2025年高考數(shù)學模擬檢測卷-空間向量與幾何向量題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離等于（）A.3B.√3C.√6D.√112.已知向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a與向量b垂直，則實數(shù)k的值為（）A.-2B.2C.-1D.13.過點A（1，0，2）且與向量n=（1，2，-1）平行的直線方程為（）A.x=1，y=2zB.x-1=2(y-2z)C.x-1=y-2zD.x-1=2(y+2z)4.已知空間四點A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，3，1），D（3，1，2），則向量AB+向量BC+向量CD的模長為（）A.3√2B.4√2C.5√2D.6√25.設平面α和平面β分別由向量a=（1，0，1）和向量b=（0，1，1）確定，則平面α與平面β所成銳二面角的余弦值為（）A.1/3B.2/3C.1/2D.√2/26.已知直線l：x=2t，y=3+2t，z=1-3t與平面α：x+y+z=1相交，則交點坐標為（）A.（2，3，1）B.（0，1，0）C.（1，2，3）D.（-1，-1，-1）7.若向量a=（1，k，1）與向量b=（k，1，1）的夾角為120°，則實數(shù)k的值為（）A.-1B.1C.-√3D.√38.已知空間四邊形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），則向量BC與向量BD的夾角余弦值為（）A.1/2B.1/3C.2/3D.-1/39.過點P（1，2，3）且與平面α：2x+y-z=1平行的平面方程為（）A.2x+y-z=7B.2x+y-z=-1C.x-2y+z=1D.x+y+z=610.已知向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a與向量b的投影向量相等，則實數(shù)k的值為（）A.1B.-1C.2D.-211.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距離等于（）A.√6B.√10C.√15D.√2112.已知空間四點A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，3，1），D（3，1，2），則向量AB與向量CD的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案填在答題卡相應位置。）13.已知向量a=（1，2，3），向量b=（2，k，1），若向量a與向量b平行，則實數(shù)k的值為__________。14.過點A（1，0，2）且與平面α：x+y+z=1垂直的直線方程為__________。15.設空間四點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（0，0，0），則向量AB與向量CD的夾角余弦值為__________。16.已知空間四邊形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），則向量BC與向量BD的夾角正弦值為__________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（10分）已知空間四點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（1，0，1），求向量AB與向量CD的夾角余弦值。18.（12分）設平面α過點A（1，2，3），且與向量n=（1，1，1）垂直，求平面α的方程。19.（12分）已知空間四邊形ABCD中，向量AB=（1，2，1），向量AC=（2，1，3），向量AD=（3，-1，1），求向量BC與向量BD的夾角正弦值。20.（12分）過點P（1，2，3）且與平面α：2x+y-z=1平行的平面方程為__________。21.（12分）設向量a=（1，2，k），向量b=（2，k，1），若向量a與向量b的投影向量相等，則實數(shù)k的值為__________。22.（10分）在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到直線l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距離等于__________。四、證明題（本大題共2小題，共30分。證明過程應寫出詳細的推理步驟。）23.（15分）已知空間四點A（1，2，3），B（2，3，1），C（3，1，2），D（0，0，0），證明向量AB與向量CD共線。24.（15分）設平面α過點A（1，2，3），且與向量n=（1，1，1）垂直，證明點B（2，3，4）在平面α上。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.答案：C解析：點A（1，2，3）到平面α：x+y+z=1的距離公式為d=|ax1+by1+cz1+d|/√(a^2+b^2+c^2)，代入得d=|1*1+1*2+1*3-1|/√(1^2+1^2+1^2)=√6。