高三數(shù)學(xué)等差數(shù)列多選題專項(xiàng)訓(xùn)練單元期末復(fù)習(xí)測(cè)試基礎(chǔ)卷試題一、等差數(shù)列多選題1．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，則下列判斷正確的是（）A．a(chǎn)1＝3 B．若d＝1，則an＝n2+2n C．a(chǎn)2可能為6 D．a(chǎn)1，a2，a3可能成等差數(shù)列解析：ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解【詳解】因?yàn)?，，所以a1＝3，an＝[1+(n-1)d](n+2n).若d＝1，則an＝n(n+2n)；若d＝0，則a2＝6.因?yàn)閍2＝6+6d，a3＝11+22d，所以若a1，a2，a3成等差數(shù)列，則a1+a3＝a2，即14+22d＝12+12d，解得.故選ACD2．下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題，其中的真命題為（）.A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列解析：AD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可得正確選項(xiàng).【詳解】，，所以是遞增數(shù)列，故①正確，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是遞增數(shù)列，故②不正確，，當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列，故③不正確，，因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，故④正確，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，，則（）A． B．C． D．解析：AC【分析】由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，所以，.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，考查運(yùn)算求解能力.4．在數(shù)列中，若為常數(shù)，則稱為“等方差數(shù)列”下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則是等方差數(shù)列B．是等方差數(shù)列C．若是等方差數(shù)列，則為常數(shù)也是等方差數(shù)列D．若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列解析：BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結(jié)合特殊反例對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若是等差數(shù)列，如，則不是常數(shù)，故不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)列中，是常數(shù)，是等方差數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，，，，，，，數(shù)列中的項(xiàng)列舉出來(lái)是，，，，，，將這k個(gè)式子累加得，，，k為常數(shù)是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，是等差數(shù)列，，則設(shè)是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，屬于中檔題.5．設(shè)d為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．解析：ABC【分析】由已知求得公差的范圍：，把各選項(xiàng)中的項(xiàng)全部用表示，并根據(jù)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是由已知確定的范圍，由通項(xiàng)公式寫出各項(xiàng)（用表示）后，可判斷．6．設(shè)是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．的最大值解析：ABD【分析】由，判斷，再依次判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，所以?shù)列是遞減數(shù)列，故，AB正確；，所以，故C不正確；由以上可知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，因?yàn)榭芍?，的最大值，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，重點(diǎn)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.7．是等差數(shù)列，公差為d，前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．解析：ABD【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前項(xiàng)和公式，及題中的條件，可選出答案.【詳解】由，可得，故B正確；由，可得，由，可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；又，所以，故C不正確；又因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的增減性及前項(xiàng)和的性質(zhì)，本題要從題中條件入手，結(jié)合公式，及，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，可判斷選項(xiàng)是否正確.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.8．已知數(shù)列，則前六項(xiàng)適合的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．解析：AC【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列通項(xiàng)公式分別取前六項(xiàng)，看是否滿足題意，得出答案．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)B，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)C，取前六項(xiàng)得：，滿足條件；對(duì)于選項(xiàng)D，取前六項(xiàng)得：，不滿足條件；故選：AC9．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，．，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)，取最小值 D．當(dāng)時(shí)，取最小值解析：AC【分析】由已知求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得到通項(xiàng)公式判斷與；再求出，由的項(xiàng)分析的最小值．【詳解】解：在遞增的等差數(shù)列中，由，得，又，聯(lián)立解得，，則，．．故正確，錯(cuò)誤；可得數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)，第5項(xiàng)為正，第六項(xiàng)為負(fù)，第六項(xiàng)以后均為正．而．當(dāng)時(shí)，取最小值，故正確，錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．10．朱世杰是元代著名數(shù)學(xué)家，他所著的《算學(xué)啟蒙》是一部在中國(guó)乃至世界最早的科學(xué)普及著作.《算學(xué)啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數(shù)列以及數(shù)列的求和問題.現(xiàn)有100根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們?nèi)慷逊懦煽v斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數(shù)不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應(yīng)堆放的層數(shù)可以是（）A．4 B．5 C．7 D．8解析：BD【分析】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差即每一層比上一層多的根數(shù)為，設(shè)一共放層，利用等差數(shù)列求和公式，分析即可得解.【詳解】依據(jù)題意，根數(shù)從上至下構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)即第一層的根數(shù)為，公差為，設(shè)一共放層，則總得根數(shù)為：整理得，因?yàn)?，所以?00的因數(shù)，且為偶數(shù)，驗(yàn)證可知滿足題意.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的求和公式，解題的關(guān)鍵是分析題意，把題目信息轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學(xué)家列昂多·斐波那契于1202年提出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記該數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．