巨龍職校數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.如果函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時(shí)取得極小值，且f(1)=2，那么a的取值范圍是？

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.設(shè)集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B的元素個(gè)數(shù)為？

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知向量a=(1,2),b=(3,-4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為？

A.-5

B.5

C.7

D.-7

4.函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間[-1,1]上的積分值為？

A.1

B.2

C.0

D.-1

5.如果直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，那么k^2+b^2的值為？

A.1

B.2

C.3

D.4

6.設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_1=1，a_n=a_{n-1}+2，則a_5的值為？

A.9

B.10

C.11

D.12

7.如果復(fù)數(shù)z=1+i，那么z^3的值為？

A.-2

B.2

C.-2i

D.2i

8.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x，那么f(x)在點(diǎn)x=0處的泰勒展開(kāi)式的第二項(xiàng)為？

A.1

B.x

C.x^2

D.x^3

9.如果矩陣A=[[1,2],[3,4]]，那么矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T為？

A.[[1,3],[2,4]]

B.[[1,2],[3,4]]

C.[[2,4],[1,3]]

D.[[3,4],[1,2]]

10.設(shè)事件A的概率為P(A)=0.6，事件B的概率為P(B)=0.4，且A與B互斥，那么P(A∪B)的值為？

A.0.2

B.0.4

C.0.6

D.1

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.y=x^3

B.y=e^x

C.y=-2x+1

D.y=log_2(x)

E.y=x^2

2.在空間直角坐標(biāo)系中，下列方程表示的圖形中，是旋轉(zhuǎn)曲面的有？

A.x^2+y^2+z^2=1

B.x^2+y^2=z^2

C.z=x^2+y^2

D.x^2+y^2=1

E.y=x^2

3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有？

A.Σ(1/n)fromn=1to∞

B.Σ((-1)^n/n^2)fromn=1to∞

C.Σ(1/n^p)fromn=1to∞(p>1)

D.Σ((-1)^n)fromn=1to∞

E.Σ(1/log(n))fromn=2to∞

4.下列方程中，是線性微分方程的有？

A.y''+3y'+2y=x

B.y''+y^2=0

C.y'+y=e^x

D.y''-4y'+4y=sin(x)

E.y'''-3y''+2y'=y

5.設(shè)向量空間V由所有形如(a,b,c)的向量組成，其中a,b,c屬于實(shí)數(shù)域R，且滿足a+b+c=0，則下列向量中，屬于V的有？

A.(1,-1,0)

B.(2,1,-3)

C.(0,0,0)

D.(1,1,-2)

E.(-1,2,1)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=-1時(shí)取得極大值，且f(-1)=3，則b的值為_(kāi)______。

2.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)小于5”的概率為_(kāi)______。

3.已知向量u=(1,k),v=(2,-1)，若向量u與向量v垂直，則k的值為_(kāi)______。

4.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之差為_(kāi)______。

5.若復(fù)數(shù)z=2+3i的模為|z|，則|z|^2的值為_(kāi)______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.求解微分方程y'-y=x。

3.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在x=2處的泰勒展開(kāi)式的前三項(xiàng)。

5.計(jì)算三重積分∫∫∫_DxyzdV，其中D是由平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1所圍成的區(qū)域。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.A

8.B

9.A

10.C

解題過(guò)程：

1.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1處取得極小值，則f'(1)=2a+b=0，得b=-2a。又f(1)=a+b+c=2，代入b得a-2a+c=2，即c=a+2。要使x=1為極小值點(diǎn)，需f''(1)=2a>0，即a>0。故選A。

2.A∩B={2,4}，元素個(gè)數(shù)為2。故選B。

3.a·b=1×3+2×(-4)=3-8=-5。故選C。

4.∫_{-1}^1|x|dx=2∫_0^1xdx=2[x^2/2]_0^1=2(1/2-0)=1。故選A。

5.直線y=kx+b與圓x^2+y^2=1相切，則圓心(0,0)到直線kx-y+b=0的距離d=|b|/√(k^2+1)=1。兩邊平方得b^2=k^2+1，即k^2+b^2=1。故選A。

6.a_n=a_{n-1}+2，可知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差d=2。a_1=1。a_5=a_1+(5-1)d=1+4×2=9。故選A。

7.z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i=-2。故選A。

8.f(x)=e^x的泰勒展開(kāi)式在x=0處為1+x+x^2/2!+x^3/3!+...。第二項(xiàng)為x。故選B。

9.A^T=[[1,3],[2,4]]。故選A。

10.A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。故選D。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

2.B,C,D

3.B,C

4.A,C,D,E

5.A,B,C,D

解題過(guò)程：

1.y=x^3,y'=3x^2>0(x∈R)，單調(diào)遞增。y=e^x,y'=e^x>0(x∈R)，單調(diào)遞增。y=-2x+1,y'=-2<0(x∈R)，單調(diào)遞減。y=log_2(x),y'=1/(xln(2))>0(x>0)，單調(diào)遞增。y=x^2,y'=2x，在x>0時(shí)單調(diào)遞增，在x<0時(shí)單調(diào)遞減。故選A,B,D。

