2025年高考數(shù)學(xué)模擬檢測卷（新高考題型專項(xiàng)測試題庫）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)-cos(x)的圖像關(guān)于哪個(gè)點(diǎn)對稱？A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/2,0)D.(2π/3,0)2.已知函數(shù)g(x)=ax^2+bx+c在x=1時(shí)取得極值，且其圖像過點(diǎn)(0,1)，那么b的值是多少？A.-2B.-1C.1D.23.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC的長度為6，那么邊AB的長度是多少？A.3√2B.3√3C.6√2D.6√34.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0}，集合B={x|1<x<4}，那么集合A∩B等于什么？A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x|1<x<3}D.{x|3<x<4}5.若復(fù)數(shù)z=1+i，那么z^3的值是多少？A.-2+2iB.-2-2iC.2+2iD.2-2i6.拋擲兩個(gè)公平的六面骰子，記事件M為“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7”，事件N為“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，那么P(M∪N)等于多少？A.1/6B.1/12C.5/36D.7/367.已知直線l的方程為y=kx+b，且l與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，那么k的取值范圍是什么？A.k=±√5B.k=±2C.k=±√15D.k=±38.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_4=7，那么a_10的值是多少？A.12B.13C.14D.159.已知函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時(shí)極限存在且為-∞，那么a的取值范圍是什么？A.0<a<1B.a>1C.a=1D.a∈R10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)在拋物線y^2=2px上運(yùn)動(dòng)，那么點(diǎn)P到直線x=-p的距離的最小值是多少？A.p/2B.pC.2pD.3p二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。）11.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1時(shí)取得極值，那么a的值是多少？12.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊BC的長度為4，那么邊AC的長度是多少？13.已知集合A={x|x^2-4x+3<0}，集合B={x|2<x<5}，那么集合A∪B等于什么？14.若復(fù)數(shù)z=2+3i，那么|z|^2的值是多少？15.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=3，b_3=12，那么b_5的值是多少？三、解答題（本大題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）16.已知函數(shù)f(x)=x^2-2ax+2在x=1時(shí)取得最小值，且f(2)=4。（1）求a的值；（2）判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。17.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2=b^2+c^2-bc。（1）求角A的大??；（2）若b=2，c=3，求△ABC的面積。18.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_1=1，a_n=3a_{n-1}+2（n≥2）。（1）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的通項(xiàng)公式。19.在直角坐標(biāo)系中，直線l1的方程為y=x+1，直線l2的方程為y=-2x+b。（1）若直線l1與l2相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為√5，求b的值；（2）若直線l2過點(diǎn)A(1,-3)，求直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)。20.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax+1，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)。（1）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)；（2）若函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得極值，求a的值，并判斷該極值是極大值還是極小值；（3）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）21.已知數(shù)列{b_n}滿足b_1=2，b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n}（n∈N*）。求證：數(shù)列{b_n}單調(diào)遞增。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共10分。）22.某城市為了緩解交通壓力，計(jì)劃修建一條從市中心（記為點(diǎn)O）到郊區(qū)某處（記為點(diǎn)D）的地鐵線路。市中心O到郊區(qū)D的距離為10公里，且OD的方向與南北方向的夾角為30°。假設(shè)地鐵線路沿直線修建，且在修建過程中，每公里需要投入資金100萬元。由于地理原因，地鐵線路在距離O點(diǎn)2公里處需要繞過一座小山，繞行部分的線路長度比直線段多1公里。（1）求地鐵線路的總長度；（2）若地鐵線路的總投資為800萬元，求每公里平均投資是多少萬元？本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.D解析：函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)-cos(x)可以化簡為f(x)=√3/2sin(x)+1/2sin(x)-cos(x)=√3/2sin(x)-1/2cos(x)=sin(x-π/6)。sin函數(shù)的圖像關(guān)于(π/2+kπ,0)（k∈Z）對稱，所以sin(x-π/6)的圖像關(guān)于(2π/3+kπ,0)（k∈Z）對稱，當(dāng)k=0時(shí)，對稱點(diǎn)為(2π/3,0)。2.A解析：函數(shù)g(x)=ax^2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為g'(x)=2ax+b。由題意知，g(x)在x=1時(shí)取得極值，所以g'(1)=2a+b=0，即b=-2a。又因?yàn)間(x)的圖像過點(diǎn)(0,1)，所以c=1。將b=-2a代入g(x)得到g(x)=ax^2-2ax+1，代入x=1得到g(1)=a-2a+1=-a+1。由于g(1)是極值，所以a=1，從而b=-2。3.B解析：根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。由題意知，A=60°，B=45°，BC=6，所以a/sin60°=6/sin45°，即a/(√3/2)=6/(√2/2)，解得a=3√2。4.B解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}可以分解為(x-1)(x-2)>0，解得x<1或x>2。