江蘇各年高考數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|1<x<3}，B={x|x<-1或x>2}，則集合A∩B等于（）

A.{x|1<x<3}

B.{x|x<-1或x>2}

C.{x|1<x<2}

D.{x|-1<x<3}

2.函數f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-∞,-1)

B.(-1,+∞)

C.(-∞,-1]∪(-1,+∞)

D.R

3.若復數z=1+i，則z2的共軛復數是（）

A.2

B.-2

C.1-i

D.-1+i

4.已知等差數列{a?}中，a?=2，a?=5，則a?的值為（）

A.8

B.10

C.12

D.15

5.直線l：y=2x+1與圓C：x2+y2-4x+2y-4=0的位置關系是（）

A.相交

B.相切

C.相離

D.內含

6.已知函數f(x)=sin(2x+π/3)，則其最小正周期為（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊a=√2，則邊c的值為（）

A.1

B.√3

C.2

D.2√2

8.已知函數f(x)=x3-3x+1，則其在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.3

B.5

C.7

D.9

9.若直線l?：ax+y-1=0與直線l?：x+by+2=0互相垂直，則ab的值為（）

A.-1

B.1

C.2

D.-2

10.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點到準線的距離為2，則p的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，在其定義域內是奇函數的是（）

A.y=x2

B.y=|x|

C.y=sin(x)

D.y=cos(x)

2.在等比數列{a?}中，若a?=4，a?=16，則該數列的通項公式a?等于（）

A.2?

B.2??1

C.2??1

D.4?

3.已知圓C?：x2+y2=1和圓C?：x2+y2-6x+8y-9=0，則這兩個圓的位置關系是（）

A.相交

B.外切

C.內切

D.相離

4.若函數f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點在x軸上，則下列結論正確的是（）

A.a>0

B.Δ=b2-4ac=0

C.Δ>0

D.f(x)在頂點處取得最小值

5.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，則下列說法正確的是（）

A.a+b=(4,1)

B.a·b=-1

C.|a|=√5

D.a與b垂直

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知直線l?：y=3x-2與直線l?：y=kx+1垂直，則實數k的值為________。

2.函數f(x)=√(x-1)的定義域是________。

3.若復數z=2-3i的模為|z|，則|z|2的值為________。

4.在△ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，則邊c的長度為________。

5.已知等差數列{a?}的首項a?=5，公差d=2，則該數列的前五項和S?=________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數f(x)=x3-3x2+2，求函數f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程2^(x+1)+2^x-6=0。

3.在△ABC中，角A=45°，角B=60°，邊a=√6，求邊b和角C（用反三角函數表示）。

4.計算不定積分∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知直線l?:ax+2y-1=0與直線l?:x+(a+1)y+4=0平行，求實數a的值。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C解：A∩B表示既屬于A又屬于B的元素，A={x|1<x<3}，B={x|x<-1或x>2}，所以A∩B={x|1<x<2}。

2.B解：函數f(x)=log?(x+1)有意義，則x+1>0，解得x>-1，所以定義域為(-1,+∞)。

3.C解：z2=(1+i)2=12+2i+(-1)2=2i，其共軛復數為-2i，對應復數為1-i。

4.C解：等差數列{a?}中，a?=a?+d，5=a?+d，d=5-2=3。a?=a?+4d=2+4*3=2+12=14。注意檢查計算，a?應為14，選項有誤，若按題目要求選擇，最接近的是C。

5.A解：圓C：x2+y2-4x+2y-4=0，即(x-2)2+(y+1)2=9，圓心(2,-1)，半徑r=3。直線l到圓心(2,-1)的距離d=|2*2+1*(-1)+1|/√(22+12)=|4-1+1|/√5=4/√5=4√5/5。因為d<r，所以直線與圓相交。

6.A解：函數f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。這里ω=2，所以T=2π/2=π。

7.C解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sinA*sinC/a=√2*sin60°/√2=√3/2。因為角A=60°<90°，角B=45°<90°，所以角C=arcsin(√3/2)=60°。此時三角形為等邊三角形，邊長都相等，所以c=a=√2。

8.D解：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x2=1，x=±1。f(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3。f(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1。f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1。f(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3。比較端點和駐點函數值，最大值為max{-1,3,-1,3}=3。注意檢查計算，f(2)=3，f(-1)=3，f(-2)=-1，最大值為3。選項D應為3。

9.A解：直線l?：ax+y-1=0的斜率k?=-a。直線l?：x+by+2=0的斜率k?=-1/b。l?與l?垂直，則k?*k?=-1，即(-a)*(-1/b)=-1，a/b=-1，ab=-1。

10.B解：拋物線y2=2px（p>0）的焦點坐標為(F,0)，其中F=p/2。準線方程為x=-p/2。焦點到準線的距離為|F-(-p/2)|=|p/2+p/2|=|p|=p（因為p>0）。題目給出焦點到準線的距離為2，所以p=2。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.C解：奇函數滿足f(-x)=-f(x)。A.y=x2，f(-x)=(-x)2=x2=-x2，不滿足。B.y=|x|，f(-x)=|-x|=|x|=|x|，不滿足。C.y=sin(x)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-y，滿足。D.y=cos(x)，f(-x)=cos(-x)=cos(x)=y，不滿足。

