2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（立體幾何突破，題型解析）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：2x+y+z-6=0的距離是（）A.1B.√3C.√2D.22.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影是（）A.直線y+z=0B.直線x+y=0C.直線y-z=0D.直線x+z=03.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的底面半徑是（）A.1B.√2C.2D.π4.在三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面ABC是邊長為2的正三角形，且側(cè)面A1AB垂直于底面ABC，則點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離是（）A.1B.√2C.√3D.25.已知點(diǎn)P在平面α內(nèi)，且點(diǎn)P到平面β的距離為3，若平面α與平面β的夾角為30°，則點(diǎn)P到平面β的距離是（）A.1.5B.3C.√3D.66.若一個(gè)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，則該長方體的對角線長是（）A.√14B.√15C.√16D.√177.已知一個(gè)球的半徑為3，球心到平面α的距離為1，則該球與平面α的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.內(nèi)含8.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥底面ABCD，若PD與BC所成的角為45°，則PD的長度是（）A.1B.√2C.√3D.29.已知一個(gè)圓錐的軸截面是等腰直角三角形，且底面半徑為1，則該圓錐的側(cè)面積是（）A.πB.2πC.√2πD.4π10.在三棱錐P-ABC中，若PA⊥底面ABC，且∠ABC=90°，BC=2，AC=√3，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是（）A.1B.√2C.√3D.2二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分。）11.已知一個(gè)球的半徑為2，球心到平面α的距離為1，則該球與平面α所成的二面角的大小是_________。12.在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，且側(cè)面A1AB垂直于底面ABC，若點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為1，則三棱柱ABC-A1B1C1的高是_________。13.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是_________。14.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA⊥底面ABCD，PD與BC所成的角為45°，則四棱錐P-ABCD的體積是_________。15.已知一個(gè)球的半徑為3，球心到平面α的距離為1，則該球與平面α的位置關(guān)系是_________。（注：以上題目僅供參考，具體題目可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。）三、解答題（本大題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.（本小題滿分15分）在五棱錐P-ABCDE中，底面ABCDE是邊長為1的正五邊形，PA⊥底面ABCDE，且PA=2，F(xiàn)是棱PC的中點(diǎn)。（1）求證：平面PAB⊥平面PCB；（2）求三棱錐P-ABC的體積；（3）求點(diǎn)F到平面PAB的距離。17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PA⊥平面ABCD，PD與BC所成的角為60°，且PD=√3。（1）求證：AD⊥PC；（2）求二面角A-PD-C的大??；（3）求四棱錐P-ABCD的體積。18.（本小題滿分15分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，AA1=3，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱BB1的中點(diǎn)。（1）求證：平面A1EF⊥平面B1BC；（2）求三棱錐D-A1EF的體積；（3）求點(diǎn)D到平面A1EF的距離。19.（本小題滿分15分）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1，母線與底面所成的角為60°，一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面圓心在圓錐的底面上，且圓柱的底面半徑為r。（1）求證：圓柱的高為√3r；（2）當(dāng)r取何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求最大體積；（3）求此時(shí)圓錐與圓柱的全面積之比。20.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥底面ABCD，PD與BC所成的角為45°，且PC=√6。（1）求證：AD⊥PC；（2）求二面角P-BC-D的大??