集合B={x|1<x<4}。所以A∩B={x|2<x<4}。5.A解析：z^3=(1+i)^3=1^3+3×1^2×i+3×1×i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i。6.D解析：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6種。點(diǎn)數(shù)之和為12的組合只有(6,6)，共1種。所以P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(M∩N)=6/36+1/36-0/36=7/36。7.C解析：直線l與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，所以圓心(1,2)到直線l的距離等于半徑√5。即|k×1-1×2+b|/√(k^2+1)=√5，解得|k-2+b|=√5√(k^2+1)。平方后整理得到k^2-4k+4+b^2=5k^2+5，即4k^2+4k+b^2-1=0。判別式Δ=16-16(b^2-1)=0，解得b^2=1，即b=±1。代入原方程得到k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2+4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。所以k^2-4k+5=0，判別式Δ=16-20<0，無解。8.C解析：等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d。由a_1=2，a_4=7得到2+3d=7，解得d=5/3。所以a_10=2+9×(5/3)=2+15=17。9.B解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在x→-1時(shí)極限存在且為-∞，所以x+1→0^-時(shí)，log_a(x+1)→-∞。這意味著a>1。10.A解析：拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)為F(p/2,0)，準(zhǔn)線方程為x=-p。點(diǎn)P到直線x=-p的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離。當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF的最小值為p/2。二、填空題答案及解析11.-4解析：函數(shù)f(x)=x^3-ax+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-a。由題意知，f'(1)=3-a=0，解得a=3。所以f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0得到x=±1。當(dāng)x<-1或x>1時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)-1<x<1時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)。12.4√3/3解析：根據(jù)正弦定理，有a/sinA=b/sinB=c/sinC。由題意知，A=30°，B=60°，c=4，所以a/sin30°=4/sin60°，即a/(1/2)=4/(√3/2)，解得a=4√3/3。13.{x|x<1或x>3}解析：集合A={x|x^2-4x+3<0}可以分解為(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3。集合B={x|2<x<5}。所以A∪B={x|x<1或x>3}。14.13解析：復(fù)數(shù)z=2+3i的模為|z|=√(2^2+3^2)=√13。所以|z|^2=(√13)^2=13。15.48解析：等比數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=b_1q^(n-1)。由題意知，b_1=3，b_3=12，所以3q^2=12，解得q=2。所以b_5=3×2^(5-1)=3×16=48。三、解答題答案及解析16.（1）a=3；（2）f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減，在[1,3]上單調(diào)遞增。解析：（1）函數(shù)f(x)=x^2-2ax+2的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2x-2a。由題意知，f(x)在x=1時(shí)取得最小值，所以f'(1)=2-2a=0，解得a=1。又因?yàn)閒(2)=4，所以4-4a+2=4，解得a=1。所以a=3。（2）f'(x)=2x-6。當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈[1,3]時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。17.（1）角A=60°；（2）△ABC的面積S=√3。解析：（1）由題意知，a^2=b^2+c^2-bc。根據(jù)余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bc×cosA。所以cosA=1/2，即A=60°。（2）△ABC的面積S=1/2×b×c×sinA=1/2×2×3×√3/2=√3。18.（1）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=3；（2）S_n=3^n-1。解析：（1）由題意知，a_1=1，a_n=3a_{n-1}+2（n≥2）。所以a_2=3×1+2=5，a_3=3×5+2=17，a_4=3×17+2=53。觀察數(shù)列{a_n}，可以發(fā)現(xiàn)a_n=3a_{n-1}+2=3(3a_{n-2}+2)+2=3^2a_{n-2}+3×2+2=...=3^{n-1}a_1+3^{n-2}×2+...+3×2+2=3^{n-1}+2(3^{n-2}+...+3+1)=3^{n-1}+2(3^{n-1}-1)/(3-1)=3^{n-1}+3^{n-1}-1=2×3^{n-1}-1。所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=3。（2）數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比q=3，首項(xiàng)a_1=1。所以S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)=1×(1-3^n)/(1-3)=3^n-1。19.（1）b=3；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)。解析：（1）直線l1的方程為y=x+1，直線l2的方程為y=-2x+b。聯(lián)立兩直線方程得到x+1=-2x+b，解得x=(b-1)/3。點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為√5，所以√((b-1)/3)^2+((b-1)/3+1)^2=√5，解得b=3。（2）將b=3代入直線l2的方程得到y(tǒng)=-2x+3。聯(lián)立l1和l2的方程得到x+1=-2x+3，解得x=2/3。代入l1的方程得到y(tǒng)=2/3+1=5/3。所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(2/3,5/3)。20.（1）f'(x)=e^x-a；（2）a=2，極小值；（3）f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增。解析：（1）函數(shù)f(x)=e^x-ax+1的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=e^x-a。（2）由題意知，f(x)在x=1時(shí)取得極值，所以f'(1)=e-a=0，解得a=e。又因?yàn)閒''(x)=e^x，f''(1)=e>0，所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)。（3）f'(x)=