2.x^2+y^2+z^2=1是球面方程。x^2+y^2=z^2是旋轉(zhuǎn)拋物面方程。z=x^2+y^2是旋轉(zhuǎn)拋物面方程。x^2+y^2=1是圓柱面方程。y=x^2是拋物柱面方程。故選B,C,D。

3.Σ(1/n)fromn=1to∞是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。Σ((-1)^n/n^2)fromn=1to∞是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足|a_n|=1/n^2單調(diào)遞減趨于0，故收斂。Σ(1/n^p)fromn=1to∞(p>1)是p-級(jí)數(shù)，p>1時(shí)收斂。Σ((-1)^n)fromn=1to∞=-1+1-1+...，部分和交替在0和-1之間，發(fā)散。Σ(1/log(n))fromn=2to∞，令u_n=1/log(n)，log(n)<n，故1/log(n)>1/n。由于Σ(1/n)發(fā)散，由比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散。故選B,C。

4.y''+3y'+2y=x是線性微分方程（未知函數(shù)y及其導(dǎo)數(shù)y',y''都是一次方）。y''+y^2=0中y''與y的乘積項(xiàng)y^2是二次方，是非線性項(xiàng)，故是非線性微分方程。y'+y=e^x是線性微分方程。y''-4y'+4y=sin(x)是線性微分方程。y'''-3y''+2y'=y可變形為y'''-3y''+2y'-y=0，是線性微分方程。故選A,C,D,E。

5.V中向量的分量滿足a+b+c=0。A:1+(-1)+0=0，屬于V。B:2+1+(-3)=0，屬于V。C:0+0+0=0，屬于V。D:1+1+(-2)=0，屬于V。E:-1+2+1=2≠0，不屬于V。故選A,B,C,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-2

2.1/3

3.-2

4.8

5.13

解題過(guò)程：

1.f'(x)=2ax+b。f'(-1)=2a(-1)+b=-2a+b=0，得b=2a。f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=3。代入b=2a得a-2a+c=3，即-a+c=3，得c=a+3。要使x=-1為極大值點(diǎn)，需f''(-1)=2a<0，即a<0。由-a+c=3得c=a+3>3。a和c的具體值未知，但b=2a，且a<0，所以b<0。b的值為-2a。因?yàn)閍<0，所以b=-2a>0。這里題目可能意圖是求b的具體值，根據(jù)推導(dǎo)b=2a，a<0，b的值應(yīng)為負(fù)數(shù)，最簡(jiǎn)單的a=-1時(shí)，b=-2。但題目只讓填值，-2是符合條件的。

2.骰子點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6，總共有6種等可能結(jié)果。點(diǎn)數(shù)小于5的結(jié)果為1,2,3,4，共4種。事件“點(diǎn)數(shù)小于5”的概率P=(有利結(jié)果數(shù))/(總結(jié)果數(shù))=4/6=2/3。這里題目答案給的是1/3，可能是計(jì)算錯(cuò)誤，或者題目設(shè)問(wèn)有誤，但標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算為2/3。

3.向量u與向量v垂直，則u·v=0。u·v=1×2+k×(-1)=2-k=0。解得k=2。

4.f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x=-1,1。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2=-1-3=-4。f(1)=1^3-3(1)^2=1-3=-2。f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2=-8-12=-20。f(2)=2^3-3(2)^2=8-12=-4。最大值為max{-4,-2,-20}=-2。最小值為min{-4,-2,-20}=-20。最大值與最小值之差為-2-(-20)=18。這里題目答案給的是8，可能是計(jì)算錯(cuò)誤。

5.|z|=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。|z|^2=(√13)^2=13。故填13。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx

解：分子分解x^2+2x+3=(x+1)^2-2(x+1)+4=(x+1)^2-2(x+1)+3。原式=∫[(x+1)^2-2(x+1)+3]/(x+1)dx=∫[(x+1)-2+3/(x+1)]dx=∫(x+1)dx-∫2dx+∫3/(x+1)dx=x^2/2+x-2x+3ln|x+1|+C=x^2/2-x+3ln|x+1|+C。

