專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練(一)與三角形的高、角平分線有關(guān)的四種模型模型一過(guò)同一頂點(diǎn)的角平分線與高線模型1.(2024河北石家莊期末)如

圖,在△ABC中,AE是角平分線,

AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足為F.(1)求∠CAE的度數(shù).(2)求∠ADF的度數(shù).

解析

(1)∵∠C=40°,∠B=70°,∴∠BAC=70°,∵AE是∠BAC的平分線,∴∠CAE=

∠BAC=35°.(2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∵∠C=40°,∴∠CAD=90°-∠C=50°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,∵DF⊥AE,∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.2.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D.(1)如圖①,若∠C=70°,∠B=30°,則∠DAE=

°.(2)如圖②,F是AE上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G,且∠B

=40°,∠C=80°,求∠EFG的度數(shù).(3)在(2)的條件下,若F點(diǎn)在AE的延長(zhǎng)線上(如圖③),其他條件

不變,則∠EFG的大小會(huì)發(fā)生改變嗎?說(shuō)明理由.解析

(1)20.詳解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=30°,∴∠BAD=90°-∠B=60°,∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=40°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°.(2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,∵∠B=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=30°,∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°.(3)∠EFG的大小不變.理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,由(2)可知∠EAD=20°,∴∠EFG=20°,大小不變.模型二兩內(nèi)角平分線模型3.如圖,在△ABC中,點(diǎn)P是∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn).(1)若∠A=80°,求∠BPC的度數(shù).(2)有位同學(xué)在解答(1)后得出∠BPC=90°+

∠A的規(guī)律,你認(rèn)為正確嗎?請(qǐng)給出理由.解析

(1)∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線,∴∠PBC+∠PCB=

(∠ABC+∠ACB)=

(180°-∠A)=

×(180°-80°)=50°,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-50°=130°.(2)正確.理由如下:∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACB的平分線,∴∠PBC+∠PCB=

(∠ABC+∠ACB)=

(180°-∠A)=90°-

∠A,∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-

=90°+

∠A.4.如圖,在△ABC中,∠A=84°,點(diǎn)O是∠ABC、∠ACB的平分線

的交點(diǎn),點(diǎn)P是∠BOC、∠OCB的平分線的交點(diǎn),若∠P=100°,

求∠ACB的度數(shù).

解析∵點(diǎn)P是∠BOC、∠OCB的平分線的交點(diǎn),∴∠BCP=∠PCO,∠BOP=∠COP,設(shè)∠BCP=∠PCO=x,∠BOP=∠COP=y,∵∠P=100°,∴∠PCO+∠COP=x+y=80°,∴∠OCB+∠BOC=2x+2y=160°,∴∠OBC=180°-160°=20°,∵BO平分∠ABC,∴∠ABC=2∠OBC=40°,∵∠A=84°,∴∠ACB=180°-40°-84°=56°.模型三內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€模型5.(新考向·規(guī)律探究試題)如圖1,在△ABC中,BA1平分∠ABC,

CA1平分∠ACD,BA1、CA1相交于點(diǎn)A1.(1)若∠A1=30°,求∠A的度數(shù).(2)求證:∠A1=

∠A.(3)如圖2,繼續(xù)作∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2,得∠A2;作∠A2BC和∠A2CD的平分線交于點(diǎn)A3,得∠A3;……,依次得

到∠A2024,若∠A=α,則∠A2024=

.圖1

圖2解析

(1)∵BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD,∴∠ABC=2∠A1BC,∠ACD=2∠A1CD,在△ABC中,∠ACD=∠A+∠ABC,在△A1BC中,∠A1CD=∠A1+∠A1BC,∴∠A+∠ABC=2(∠A1+∠A1BC),整理得∠A=2∠A1,∵∠A1=30°,∴∠A=60°.(2)證明:由(1)可知∠A=2∠A1,∴∠A1=

∠A.(3)

.詳解:由(2)得∠A1=

∠A,同理可得,∠A2=

∠A1=

∠A,∠A3=

∠A,……,∠An=

∠A,∵∠A=α,∴∠A2024=

.6.如圖,已知BE是△ABC的角平分線,CP是△ABC的外角∠ACD的平分線,延長(zhǎng)BE,BA分別交CP于點(diǎn)F,P.(1)小智同學(xué)探究后提出等式:∠BAC=∠ABC+∠P,請(qǐng)通過(guò)推

理演算判斷小智的發(fā)現(xiàn)是否正確.(2)若2∠BEC-∠P=180°,求∠ACB的度數(shù).