且C．D．解析：BC【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證即可；【詳解】解：斐波那契數(shù)列為1，1，2，3，5，8，13，21，……，顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；由，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以所以，令，則，所以，所以以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以；即C滿足條件；故選：BC【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，本題運(yùn)算量較大，難度較大，要求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題．12．首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列4個(gè)命題中正確的有（）A．若，則，；B．若，則使的最大的n為15；C．若，，則中最大；D．若，則.解析：ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)檎龜?shù)，公差不為0，且，所以公差，所以，即，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，所以，，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，則，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n為15，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，則，，則，即，所以則中最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，則，又，所以，即，故D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負(fù)，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)求和公式進(jìn)行變形，求得項(xiàng)的正負(fù)，再分析和判斷，考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬中檔題.13．等差數(shù)列是遞增數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，滿足，下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C．當(dāng)時(shí)最小 D．時(shí)的最小值為解析：BD【分析】由題意可知，由已知條件可得出，可判斷出AB選項(xiàng)的正誤，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次不等式可判斷出CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】由于等差數(shù)列是遞增數(shù)列，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，則，可得，B選項(xiàng)正確；，當(dāng)或時(shí)，最小，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，可得，解得或.，所以，滿足時(shí)的最小值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（）A． B．C． D．解析：BC【分析】由已知條件列方程組，求出公差和首項(xiàng)，從而可求出通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，，故選：BC15．若不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（）A． B． C．1 D．2解析：ABC【分析】根據(jù)不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有恒成立，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有恒成立，分別計(jì)算，即可得解.【詳解】根據(jù)不等式對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有：恒成立，由遞減，且，所以，即，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)有：恒成立，由第增，且，所以，綜上可得：，故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，有一定的計(jì)算量，屬于中當(dāng)題.16．黃金螺旋線又名等角螺線，是自然界最美的鬼斧神工．在一個(gè)黃金矩形（寬長(zhǎng)比約等于0.618）里先以寬為邊長(zhǎng)做正方形，然后在剩下小的矩形里以其寬為邊長(zhǎng)做正方形，如此循環(huán)下去，再在每個(gè)正方形里畫出一段四分之一圓弧，最后順次連接，就可得到一條“黃金螺旋線”．達(dá)·芬奇的《蒙娜麗莎》，希臘雅典衛(wèi)城的帕特農(nóng)神廟等都符合這個(gè)曲線．現(xiàn)將每一段黃金螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形半徑設(shè)為an(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)．再將扇形面積設(shè)為bn(n∈N*)，則（）A．4(b2020－b2019)＝πa2018·a2021 B．a(chǎn)1＋a2＋a3＋…＋a2019＝a2021－1C．a(chǎn)12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝2a2019·a2021 D．a(chǎn)2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝0解析：ABD【分析】對(duì)于A，由題意得bn＝an2，然后化簡(jiǎn)4(b2020－b2019)可得結(jié)果；對(duì)于B，利用累加法求解即可；對(duì)于C，數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，然后累加求解；對(duì)于D，由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2，化簡(jiǎn)可得結(jié)果【詳解】由題意得bn＝an2，則4(b2020－b2019)＝4(a20202－a20192)＝π(a2020＋a2019)(a2020－a2019)＝πa2018·a2021，則選項(xiàng)A正確；又?jǐn)?shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，所以an－2＝an－an－1(n≥3)，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(a2021－a2020)＝a2021－a2＝a2021－1，則選項(xiàng)B正確；數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)，即an－1＝an－2－an，兩邊同乘an－1，可得an－12＝an－1an－2－an－1an，則a12＋a22＋a32…＋(a2020)2＝a12＋(a2a1－a2a3)＋(a3a2－a3a4)＋…＋(a2020a2019－a2020a2021)＝a12－a2020a2021＝1－a2020a2021，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題意an－1＝an－an－2，則a2019·a2021－(a2020)2＋a2018·a2020－(a2019)2＝a2019·(a2021－a2019)＋a2020·(a2018－a2020)＝a2019·a2020＋a2020·(－a2019)＝0，則選項(xiàng)D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查累加法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題17．已知數(shù)列滿足，()，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．解析：BC【分析】根據(jù)遞推公式，得到，令，得到，可判斷A錯(cuò)，B正確；根據(jù)求和公式，得到，求出，可得C正確，D錯(cuò).【詳解】由可知，即，當(dāng)時(shí)，則，即得到，故選項(xiàng)B正確；無(wú)法計(jì)算，故A錯(cuò)；，所以，則，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法：（1）累加法，形如的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常用累乘法求解；（3）構(gòu)造法，形如（且，，）的數(shù)列，求通項(xiàng)時(shí)，常需要構(gòu)造成等比數(shù)列求解；（4）已知與的關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)，一般可根據(jù)求解.18．題目文件丟失！19．題目文件丟失！20．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列