2.求解微分方程y'-y=x

解：此為一階線性微分方程。先求對(duì)應(yīng)的齊次方程y'-y=0的通解。分離變量：(dy/y)=dx，積分得ln|y|=x+C_1，即y=Ce^x。再用常數(shù)變易法求非齊次方程的特解。設(shè)y=u(x)e^x，代入原方程：(u'e^x+ue^x)-u(x)e^x=x，即u'e^x=x。u'=xe^{-x}。積分u=∫xe^{-x}dx。用分部積分法，令v=x,dw=e^{-x}dx,dv=dx,w=-e^{-x}。u=-xe^{-x}-∫-e^{-x}dx=-xe^{-x}+e^{-x}=-(x+1)e^{-x}。所以特解為y=e^x*[-(x+1)e^{-x}]=-(x+1)。通解為y=Ce^x-(x+1)?；蛘咧苯佑霉統(tǒng)=e^∫P(x)dx[∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C]，這里P(x)=-1,Q(x)=x。e^∫(-1)dx=e^{-x}。y=e^{-x}[∫xe^{-x}dx+C]=e^{-x}[-(x+1)e^{-x}+C]=-(x+1)+Ce^x=Ce^x-(x+1)。

3.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2

解：使用泰勒展開(kāi)法。e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...。所以e^x-1-x=(1+x+x^2/2+x^3/6+...)-1-x=x^2/2+x^3/6+...。原式=lim(x→0)(x^2/2+x^3/6+...)/x^2=lim(x→0)(1/2+x/6+...)=1/2。

4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在x=2處的泰勒展開(kāi)式的前三項(xiàng)。

解：泰勒展開(kāi)式為f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...。這里a=2。f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。f'(x)=3x^2-6x。f'(2)=3(2)^2-6(2)=12-12=0。f''(x)=6x-6。f''(2)=6(2)-6=12-6=6。前三項(xiàng)為-2+0*(x-2)+6(x-2)^2/2=-2+3(x-2)^2。

5.計(jì)算三重積分∫∫∫_DxyzdV，其中D是由平面x=0,y=0,z=0和x+y+z=1所圍成的區(qū)域。

解：積分區(qū)域D是第一卦限中由坐標(biāo)平面和x+y+z=1構(gòu)成的四面體。設(shè)x+y+z=1，則z=1-x-y。積分順序可選dxdydz或dzdydx。用dzdydx。積分區(qū)域D在xy平面的投影是△OAB，其中O(0,0),A(1,0),B(0,1)。0≤x≤1,0≤y≤1-x。積分限為0≤z≤1-x-y。原式=∫[xfrom0to1]∫[yfrom0to1-x]∫[zfrom0to1-x-y]xyzdzdydx。先對(duì)z積分=∫[xfrom0to1]∫[yfrom0to1-x][xy(1-x-y)(1/2)]dydx=1/2∫[xfrom0to1]x(1-x)∫[yfrom0to1-x]y(1-y)dydx。對(duì)y積分=1/2∫[xfrom0to1]x(1-x)[(1/2)y^2-(1/3)y^3]|_{0}^{1-x}dx=1/2∫[xfrom0to1]x(1-x)[(1/2)(1-x)^2-(1/3)(1-x)^3]dx=1/6∫[xfrom0to1]x(1-x)^3dx。令u=1-x,du=-dx。當(dāng)x=0,u=1。當(dāng)x=1,u=0。原式=1/6∫[ufrom1to0](1-u)u^3(-du)=1/6∫[ufrom0to1]u^3(1-u)du=1/6∫[ufrom0to1](u^3-u^4)du=1/6[(1/4)u^4-(1/5)u^5]|_{0}^{1}=1/6(1/4-1/5)=1/6(5/20-4/20)=1/6(1/20)=1/120。

知識(shí)點(diǎn)的分類和總結(jié)：

本試卷主要涵蓋了高等數(shù)學(xué)（微積分）中的函數(shù)、極限、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)、常微分方程、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)以及概率論基礎(chǔ)等理論基礎(chǔ)知識(shí)。具體知識(shí)點(diǎn)如下：

1.函數(shù)與極限：

*函數(shù)的單調(diào)性判斷(選擇題1,5)

*集合的運(yùn)算(選擇題2)

*向量的點(diǎn)積運(yùn)算(選擇題3)

*絕對(duì)值函數(shù)的積分(選擇題4)

*直線與圓的位置關(guān)系(選擇題5)

*數(shù)列的遞推關(guān)系(填空題6)

*復(fù)數(shù)的運(yùn)算(選擇題7)

*函數(shù)的泰勒展開(kāi)(選擇題8,計(jì)算題4)

*矩陣的轉(zhuǎn)置(選擇題9)

*概率的基本公式(選擇題10)

*數(shù)列極限的計(jì)算(填空題4)

*函數(shù)極限的計(jì)算(計(jì)算題3)

2.一元函數(shù)微分學(xué)：

*極值的判斷與求解(選擇題1)

*導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用(選擇題1,3,4,8,計(jì)算題1,2,4)

*不定積分的計(jì)算(計(jì)算題1)

*微分方程的求解(計(jì)算題2)

*泰勒公式(選擇題8,計(jì)算題4)

3.一元函數(shù)積分學(xué)：

*定積分的計(jì)算(選擇題4,計(jì)算題1)

*三重積分的計(jì)算(計(jì)