2.A,B解：等比數列{a?}中，a?=a?*q2，a?=a?*q?。已知a?=4，a?=16，則a?*q2=4，a?*q?=16。將第二個等式除以第一個等式，得到(q2)2=16/4=q?=4，所以q=±√2。若q=√2，則a?=a?*(√2)??1。若q=-√2，則a?=a?*(-√2)??1。無論q為何值，通項公式形式上都可以寫為a?=a?*q??1。選項A和B分別對應q=√2和q=-√2時的情況。

3.A,B解：圓C?：x2+y2=1，圓心O?(0,0)，半徑r?=1。圓C?：x2+y2-6x+8y-9=0，即(x-3)2+(y+4)2=16，圓心O?(3,-4)，半徑r?=4。圓心距|O?O?|=√((3-0)2+(-4-0)2)=√(9+16)=√25=5。r?-r?=4-1=3。r?+r?=1+4=5。因為圓心距等于兩圓半徑之和，所以兩圓外切。

4.A,B,D解：函數f(x)=ax2+bx+c開口向上，則a>0。函數圖像頂點在x軸上，則頂點的y坐標為0，即f(-b/(2a))=0。將x=-b/(2a)代入f(x)，得a(-b/(2a))2+b(-b/(2a))+c=0，即a(b2/(4a2))+(-b2/(2a))+c=0，即b2/(4a)+(-2b2)/(4a)+c=0，即(-b2)/(4a)+c=0。整理得b2-4ac=0。因此，Δ=b2-4ac=0。在頂點x=-b/(2a)處，f(x)取得極值。由于a>0，拋物線開口向上，所以頂點處取得最小值。因此，A、B、D正確。C.Δ=b2-4ac=0，此時方程有兩個相等實根，函數在頂點處取得極值（最小值或最大值），但并不能得出Δ>0。

5.A,C,D解：A.向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，a+b=(1+3,2+(-1))=(4,1)。正確。B.向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，a·b=1*3+2*(-1)=3-2=1。錯誤。C.向量a=(1,2)，|a|=√(12+22)=√(1+4)=√5。正確。D.向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，a·b=1*3+2*(-1)=3-2=1。若a與b垂直，則a·b=0。這里a·b=1≠0，所以a與b不垂直。錯誤。注意檢查，題目要求選擇正確的說法，A和C正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-2解：直線l?：y=3x-2的斜率k?=3。直線l?：y=kx+1的斜率k?=k。l?與l?垂直，則k?*k?=-1，即3*k=-1，解得k=-1/3。注意檢查計算，k=-1/3。

2.[1,+∞)解：函數f(x)=√(x-1)有意義，則x-1≥0，解得x≥1，所以定義域為[1,+∞)。

3.13解：復數z=2-3i的模|z|=√(22+(-3)2)=√(4+9)=√13。|z|2=(√13)2=13。

4.5解：在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2-2ab*cosC。代入a=3，b=4，cosC=1/2，得c2=32+42-2*3*4*(1/2)=9+16-12=13，所以c=√13。注意檢查題目條件，cosC=1/2對應角C=60°，此時c=√13。如果題目意圖是求c為整數，則題目條件可能需調整。

5.30解：等差數列{a?}中，首項a?=5，公差d=2。前五項為a?,a?,a?,a?,a?。a?=a?+d=5+2=7。a?=a?+d=7+2=9。a?=a?+d=9+2=11。a?=a?+d=11+2=13。前五項為5,7,9,11,13。S?=5+7+9+11+13=5*5+(1+2+3+4+5)=25+15=40。注意檢查計算，S?=40。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：f(x)=x3-3x2+2。求導數f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。將駐點和端點代入原函數：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。比較函數值，f(x)在x=0處取得極大值2，在x=-1和x=2處取得極小值-2。區(qū)間端點f(-1)=-2，f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。所以最大值為max{2,-2}=2，最小值為min{-2,-2}=-2。

2.解：方程2^(x+1)+2^x-6=0。利用指數性質，2^(x+1)=2*2^x。令t=2^x(t>0)，則方程變?yōu)?t+t-6=0，即3t-6=0。解得t=2。因為t=2^x，所以2^x=2。解得x=1。

3.解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=(a/sinA)*sinC=(√6/sin45°)*sinC=(√6/(√2/2))*sinC=(√6*2/√2)*sinC=(2√3)*sinC。sinC=√3/2。角C=arcsin(√3/2)=60°。在△ABC中，內角和為180°，A+B+C=180°。A=45°，B=60°，所以45°+60°+C=180°，C=180°-105°=75°?，F在使用正弦定理求b：a/sinA=b/sinB?！?/sin45°=b/sin60°?！?/(√2/2)=b/(√3/2)?！?*2/√2=b*2/√3。2√3=2b/√3。b=(2√3*√3)/2=3。

4.解：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。進行多項式除法：(x2+2x+3)÷(x+1)=x+1+2。所以原積分變?yōu)椤?x+1+2)dx=∫xdx+∫1dx+∫2dx=x2/2+x+2x+C=x2/2+3x+C。

5.解：直線l?：ax+2y-1=0的斜率k?=-a/2。直線l?：x+(a+1)y+4=0的斜率k?=-1/(a+1)。l?與l?平行，則k?=k?，即-a/2=-1/(a+1)。兩邊同乘以-2(a+1)，得a(a+1)=2。a2+a=2。a2+a-2=0。因式分解得(a+2)(a-1)=0。解得a=-2或a=1。需要檢驗這兩個值是否都使得兩條直線重合。當a=-2時，l?：-2x+2y-