湖南新高考的數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在湖南新高考數(shù)學(xué)試卷中，函數(shù)f(x)=ax^3-3x+1在x=1處取得極值，則a的值為？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.若函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

3.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)的連線上，點(diǎn)P分線段AB按1:2的比例內(nèi)分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為？

A.(2,1)

B.(1,2)

C.(2,0)

D.(1,1)

4.若向量a=(1,2)，b=(2,-1)，則向量a與向量b的點(diǎn)積為？

A.0

B.1

C.3

D.4

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_5=7，則該數(shù)列的公差d為？

A.1

B.2

C.3

D.4

6.在三角形ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC的長(zhǎng)度為6，則邊AC的長(zhǎng)度為？

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z的模長(zhǎng)為？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

8.在圓錐中，底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積為？

A.15π

B.20π

C.25π

D.30π

9.若函數(shù)f(x)=x^2-2x+3的圖像開口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則f(x)的最小值為？

A.0

B.1

C.2

D.3

10.在五邊形ABCDE中，若AB=BC=CD=DE=EA，且每個(gè)內(nèi)角都相等，則該五邊形的內(nèi)角和為？

A.540°

B.720°

C.900°

D.1080°

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=log_2(x)

D.y=-x

2.在三角形ABC中，若a=3，b=4，c=5，則該三角形為？

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.直角三角形

D.等腰三角形

3.下列不等式成立的有？

A.3^2>2^3

B.log_3(9)>log_3(8)

C.sin(30°)<sin(45°)

D.arctan(1)>arctan(0)

4.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，則該數(shù)列的公比q為？

A.2

B.-2

C.4

D.-4

5.下列命題正確的有？

A.向量a=(1,0)與向量b=(0,1)互相垂直

B.過三點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)的直線斜率為1

C.圓x^2+y^2=1的面積是π

D.正六邊形的內(nèi)角和是720°

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為________。

2.已知向量a=(3,-1)，b=(1,k)，若向量a與向量b垂直，則實(shí)數(shù)k的值為________。

3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5，a_4=11，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=________。

4.若復(fù)數(shù)z=2+3i，則其共軛復(fù)數(shù)z的平方為________。

5.在直角三角形ABC中，若角C為直角，角A=30°，斜邊BC的長(zhǎng)度為10，則對(duì)邊AB的長(zhǎng)度為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{2x+y-z=1

{x-y+2z=4

{x+2y+z=-1

3.計(jì)算極限lim(x→0)(sin(3x)/x)。

4.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求向量AB的模長(zhǎng)及方向角（即向量AB與x軸正方向的夾角，結(jié)果用反三角函數(shù)表示）。

5.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，求該圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)度。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.D

解析：f'(x)=3ax^2-3，f'(1)=3a-3=0，得a=1。代入f'(x)=3(x^2-1)，在x=1兩側(cè)異號(hào)，故x=1為極值點(diǎn)。

2.B

解析：f'(x)=1/(x+1)*log_a(e)，需f'(x)>0，即log_a(e)>0。當(dāng)a>1時(shí)，log_a(e)>0恒成立。

3.A

解析：設(shè)P(x,y)，由內(nèi)分點(diǎn)公式x=(m?x?+m?x?)/(m?+m?),y=(m?y?+m?y?)/(m?+m?)。代入m?=1,m?=2,x?=1,y?=2,x?=3,y?=0，得x=(1*3+2*1)/(1+2)=2，y=(1*0+2*2)/(1+2)=1。故P(2,1)。

4.C

解析：a·b=1*2+2*(-1)=2-2=0。

5.B

解析：a_5=a_1+4d=1+4d=7，解得d=2。

6.A

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。sinC=sin(180°-60°-45°)=sin(75°)=(√6+√2)/4。6/sin60°=6/(√3/2)=4√3。故AC=4√3*sin45°=4√3*(√2/2)=3√2。

7.B

解析：|z|=√(12+12)=√2。

8.A

解析：圓錐側(cè)面積S=πrl=π*3*5=15π。

9.B

解析：f(x)=(x-1)2+2，頂點(diǎn)(1,2)，對(duì)稱軸x=1。在x=1處取得最小值f(1)=2。

10.B

解析：正五邊形內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

解析：y=2^x是指數(shù)函數(shù)，在其定義域(?∞,+∞)上單調(diào)遞增；y=log_2(x)是對(duì)數(shù)函數(shù)，在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增。y=x^2在(?∞,0]單調(diào)遞減，在[0,+∞)單調(diào)遞增。y=-x在其定義域(?∞,+∞)上單調(diào)遞減。

2.A,C

解析：由a2+b2=c2得32+42=52，故為直角三角形。直角三角形中，除直角外，另兩角為銳角，故為銳角三角形。

3.B,C,D

解析：3^2=9，2^3=8，9>8，故A錯(cuò)。log_3(9)=2，log_3(8)在1和2之間，故2>log_3(8)，B對(duì)。sin30°=1/2，sin45°=√2/2≈0.707，1/2<√2/2，故C對(duì)。arctan(1)=π/4≈0.785，arctan(0)=0，π/4>0，故D對(duì)。

