2025年7月高二期末考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．有一組按從小到大順序排列數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.7 B.7.5 C.8 D.6.53．在等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于（）A.B.C. D.4．有5輛車停放6個(gè)并排車位，貨車甲車體較寬，停靠時(shí)需要占兩個(gè)車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７?，則共有（）種停放方法．A.72 B.144 C.108 D.965．已知，則（）A.3 B. C. D.26．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.7．已知是的重心，是空間中的一點(diǎn)，滿足，，則（）A. B. C. D.8．已知正數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)得0分.9．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩根，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.若，則10．若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為πB.的圖像關(guān)于直線對稱C.的最小值為-1D.的單調(diào)遞減區(qū)間為11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于y軸對稱填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)集合，，則___________.13．已知的展開式中的系數(shù)為240，則實(shí)數(shù)______．14.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是____．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.16.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.點(diǎn)P在底面的射影點(diǎn)Q在線段AC上.(1)在圖中過A作平面PC黨的垂線段,H為垂足,并給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D過程;(2)若PA=PD=2.求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值.17.已知橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的方程及離心率;(2)若直線B黨的斜率為0,求t的值.18,某校機(jī)器人社團(tuán)為了解市民對歷年“數(shù)博會”科技成果的關(guān)注情況,在市內(nèi)隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.(1)估計(jì)抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù);(2)若本次問卷調(diào)查得分超過80分,則認(rèn)為該市民對“數(shù)博會”的關(guān)注度較高,現(xiàn)從市內(nèi)隨機(jī)抽取3名市民,記對“數(shù)博會”關(guān)注度較高的市民人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.19,設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).(1)求a;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x)答案1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.D由可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.2．有一組按從小到大順序排列數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.7 B.7.5 C.8 D.6.5B依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故選：B.3．在等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)等于（）A.B.C. D.B由已知條件可得，解得或.設(shè)等比數(shù)列的公比為.①當(dāng)，時(shí)，由，解得，，解得；②當(dāng)，時(shí)，由，解得，，解得.綜上所述，.故選：B.4．有5輛車停放6個(gè)并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r(shí)需要占兩個(gè)車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７牛瑒t共有（）種停放方法．A.72 B.144 C.108 D.96A先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，故共有種停放方法.故選：A.5．已知，則（）A.3 B. C. D.2A因?yàn)椋傻?，且，則，可得，則，所以.故選：A.6．最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位），則平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.C如圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C7．已知是的重心，是空間中的一點(diǎn)，滿足，，則（）A. B. C. D.C由題意知是的重心，則，即所以，又因?yàn)?，所?故選：C.8．已知正數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.B由題設(shè)，則，且，則，令且，故，令，則在上遞增，故，所以在上遞增，故，所以在上遞增，故，即在上恒成立，故，A錯(cuò)，B對；對于的大小關(guān)系，令且，而，，顯然在上函數(shù)符號有正有負(fù)，故的大小在上不確定，即的大小在上不確定，所以C、D錯(cuò).故選：B多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯(cuò)得0分.9．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的兩根，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.若，則ACD，∴，不妨設(shè)，，，A正確；，C正確；，∴，時(shí)，，B錯(cuò)；時(shí)，，，計(jì)算得，，，同理，D正確．故選：ACD．10．若函數(shù)，則（）A.的最小正周期為πB.的圖像關(guān)于直線對稱C.的最小值為-1D.的單調(diào)遞減區(qū)間為BCD由得的定義域?yàn)?對于A：當(dāng)時(shí)，不在定義域內(nèi)，故不成立，易知的最小正周期為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：又，所以的圖像關(guān)于直線對稱，所以選項(xiàng)正確；對于C：因?yàn)?，設(shè)，所以函數(shù)轉(zhuǎn)化為，由得，.得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，故選項(xiàng)正確；對于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，令得，又的定義域?yàn)?