高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)與解三角形多選題之知識梳理與訓(xùn)練及解析一、三角函數(shù)與解三角形多選題1．已知函數(shù)且對于都有成立．現(xiàn)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù) B．函數(shù)相鄰的對稱軸距離為C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABCD【分析】先利用已知條件求出的周期，即可得，再利三角函數(shù)圖象的平移伸縮變換得的解析式，在逐一判斷四個選項的正誤即可得正確選項.【詳解】因為對于都有成立所以，，所以對于都成立，可得的周期，所以，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得再把所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍可得，對于選項A:，故選項A正確；對于選項B：函數(shù)周期為，所以相鄰的對稱軸距離為，故選項B正確；對于選項C：是偶函數(shù)，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項D正確，故選：ABCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是由恒成立得出可得的值，求出的解析式.2．已知函數(shù)(，)的部分圖像如圖所示，則（）A． B．點是圖像的一個對稱中心C． D．直線是圖像的一條對稱軸【答案】ABD【分析】由圖知函數(shù)最大值為,最小值為,且函數(shù)圖像與軸的交點為,進(jìn)而待定系數(shù)得,再整體換元討論B,D選項即可.【詳解】因為，所以，解得，故A正確；，則.又，所以，故C錯誤；，令，，解得，，所以圖像的對稱軸方程為，令，則，D正確；令，，解得，，令，則且，故B正確.故選：ABD【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像求解析式，三角函數(shù)的對稱軸，對稱中心等，考查運算求解能力，是中檔題.解題的過程中，需要注意形如，，，的求解通常采用待定系數(shù)法求解.3．已知函數(shù)的部分自變量、函數(shù)值如下表所示，下列結(jié)論正確的是（）．025A．函數(shù)解析式為B．函數(shù)圖象的一條對稱軸為C．是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．函數(shù)的圖象左平移個單位，再向下移2個單位所得的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ABD【分析】首先根據(jù)表格，利用最值求和，再根據(jù)周期求，以及根據(jù)最小值點求，求得函數(shù)的解析式，再分別代入和，判斷BC選項，最后根據(jù)平移規(guī)律求平移后的解析式.【詳解】由表格可知，，函數(shù)的最大值是5，所以，即，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值點和相鄰的零點間的距離是，所以，當(dāng)時，，解得：，，，所以函數(shù)，故A正確；B.當(dāng)時，，能使函數(shù)取得最小值，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故B正確；C.當(dāng)時，，此時，所以是函數(shù)的一個對稱中心，故C不正確；D.函數(shù)向左平移個單位后，再向下平移2個單位后，得，函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間．4．已知函數(shù)，且對任意，恒成立，為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱B．函數(shù)的最小正周期為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BD【分析】由恒成立可得，即，由為奇函數(shù)可得，即可求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】因為對任意，恒成立，所以，即，得①.，因為為奇函數(shù)，所以②.由①②可得，即.又，所以，，則，得，所以，由于，故的圖象不關(guān)于原點對稱，所以A不正確；的最小正周期，所以B正確；，所以C不正確；令，，得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)“對任意，恒成立”得到“”；（2）得到“”后，能根據(jù)“為奇函數(shù)”得到“”.5．設(shè)、是函數(shù)的圖象與直線的交點，若、兩點距離的最小值為，是該函數(shù)圖象上的一個點，則下列說法正確的是（）A．該函數(shù)圖象的一個對稱中心是B．該函數(shù)圖象的對稱軸方程是，C．在上單調(diào)遞增D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，可判斷D選項的正誤，利用余弦型函數(shù)的對稱性可判斷AB選項的正誤，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項的正誤.【詳解】因為、是函數(shù)的圖象與直線的交點，若、兩點距離的最小值為，則函數(shù)的最小正周期為，，所以，，將點的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，可得，則.，，則，，，D選項正確；對于A選項，，A選項正確；對于B選項，由，解得，所以，函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，，B選項正確；對于C選項，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，C選項錯誤.