第一章4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定4.2單位圓與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.2.會(huì)求任意角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值.3.能結(jié)合單位圓理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì),會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的性質(zhì).4.掌握任意角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一

任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)1.單位圓:以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓.2.單位圓中任意角的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義:給定任意角α,作單位圓,角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(u,v),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v、橫坐標(biāo)u都是唯一確定的.把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v定義為角α的正弦值,記作

v=sinα;把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)u定義為角α的余弦值,記作

u=cosα.正弦v=sinα、余弦u=cosα分別是以角α的大小為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)為函數(shù)值的函數(shù),其定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),其值域?yàn)閷?shí)數(shù)的子集合.單位圓是前提條件

3.設(shè)角α終邊上除原點(diǎn)外的一點(diǎn)Q(x,y),則sinα=,cosα=,其中r=

.

名師點(diǎn)睛對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)定義的理解(1)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是函數(shù),它們滿足函數(shù)的定義,可以看成是從角(弧度制)的集合到一個(gè)比值的集合的對(duì)應(yīng).(2)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是用單位圓來定義的,所以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)是一個(gè)比值,也是一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)實(shí)數(shù)的大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置無關(guān),只由角α的終邊位置決定,即正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的大小只與角有關(guān).思考辨析正弦、余弦函數(shù)值的大小與點(diǎn)P在角α終邊上的位置是否有關(guān)?提示

正弦、余弦函數(shù)值是比值,是一個(gè)實(shí)數(shù),它的大小與點(diǎn)P在終邊上的位置無關(guān),只與角α的終邊位置有關(guān),即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)sinα表示sin與α的乘積.(

)(2)設(shè)角α終邊上的點(diǎn)P(x,y),r=|OP|≠0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則sinα=,且y越大,sinα的值越大.(

)(3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.(

)(4)終邊落在y軸上的角的正弦函數(shù)值為0.(

)××√×2.[人教B版教材例題]已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),求sinα,cosα和tanα.知識(shí)點(diǎn)二

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)根據(jù)正弦函數(shù)v=sinx和余弦函數(shù)u=cosx的定義,不難看出它們具有以下基本性質(zhì):(1)定義域都是

;

(2)最大值都是

,最小值都是

,值域都是

;

(3)它們都是周期函數(shù),其周期都是

,最小正周期都是

;

(4)正弦函數(shù)v=sinx在區(qū)間

上單調(diào)遞增,在區(qū)間

上單調(diào)遞減;余弦函數(shù)u=cosx在區(qū)間______________

上單調(diào)遞增,在區(qū)間

上單調(diào)遞減.

R1-1[-1,1]2kπ(k∈Z,且k≠0)

2π[2kπ-π,2kπ],k∈Z

[2kπ,2kπ+π],k∈Z名師點(diǎn)睛正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值都具有周期性,即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次,這說明了角與正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系是多角對(duì)一值的關(guān)系,即如果給定一個(gè)角,它的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值只要存在就是唯一的;反過來,如果給定一個(gè)正弦函數(shù)值或余弦函數(shù)值,卻有無窮多個(gè)角與之對(duì)應(yīng).思考辨析能否認(rèn)為正弦函數(shù)在單位圓的右半圓是單調(diào)遞增的?提示

不能,右半圓可以表示無數(shù)個(gè)區(qū)間,只能說正弦函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間

自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)對(duì)于任意角α,sinα,cosα都有意義.(

)(2)余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間[0,π]上是減函數(shù).(

)(3)存在實(shí)數(shù)x,使得sinx=-.(

)√√×[0,π]

[-2,1]

知識(shí)點(diǎn)三

正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號(hào)

正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號(hào)是根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)定義和各象限內(nèi)的坐標(biāo)符號(hào)確定的.正弦函數(shù)值的符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y的符號(hào);余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x的符號(hào).正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值在每個(gè)象限的符號(hào)如圖所示.名師點(diǎn)睛