4.A,C

解析：a_4=a_1*q3=2*q3=16，解得q3=8，故q=2?；騛_4=a_3*q=a_2*q2=a_1*q3，故(16/2)=q2，q2=8，q=±√8=±2√2。由于a_1=2>0，且a_4=16>0，數(shù)列單調(diào)性由q決定。若q=2√2>1，則數(shù)列遞增，a_4>a_1，符合。若q=-2√2<-1，則數(shù)列遞減，a_4<a_1，不符合。故q=2。

5.A,B,C

解析：向量a=(1,0)與向量b=(0,1)的坐標(biāo)乘積之和為1*0+0*1=0，故互相垂直，A對(duì)。直線AB的斜率k=(y?-y?)/(x?-x?)=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1，B錯(cuò)。圓x2+y2=r2的面積為πr2。圓(x-2)2+(y+3)2=16的半徑r=√16=4，面積=π*42=16π，C對(duì)。正六邊形的內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°，D對(duì)。

三、填空題答案及解析

1.3

解析：f'(x)=3x^2-a。f'(1)=3*1^2-a=3-a=0，得a=3。還需驗(yàn)證，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)，a=3符合題意。

2.-3

解析：向量a=(3,-1)，向量b=(1,k)垂直，則a·b=3*1+(-1)*k=3-k=0，解得k=3。

3.a_n=2n+3

解析：等差數(shù)列通項(xiàng)公式a_n=a_1+(n-1)d。已知a_1=5，d=11-5=6。故a_n=5+(n-1)*6=5+6n-6=6n-1。檢查：a_4=6*4-1=24-1=23。但題目給a_4=11，說明題目條件有誤或需要重新計(jì)算。按a_4=11計(jì)算，d=(11-5)/3=2。故a_n=5+(n-1)*2=5+2n-2=2n+3。a_4=2*4+3=8+3=11，符合。

4.-5-12i

解析：z=2+3i，則z?=2-3i。z?2=(2-3i)2=4-12i+9i2=4-12i-9=-5-12i。

5.5√3

解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC。sinC=sin(90°-30°)=cos30°=√3/2。10/sin60°=10/(√3/2)=20/√3=20√3/3。故AB=(20√3/3)*sin30°=(20√3/3)*(1/2)=10√3/3。

四、計(jì)算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/x+1+2x/x+1+3/x+1)dx

=∫(x-1+1+2(x+1)/x+1+3/x+1)dx

=∫(x-1+1+2+3/x+1)dx

=∫(x+4+3/(x+1))dx

=∫xdx+∫4dx+∫3/(x+1)dx

=x^2/2+4x+3ln|x+1|+C

其中C為積分常數(shù)。

2.解方程組：

{2x+y-z=1(1)

{x-y+2z=4(2)

{x+2y+z=-1(3)

(1)+(2)得：3x+z=5(4)

(3)-(2)得：3y-3z=-5，即y-z=-5/3(5)

由(4)得：z=5-3x(6)

代入(5)得：y-(5-3x)=-5/3，即y-5+3x=-5/3

得：y=3x-5/3+5=3x+10/3(7)

將(6),(7)代入(1)驗(yàn)證：

2x+(3x+10/3)-(5-3x)=1

2x+3x+10/3-5+3x=1

8x-5+10/3=1

8x-15/3+10/3=1

8x-5/3=1

8x=1+5/3=3/3+5/3=8/3

x=(8/3)/8=1/3

將x=1/3代入(6)得：z=5-3*(1/3)=5-1=4

將x=1/3代入(7)得：y=3*(1/3)+10/3=1+10/3=3/3+10/3=13/3

故解為：x=1/3,y=13/3,z=4。

3.lim(x→0)(sin(3x)/x)

令t=3x，當(dāng)x→0時(shí)，t→0。原式變?yōu)椋?/p>

lim(t→0)(sin(t)/(t/3))=lim(t→0)(3sin(t)/t)

=3*lim(t→0)(sin(t)/t)=3*1=3。

其中用到了標(biāo)準(zhǔn)極限lim(t→0)(sin(t)/t)=1。

4.向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)

向量AB的模長(zhǎng)|AB|=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。

設(shè)向量AB與x軸正方向的夾角為θ，則tanθ=y/x=-2/2=-1。

由于向量AB的終點(diǎn)(3,0)在x軸正半軸，起點(diǎn)(1,2)在第一象限，向量AB在第四象限，故θ=arctan(-1)=-π/4。

但通常方向角取值范圍為[0,π)，故θ=π-π/4=3π/4。

答：模長(zhǎng)為2√2，方向角為3π/4。

5.圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16。

與標(biāo)準(zhǔn)圓方程(x-h)2+(y-k)2=r2對(duì)比，可得：

圓心坐標(biāo)為(h,k)=(2,-3)。

半徑r=√16=4。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題：考察對(duì)基本概念、性質(zhì)、定理的掌握程度和簡(jiǎn)單判斷能力。

示例知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性、極值、向量垂直、等差/等比數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)值、復(fù)數(shù)運(yùn)算、幾何圖形性質(zhì)、不等式比較。

示例題目：判斷函數(shù)單調(diào)性需掌握導(dǎo)數(shù)符號(hào)或基