，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，同理函數(shù)的遞增區(qū)間為，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位所得圖象關(guān)于y軸對稱AC由函數(shù)的部分圖象知，，，所以，又因?yàn)?，所以；解得又因?yàn)?，所以，所以；所以，選項(xiàng)A正確；時(shí)，，所以的圖象不關(guān)于對稱，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，選項(xiàng)C正確；函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，得，所得圖象不關(guān)于y軸對稱，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．設(shè)集合，，則___________.在中，由得，即，又由可得：，解得：，即，故.故13．已知的展開式中的系數(shù)為240，則實(shí)數(shù)______．，二項(xiàng)式通項(xiàng)公式為，其中的展開式中無含項(xiàng)，含的項(xiàng)為，∴中含的項(xiàng)為，則．解得．故14.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍是____．由，可得，即，令，則又在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則區(qū)間內(nèi)不存在整數(shù)，又，則正數(shù)ω滿足，則，則，解之得，則正數(shù)ω的取值范圍是.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.解析(1)∵A+B+C=π,A+B=3C,∴C=π4,B=3π又∵2sin(A-C)=sinB,∴2sinA?π即222整理得sinA=3cosA,又∵sin2A+cos2A=1,A∈0,3π∴sinA=31010.(2)由(1)知C=π4,sinA=31010則sinB=sin3π4?A=在△ABC中,由正弦定理得ABsinC∴522=AC255=BC∴S△ABC=12AC·BC·sinC=1設(shè)AB邊上的高為h,則12×5h=15,∴h=6.(10分)16.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為等腰梯形,AD=2AB=2BC=2.點(diǎn)P在底面的射影點(diǎn)Q在線段AC上.(1)在圖中過A作平面PC黨的垂線段,H為垂足,并給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鲌D過程;(2)若PA=PD=2.求平面PAB與平面PCD所成角的余弦值.解析(1)連接PQ,則PQ⊥平面ABCD,因?yàn)镃D?平面ABCD,所以PQ⊥CD.在等腰梯形ABCD中,過C作CE⊥AD于E,則DE=12,所以cos∠ADC=12,所以∠ADC=由余弦定理求得AC=3,故AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD.又因?yàn)镻Q∩AC=Q,PQ,AC?平面PAC,所以CD⊥平面PAC.又CD?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAC.過A作AH垂直PC于點(diǎn)H,則由面面垂直的性質(zhì)定理得AH⊥平面PCD.(2)連接DQ,依題意,AQ=PA2?P所以AQ=23AC=2在平面PAC內(nèi),過C作直線PQ的平行線l,則l,AC,CD兩兩垂直,以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D(1,0,0),P0,33,263,A(0,3,0),BAP=0,?233,263則m·令z1=1,則y1=-22,即m=(0,-22,1).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x2,y2,z2),則n·AP=?233y2+263z2=0,n·所以cosθ=|cos<m,n>|=|m·n||m||n|17.已知橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的方程及離心率;(2)若直線B黨的斜率為0,求t的值.解析(1)由已知條件可知b=c=2,∴a=2,∴橢圓E的方程為x24+(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+t(t>2),A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立y=kx+t,x24+y22Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0,x1+x2=?4kt2k2+1,x1x∵直線B黨的斜率為0,∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱,得D(-x2,y2),∵A、C、D三點(diǎn)共線,∴kAC=kCD,即y1?1x1=?y2?1x2,∴2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0,∴2k(2t∴t2-t=t2-2,解得t=2.18,某校機(jī)器人社團(tuán)為了解市民對歷年“數(shù)博會”科技成果的關(guān)注情況,在市內(nèi)隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.(1)估計(jì)抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù);(2)若本次問卷調(diào)查得分超過80分,則認(rèn)為該市民對“數(shù)博會”的關(guān)注度較高,現(xiàn)從市內(nèi)隨機(jī)抽取3名市民,記對“數(shù)博會”關(guān)注度較高的市民人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由問卷調(diào)查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,1000×0.2=200,所以抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù)約為200.(2)由(1)知,事件“對‘?dāng)?shù)博會’的關(guān)注度較高”的概率為P=15X的可能取值為0,1,2,3,易知X~B3,1則P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列為X0123P6448121X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×1519,設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).(1)求a;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x)解析(1)由題意得y=xf(x)=xln(a-x),x∈(-∞,a),∴y'=ln(a-x)+x·1a?x·(-1)=ln(a-x)-x∵x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn),∴l(xiāng)n(a-0)-0a?0經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí)x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).∴a=1.(2)由(1)知a=1,∴f(x)=ln(1-x),x∈(-∞,1),當(dāng)x∈(0,1)時(shí),