形CDBE為矩形,所以BE=CD=b,CE=BD=a,在Rt△AEC中,AE=EC·tan

α.所以AB=AE+EB=b+a·tan

α.(方法三)知道自己的身高EF為c,用皮尺量出旗桿的影長BC=a,和人的影長FD=b.因為△ABC∽△EFD,2.若旗桿的底部不能直接到達,中間隔一條河