；（3）求四棱錐P-ABCD的體積。四、證明題（本大題共2小題，共25分。）21.（本小題滿分10分）在六棱錐P-ABCDEF中，底面ABCDEF是正六邊形，PA⊥底面ABCDEF，且PA=1，AD與BC所成的角為60°，求證：平面PAD⊥平面PBC。22.（本小題滿分15分）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PA⊥平面ABCD，PD與BC所成的角為60°，且PD=√3，求證：AD⊥PC。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.D解析：點(diǎn)A(1,2,3)到平面π：2x+y+z-6=0的距離d可以用點(diǎn)到平面距離公式計(jì)算：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A2+B2+C2)，代入點(diǎn)A和平面方程得d=|2*1+1*2+1*3-6|/√(22+12+12)=|2+2+3-6|/√6=12.A解析：直線l：x=1在平面α：x+y+z=1上的投影是過直線l且垂直于平面α的直線，投影方程為聯(lián)立x=1和x+y+z=1得y+z=03.A解析：圓錐側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐母線l=2，底面周長C=2πr=2π，解得r=14.C解析：點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離等于A1到BC中點(diǎn)E的距離，E為AC中點(diǎn)，AE=√3，A1E⊥平面ABC，A1E=2，用勾股定理得A1E=√(AE2+A1E2)=√(12+22)=√35.B解析：點(diǎn)P到平面β的距離是3，平面α與β夾角30°，用余弦定理計(jì)算PP'=3*cos30°=3*√3/2=36.C解析：長方體對角線長√(32+22+12)=√147.B解析：球半徑3，球心到平面距離1，球與平面相切的條件是球心到平面距離等于半徑，所以相切8.B解析：設(shè)PD=√2，PD與BC所成角45°，在直角三角形PDB中，∠PBD=45°，PB=2，PD=√2*PB=√2*2=√29.A解析：軸截面等腰直角三角形，底面半徑1，母線l=√(r2+h2)=√(12+h2)=√2，側(cè)面積πrl=π*1*√2=π10.A解析：點(diǎn)P到平面ABC距離即PA在平面ABC上的投影長度，∠ABC=90°，BC=2，AC=√3，AB=√(BC2+AC2)=√(22+√32)=√7，PA⊥平面ABC，P到平面距離為PA投影長度=AB/√2=√2二、填空題答案及解析11.60°解析：球心到平面距離1小于半徑2，球與平面相交，二面角等于該平面與球心垂線夾角，cosθ=1/2，θ=60°12.√2解析：三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面A1AB垂直底面ABC，A1到底面距離即為三棱柱高，設(shè)A1D⊥BC，D為BC中點(diǎn)，AD=√3，A1D⊥平面ABC，A1D=1，A1D2+AD2=A1A2，A1A=√(12+√32)=2，三棱柱高√213.7π解析：圓錐側(cè)面展開圖半徑2半圓，側(cè)面積π*22/2=2π，底面積π*12=π，全面積2π+π=3π14.√2解析：四棱錐P-ABCD體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*2*1*√2=√215.相切解析：球半徑3，球心到平面距離1，球與平面相切的條件是球心到平面距離等于半徑，所以相切三、解答題答案及解析16.解析：(1)證明：在正五邊形ABCDE中，∠B=108°，∠BCA=∠BCB=36°，AB⊥BC，AB⊥PC，AB⊥平面PCB，又AB?平面PAB，平面PAB⊥平面PCB(2)體積：三棱錐P-ABC底面積S△ABC=(1/2)*2*sin36°，高PA=2，V=(1/3)*S*PA≈1.15(3)點(diǎn)F到平面PAB距離等于F到BC中點(diǎn)G的距離，F(xiàn)G⊥平面PAB，F(xiàn)G=√2/217.解析：(1)證明：PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AD⊥平面PAB，AD⊥PD，AD⊥PC(2)設(shè)∠PDA=60°，∠ADP=30°，DP=√3，AD=2，PD=√3，cos∠APD=(AP2+DP2-AD2)/(2*AP*DP)，得∠APD=90°，二面角A-PD-C為∠APD=90°(3)V=(1/3)*2*1*√3≈1.1518.解析：(1)證明：BB1⊥平面BCC1B1，A1B1⊥BB1，A1E⊥BC，A1E⊥平面B1BC(2)體積：三棱錐D-A1EF底面積S△AEF=(1/2)*1*√2，高AA1=3，V=(1/3)*S*AA1≈1.15(3)點(diǎn)D到平面A1EF距離等于D到E的距離，DE=√519.解析：(1)證明：圓錐母線l=2π/2=π，l=√(r2+h2)，h=√(l2-r2)=√(π2-r2)(2)圓柱體積V=πr2h=πr2√(π2-r2)，求導(dǎo)得r=π/√3，Vmax=ππ2/3√3≈9.42(3)圓錐全面積πr(r+√(r2+h2))，圓柱全面積2πrh+πr2，面積比=(πr(r+π)):(2πr√(π2-r2)+πr2)≈0.7120.解析：(1)證明：AD⊥BC，AD⊥平面BCDP，AD⊥PD，PD=PC，PD⊥BC，PD⊥PC(2)設(shè)∠PDB=45°，∠PDC=45°，BC=2，PC=√6，cos∠PBC=(PB2+BC2-PC2)/(2*PB*BC)，得∠PBC=60°，二面角P-BC-D=∠PBC=60°(3)V=(1/3)*2*2*