齒輪箱的數(shù)學(xué)模型分析概述1.1一般共軛嚙合齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程[19]在一空間坐標(biāo)系為(oi-xiyizi)內(nèi)，一個(gè)齒輪具有6個(gè)自由度，即順著xi、yi和zi軸方向移動(dòng)與繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，因此再假設(shè)用?i、ψi和θi來(lái)代表轉(zhuǎn)動(dòng)角度相對(duì)這些軸來(lái)講，以xi、yi和zi分別代表沿軸的位移。因此，一對(duì)嚙合的齒輪就具備了12個(gè)自由度，用一個(gè)向量的形式來(lái)將每一個(gè)與這些自由度對(duì)應(yīng)的位移和轉(zhuǎn)動(dòng)角度表示出來(lái)，其中i＝1時(shí)表示主動(dòng)齒輪i＝2時(shí)表示從動(dòng)齒輪，如式子（2-1）下所示：zi在對(duì)一對(duì)齒輪的嚙合振動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，建立如圖2-4所示的空間坐標(biāo)系。坐標(biāo)原點(diǎn)oi(i=1,2)分別定在理想情況下裝置的主、從動(dòng)齒輪的質(zhì)心上，每個(gè)齒輪的回轉(zhuǎn)軸線xi、yi和zi與zi(i=1,2)對(duì)應(yīng)的單位矢量為i、j和k。圖2-4齒輪傳動(dòng)坐標(biāo)系再某一瞬時(shí)內(nèi)，假設(shè)同時(shí)有N點(diǎn)也在嚙合過程中，那么對(duì)線接觸齒輪來(lái)說，N表示的是在此時(shí)同時(shí)進(jìn)行嚙合的輪齒數(shù)；對(duì)點(diǎn)接觸齒輪來(lái)說，N代表嚙合的點(diǎn)數(shù)。設(shè)Pk(k=1~N)為每個(gè)嚙合點(diǎn)的載荷中心；對(duì)線接觸齒輪來(lái)將，Pk為第k個(gè)在此時(shí)同時(shí)進(jìn)行齒輪嚙合的載荷分布中心，在坐標(biāo)系(o1-x1y1z1)和(o2-x2y2z2)的位置時(shí)，Pk用矢徑rk(k=1,2)表示。齒輪的齒面上Pk點(diǎn)的單位矢線在o1和o2坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)為n1r和n2r，那么因?yàn)檎駝?dòng)zi引起Pk點(diǎn)的幾何形變應(yīng)表示為式（2-2）：&dnk將（2-2）式整理后如(2-3)所示：&dnk=設(shè)嚙合點(diǎn)Pk的單元嚙合剛度為snk，則Pk的法向作用力如式子（2-4）所示，式子中qik是Pk的輪齒單點(diǎn)嚙合剛度的分配比例：Fnk=進(jìn)而，嚙合輪齒的剛度矩陣如式子（2-5）：[s相同的，阻尼矩陣表示如式子（2-6），cnk為嚙合點(diǎn)的阻尼系數(shù)：[c設(shè)點(diǎn)pk在輪齒間的綜合靜態(tài)傳遞誤差為enk，則嚙合點(diǎn)間的作用力為snkcnkqkT，那么因?yàn)镹{Fa此基礎(chǔ)上忽略軸和滾動(dòng)軸承的作用，空間中一對(duì)齒輪的運(yùn)動(dòng)微分方程表示為式子（2-8）：[m]{Z式（1.8）是一個(gè)微分方程組，包含了12個(gè)變量，它的建立是根據(jù)齒輪嚙合的一般原理，[M]表示質(zhì)量矩陣，[Fm]表示靜態(tài)載荷向量。普遍情況下，由于snk是改變的，而且嚙合的齒數(shù)也是改變的，因此，這是一個(gè)變系數(shù)的常數(shù)方程。1.2齒輪的簡(jiǎn)化振動(dòng)模型齒輪箱的振動(dòng)大部分情況下是繁瑣的非線性振動(dòng)，而非線性振動(dòng)模型的建立是有一定難度的。因此，在對(duì)齒輪箱故障進(jìn)行分析研究時(shí)，一般都會(huì)把齒輪箱以及它的傳遞過程做一定程度的簡(jiǎn)化，如圖2-5所示。圖2-5齒輪嚙合簡(jiǎn)化模型按照振動(dòng)理論原理，它的動(dòng)力學(xué)方程如式（2-9）所示：Mx其中x表示齒輪在嚙合線方向上的相對(duì)位移的大??；C表示齒輪的嚙合阻尼；kt表示嚙合剛度；M表示的是當(dāng)量質(zhì)量。F(t)是動(dòng)載荷，傳動(dòng)誤差、輪齒剛度，除此之外齒面摩擦力方向的變化也對(duì)其或多或少有影響。潤(rùn)滑狀態(tài)理想則不計(jì)摩擦力影響。所