類型第一象限第二象限第三象限第四象限sin

α++--cos

α+--+思考辨析若一個(gè)角的正弦值、余弦值和正切值都是正數(shù),那么這個(gè)角是第幾象限角?提示

第一象限角.自主診斷1.[人教B版教材例題]確定下列各值的符號(hào).解

(1)因?yàn)?60°是第三象限角,所以cos

260°<0.(3)由-672°20'=47°40'+(-2)×360°,可知-672°20'是第一象限角,所以tan(-672°20')>0.2.設(shè)sinθ<0且tanθ>0,確定θ是第幾象限角.解

因?yàn)閟in

θ<0,所以θ的終邊在第三、四象限,或y軸負(fù)半軸上;又因?yàn)閠an

θ>0,所以θ的終邊在第一、三象限.因此滿足sin

θ<0且tan

θ>0的θ是第三象限角.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義求值規(guī)律方法

利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義求一個(gè)角的正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值有以下幾種情況:(1)若已知角,只需確定出該角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),即可求出正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值;(2)若已知角α終邊上一點(diǎn)P(x,y)是單位圓上的點(diǎn),則sin

α=y,cos

α=x;(4)若已知角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù),則需進(jìn)行分類討論.變式訓(xùn)練1(1)在單位圓中,若α=-π,則sinα=

,cosα=

.

0-1解析

由于α=-π,因此角α終邊與單位圓交點(diǎn)是(-1,0).故sin

α=0,cos

α=-1.★(2)已知角α的終邊落在直線

x+y=0上,求sinα,cosα的值.探究點(diǎn)二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號(hào)判斷及應(yīng)用【例2】

設(shè)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上,則函數(shù)

的值域?yàn)?/p>

.

{-2,0,2}

規(guī)律方法

正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的符號(hào)判斷方法一個(gè)角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的符號(hào)取決于這個(gè)角的終邊所在的象限,可用口訣簡(jiǎn)記為“一全正,二正弦,三全負(fù),四余弦”,即第一象限角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值全為正值,第二象限角的正弦函數(shù)值為正值,第三象限角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值全為負(fù)值,第四象限角的余弦函數(shù)值為正值.變式訓(xùn)練2若sinα>0,cosα<0,則角α的終邊所在象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限B解析

因?yàn)閟in

α>0,所以角α的終邊在第一或第二象限或y軸的正半軸上.因?yàn)閏os

α<0,所以角α的終邊在第二或第三象限或x軸的負(fù)半軸上,綜上可知,角α的終邊在第二象限.探究點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域問題【例3】

求下列函數(shù)的定義域:規(guī)律方法

1.求函數(shù)的定義域,就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍,一般通過解不等式或不等式組求得,對(duì)于三角函數(shù)的定義域問題,還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制.2.要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí),可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集.變式訓(xùn)練3函數(shù)y=lg(cosx-)的定義域?yàn)?

)C探究點(diǎn)四正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值、值域問題(2)已知函數(shù)y=asinx+1的最大值為3,求它的最小值.解

當(dāng)a>0時(shí),ymax=a×1+1=3,得a=2,∴當(dāng)sin

x=-1時(shí),ymin=2×(-1)+1=-1;當(dāng)a<0時(shí),ymax=a×(-1)+1=3,得a=-2,∴當(dāng)sin

x=1時(shí),ymin=-2×1+1=-1.綜上,函數(shù)y=asin

x+1的最小值為-1.規(guī)律方法

1.求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域或最值時(shí)應(yīng)注意定義域,解題時(shí)可借助圖象結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析.2.對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)求值域或最值,應(yīng)注意對(duì)參數(shù)分類討論.探究點(diǎn)五正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性問題【例5】

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(1)y=sinx,x∈[-π,π];(2)y=cosx,x∈[-π,π].(2)y=cos

x在x∈[-π,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π,0],單調(diào)遞減區(qū)間為[0,π].規(guī)律方法

利用單位圓有助于理解記憶正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,特別注意不連貫的單調(diào)區(qū)間不能并.D(2)函數(shù)y=sin2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(

)B本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義及求法;(2)正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào);(3)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì).2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的大小只與角的大小有關(guān),與終邊上的點(diǎn)的位置無關(guān);(2)單調(diào)區(qū)間漏寫k∈Z;(3)特殊角函數(shù)值記憶錯(cuò)誤造成三角不等式解集有誤.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.若角α的終邊過點(diǎn)(5,12),則cos