2.答案：A解析：向量a與向量b垂直，則a·b=0，即1*2+2*k+1*1=0，解得k=-2。3.答案：C解析：過點A（1，0，2）且與向量n=（1，2，-1）平行的直線方程為x=1+t，y=2t，z=2-t，化為標準式得x-1=y-2z。4.答案：B解析：向量AB=（1，2，3），向量BC=（1，1，-2），向量CD=（1，-2，1），則向量AB+向量BC+向量CD=（3，4，2），模長為√(3^2+4^2+2^2)=√34=4√2。5.答案：D解析：平面α的法向量為向量a=（1，0，1），平面β的法向量為向量b=（0，1，1），兩平面所成銳二面角的余弦值為|a·b|/|a||b|=|1*0+0*1+1*1|/√2*√2=1/2，但題目要求銳角，故取√2/2。6.答案：A解析：將直線l的參數(shù)方程代入平面α的方程，得2t+3+2t+1+1-3t=1，解得t=0，代入直線方程得交點坐標為（2，3，1）。7.答案：C解析：向量a與向量b的夾角為120°，則cos120°=a·b/|a||b|=-1/2，即(1*2+2*k+1*1)/(√(1^2+2^2+1^2)*√(k^2+1^2+1^2))=-1/2，解得k=-√3。8.答案：A解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-1，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），則cosθ=向量BC·向量BD/|向量BC||向量BD|=(1*2+(-1)*(-3)+2*0)/√6*√13=8/√78=1/2。9.答案：A解析：過點P（1，2，3）且與平面α：2x+y-z=1平行的平面方程為2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0，即2x+y-z=7。10.答案：D解析：向量a與向量b的投影向量相等，即|a·b|/|b|=|a·b|/|a|，則|a|=|b|，即1^2+2^2+k^2=2^2+k^2+1^2，解得k=-2。11.答案：C解析：點A（1，2，3）到直線l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距離公式為d=|向量AP×向量方向向量|/|方向向量|，其中向量AP=(1-1,2-1+2,3-3t)，方向向量為（1，-2，3t），計算得d=√15。12.答案：C解析：向量AB=（1，2，3），向量CD=（1，-2，1），則cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(1*1+2*(-2)+3*1)/√14*√6=0/√84=0，即θ=90°，但題目要求銳角，故取60°。二、填空題答案及解析13.答案：6解析：向量a與向量b平行，則存在實數(shù)λ，使向量a=λ向量b，即（1，2，3）=λ（2，k，1），解得λ=1/2，k=6。14.答案：x-1=y-2=z-3解析：過點A（1，0，2）且與平面α：x+y+z=1垂直的直線方程為方向向量為（1，1，1），即x-1=y-0=z-2。15.答案：1/2解析：向量AB=（1，1，-2），向量CD=（3，-1，0），則cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(1*3+1*(-1)+(-2)*0)/√6*√10=2/√60=1/2。16.答案：√3/3解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-2，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），則sinθ=|向量BC×向量BD|/|向量BC||向量BD|，計算得sinθ=√3/3。三、解答題答案及解析17.答案：cosθ=1/√3解析：向量AB=（1，1，-2），向量CD=（-2，-1，-1），則cosθ=向量AB·向量CD/|向量AB||向量CD|=(-2-1-2)/√6*√6=-5/6，但題目要求夾角余弦值，故取1/√3。18.答案：x+y+z=6解析：平面α過點A（1，2，3），且與向量n=（1，1，1）垂直，則平面方程為1(x-1)+1(y-2)+1(z-3)=0，即x+y+z=6。19.答案：sinθ=√2/2解析：向量BC=向量AC-向量AB=（1，-2，2），向量BD=向量AD-向量AB=（2，-3，0），則sinθ=|向量BC×向量BD|/|向量BC||向量BD|，計算得sinθ=√2/2。20.答案：x+y-z=4解析：過點P（1，2，3）且與平面α：2x+y-z=1平行的平面方程為2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0，即x+y-z=4。21.答案：k=±√2解析：向量a與向量b的投影向量相等，即|a·b|/|b|=|a·b|/|a|，則|a|=|b|，即1^2+2^2+k^2=2^2+k^2+1^2，解得k=±√2。22.答案：√14解析：點A（1，2，3）到直線l：x=t，y=1-2t，z=3t的的距離公式為d=|向量AP×向量方向向量|/|方向向量|，其中向量AP=(1-1,2-1+2,3-3t)，方向向