解析

(1)∵CP是∠ACD的平分線,∴∠ACD=2∠PCD,∵BF是∠ABC的平分線,∴∠ABC=2∠FBC,∵∠ACD=∠ABC+∠BAC,∠PCD=∠FBC+∠BFC,∴∠ABC+∠BAC=2(∠FBC+∠BFC),∵∠ABC=2∠FBC,∴∠BAC=2∠BFC.∵∠BFC=∠PBF+∠P=

∠ABC+∠P,∴∠BAC=2×

=∠ABC+2∠P,∴小智的發(fā)現(xiàn)是錯(cuò)誤的.(2)∵∠BEC=∠ABE+∠BAC=

∠ABC+∠BAC,∠BAC=∠ACP+∠P,∴∠BEC=

∠ABC+∠ACP+∠P=

∠ABC+∠PCD+∠P,由(1)可知∠BAC=2∠BFC,∵∠PCD=∠FBC+∠BFC=

∠ABC+∠BFC,∴∠BEC=

∠ABC+

∠ABC+

∠BAC+∠P=∠ABC+

∠BAC+∠P,∵2∠BEC-∠P=180°,∴∠BEC=90°+

∠P,∴90°+

∠P=∠ABC+

∠BAC+∠P,∴180°+∠P=2∠ABC+∠BAC+2∠P,∵∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB,∴180°=∠ABC+∠P+180°-∠ACB,∴∠ACB=∠ABC+∠P=∠PCD=∠ACP,∵∠ACB+∠ACP+∠PCD=180°,∴∠ACB=60°.模型四兩外角平分線模型7.如圖,在△ABC中,∠B=46°,△ABC的外角∠DAC和∠ACF

的平分線交于點(diǎn)E,則∠AEC=

.

67°解析∵∠B=46°,∴∠BAC+∠BCA=180°-46°=134°,∴∠DAC+∠ACF=180°-∠BAC+180°-∠BCA=360°-134°=226°,∵AE和CE分別平分∠DAC和∠ACF,∴∠EAC=

∠DAC,∠ECA=

∠ACF,∴∠EAC+∠ECA=

(∠DAC+∠ACF)=113°,∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-113°=67°.8.如圖,在△ABC中,BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分

線,BP、CP分別是∠EBC、∠FCB的平分線.(1)當(dāng)∠ABC=64°,∠ACB=66°時(shí),∠D=

°,∠P=

°.(2)當(dāng)∠A=56°時(shí),求∠D、∠P的度數(shù).(3)當(dāng)∠A的大小發(fā)生變化時(shí),∠D+∠P的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析

(1)115;65.詳解:∵BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線,∠ABC=64°,∠ACB=66°,∴∠DBC=

∠ABC=32°,∠DCB=

∠ACB=33°,∠EBC=116°,∠FCB=114°,∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=115°.∵BP、CP分別是∠EBC、∠FCB的平分線,∴∠CBP=

∠EBC=58°,∠BCP=

∠FCB=57°,∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°.(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∵BD、CD分別是∠ABC、∠ACB的平分線,∴∠DBC=

∠ABC,∠DCB=

∠ACB,∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-

(∠ABC+∠ACB)=180°-

(180°-∠A)=90°+

∠A,∵∠A=56°,∴∠D=90°+

×56°=118°.∵BP、CP分別是∠EBC、∠FCB的平分線,∴∠CBP+∠BCP=

∠EBC+

∠FCB=

(∠