故選：ABD.【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成或形式，再求或的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入或的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．6．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最小正周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在區(qū)間上有兩個零點【答案】ABD【分析】借助于的圖像及y=sinx的性質(zhì)，對ABCD四個選項一一驗證：對于A：利用求周期；對于B：利用圖像觀察，也可以根據(jù)判斷；對于C：利用圖像觀察，也可以根據(jù)否定結(jié)論；對于D：利用圖像觀察，可以得到在區(qū)間上有兩個零點.【詳解】對于A：函數(shù)的周期故A正確；對于B：∵，∴的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C：∵，故的圖像不經(jīng)過點，也不是其對稱中心，故C錯誤；對于C：由圖像顯然可以觀察出，在區(qū)間上有兩個零點.也可以令，即，解得：或，故在區(qū)間上有兩個零點，故D正確.故選：ABD【點睛】三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次”的結(jié)構(gòu)，即的結(jié)構(gòu)：（1）畫出圖像，利用圖像分析性質(zhì)；（2）用借助于或的性質(zhì)解題.7．設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有5個零點，則下列結(jié)論成立的有（）A．在有且僅有2個零點B．在單調(diào)遞增C．的取值范圍是D．將的圖象先右移個單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到函數(shù)【答案】BC【分析】首先利用圖象直接判斷A選項；再利用函數(shù)在有且僅有5個零點，求得的范圍，并利用整體代入的方法判斷B選項；最后利用圖象的變換規(guī)律，求得變換之后的解析式，判斷D.【詳解】A.如圖，上函數(shù)僅有5個零點，但有3個最小值點，這3個最小值點就是在上的3個零點；B.時，若函數(shù)在有且僅有5個零點，則，得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故BC正確；D.函數(shù)的圖象先右移個單位后得到，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得到，故D不正確；故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是求出的取值范圍，首先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間有5個零點，首先求的范圍，再分析的圖象，求得的范圍.8．在中，角所對的邊分別為，已知，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若，則的面積是D．若，則的外接圓半徑是【答案】ACD【分析】先利用已知條件設(shè)，進(jìn)而得到，利用正弦定理可判定選項A；利用向量的數(shù)量積公式可判斷選項B；利用余弦定理和三角形的面積公式可判定選項C；利用余弦定理和正弦定理可判斷選項D.【詳解】依題意，設(shè)，所以，由正弦定理得：，故選項A正確；，故選項B不正確；若，則，所以，所以，所以，故的面積是：；故選項C正確；若，則，所以，所以，所以，則利用正弦定理得：的外接圓半徑是：，故選項D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查正余弦定理以及三角形面積公式.利用已知條件設(shè)，再利用正余弦定理以及三角形面積公式求解是解決本題的關(guān)鍵.9．已知函數(shù)，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是【答案】AB【分析】首先化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)形式的公式，以及代入的方法判斷選項.【詳解】，A.函數(shù)的最小正周期，故A正確；B.根據(jù)圖象的平移變換規(guī)律，可知函數(shù)的圖像向左平移個單位而得到，故B正確；C.當(dāng)時，，不是函數(shù)的對稱軸，故C不正確；D.當(dāng)時，，此時函數(shù)值是2，故函數(shù)的一個對稱中心應(yīng)是，故D不正確.故選：AB【點睛】思路點睛：本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷，可以整體代入驗證的方法判斷函數(shù)性質(zhì)：（1）對于函數(shù)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點，因此判斷直線或點是否是函數(shù)的對稱軸和對稱中心時，可通過驗證的值進(jìn)行判斷；（2）判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，也可以求的范圍，驗證此區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間.10．已知，，，，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先根據(jù)，判斷角的范圍，再根據(jù)求；根據(jù)平方關(guān)系，判斷的值；利用公式求值，并根據(jù)角的范圍判斷角的值；利用公式和，聯(lián)合求