3.奇偶性與對稱性及應用一．基本原理 1.奇偶性的定義：需要熟練掌握2.奇偶性的判定：①.定義法②.性質法：奇×奇為偶；奇×偶為奇；等等，類似進行加減乘除運算即可.③.一個特殊的性質：已知函數的定義域為.（1）求證：函數為上的偶函數；（2）求證：函數為上的奇函數；（3）試判斷：定義在上的函數能否表示為一個奇函數和一個偶函數的和.解析：（1）證明：因為函數的定義域為.所以函數的定義域為，又，所以函數為上的偶函數；（2）證明：因為函數的定義域為.所以函數的定義域為，又，所以函數為上的奇函數；（3）因為函數的定義域為.令，，則，又由（1）得為上的偶函數，由（2）得為上的奇函數，且，所以定義在上的函數可以表示為一個奇函數和一個偶函數的和.由證明可知，上述結論函數的定義域可以是任意對稱區(qū)間.比如.都是奇函數.證明：令，，由基本原理（2）可證.類似，還可以判斷下列函數的奇偶性②.是奇函數.③.(且)是偶函數.對數型奇偶性證明通常需從或來完成.（4）與指數有關的復合函數：假設且.①.為奇函數②.為奇函數③.可轉化為②或③4.奇偶性與對稱性（1）.軸對稱:函數圖象關于一條垂直于軸的直線對稱，則當函數圖象上任意兩個點到直線的距離相等且函數值時.我們就稱函數關于對稱.代數表示:(1).(2).（2）.中心對稱：函數上任意一點（）關于點對稱的點（）也在函數圖像上，此時我們就稱函數為關于點()對稱的中心對稱圖像，點()為對稱中心.用代數式表示：(1).(2).（3）.已知是定義在上的函數，若是奇函數，則的圖像關于點對稱.（4）.已知是定義在上的函數，若是偶函數，則的圖像關于直線對稱.5.奇偶性（對稱性）與導函數若，即軸對稱函數的導函數為中心對稱函數，反之亦然，若6.奇偶性的應用類型（1）.奇偶性加單調性解不等式（2）.利用奇偶性求解析式（3）.常見奇函數與奇偶性的運算性質（4）.奇函數中一個重要的結論（5）.奇偶性與單調性綜合（6）.從奇偶性到對稱性（對稱性的判別）（7）.對稱性的綜合應用（8）.基于奇偶（對稱性）的凸凹反轉二．真題速遞1．（2023·全國·高考真題乙卷）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．2解析：因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（2023·全國·高考真題新高考2卷）若為偶函數，則（

）．A． B．0 C． D．1解析：因為為偶函數，則，解得，當時，，，解得或，則其定義域為或，關于原點對稱.，故此時為偶函數.故選：B.3．（2023·全國·高考真題甲卷）若為偶函數，則______.解析：因為為偶函數，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數，所以.故答案為：2.4．（2021年新高考1卷）已知函數是偶函數，則_________.解析：因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故，故答案為：15．（2021年全國乙卷）設函數，則下列函數中為奇函數的是（

）A． B． C． D．解析：由題意可得，對于A，不是奇函數；對于B，是奇函數；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.故選：B6.（25屆高三八省聯考）已知曲線，兩條直線、均過坐標原點O，和C交于M、N兩點，和C交于P、Q兩點，若三角形的面積為，則三角形的面積為____________．解析：由于和都符合，所以曲線的圖象關于原點對稱，當時，函數單調遞增，由此畫出曲線的大致圖象如下圖所示，兩條直線、均過坐標原點，所以M、N兩點關于原點對稱，P、Q兩點關于原點對稱，根據對稱性，不妨設位置如圖，可知，，所以，所以，而和等底等高，面積相同，所以，所以.故答案為：7.（2024年新課標全國2卷）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2分析：圖像交點問題常轉化成兩個函數解析式組成的方程組的公共解，倘若能夠觀察到與表達式中有一個公共項，此題函數很容易突破的！解析：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數，根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.8．（2024年高考全國甲卷數學（理））函數在區(qū)間的大致圖像為（

）A． B．C． D．解析：，又函數定義域為，故該函數為偶函數，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B.三．對點訓練1.奇偶性加單調性解不等式類型：已知，求解類似于的不等式.解法：利用奇偶性轉化為：，再利用單調性求解與自變量有關的不等式.例1．已知函數，則使得成立的的取值范圍是______.解析：因為，則，令，則的圖象是由的圖象向右平移個單位得到，又，即為偶函數，且當時，所以在上單調遞增，則在上單調遞減，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且關于對稱，所以時，有，解得.故答案為：除此之外，在利用奇偶性和單調性解不等式時，還需注意到下面的問題若若若例2．已知是定義在上的奇函數，且當時，，對任意的，不等式恒成立，那么實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：∵是定義在上的奇函數，且當時，，∴當，有，，∴，即，∴，∴在上是單調遞增函數，且滿足，∵不等式在恒成立，∴在恒成立，∴在恒成立，∴，解得，則實數t的取值范圍是，故選：C2.利用奇偶性求解析式例3．已知是定義在上的奇函數，且當時則______.解析：因為是定義在R上的奇函數，所以，解得，則，故.故答案為：例5．已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足．若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：因為，分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，，因為，①，所以，所以，②，①②得，，因為在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以在上單調遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以（當且僅當，即時取等號），所以（當且僅當時，取等號），所以，所以的取值范圍為.故選：B．3.常見奇函數與奇偶性的運算性質例4．已知是奇函數，則（

）A． B．0 C． D．4解析：因為是奇函數，設，則，所以，即，所以，即，則.故選：A.例5．若是奇函數，則_________．解析：因為是奇函數，定義域關于原點對稱，由,可得，所以且，所以，解得，所以函數的定義域為，則，即，解得，此時，符合題意，所以.故答案為：.4.奇函數中一個重要的結論若為奇函數，則對定義域內的任意實數恒成立，那么設，則，特別地，.例6.（2018年全國卷）已知函數，，則________.解析：設，由上述討論可知：所以為奇函數，而，所以，故.5.奇偶性與單調性綜合例7．已知偶函數在上單調遞減，若，，，則（

）A． B．C． D．解析：在上單調遞減，故，在R上單調遞減，故，在R上單調遞增，故，則，且，，因為，所以，故，因為偶函數在上單調遞減，故，由于，所以，即.故選：C6.從奇偶性到對稱性（對稱性的判別）例8．已知函數關于對稱，當時，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．解析：因為函數關于對稱，所以函數的圖象關于對稱，即函數為偶函數，所以，所以，因為當時，恒成立，所以函數在上單調遞增，又，所以，所以，故選：A.對稱性的綜合應用例9.（2016年全國卷文科）已知函數滿足，若函數的圖象與函數的圖象的交點為,則()A.B.C.D.例10.（2016年全國卷理科）已知函數滿足,若函數與圖像的交點為,，（），則A.B.C.D.解析：若兩函數的圖象分別關于直線軸對稱或者關于點中心對稱，則函數的圖象的所有的交點也都關于直線軸對稱或者關于點中心對稱.于是兩題均選B.8.基于奇偶（對稱性）的凸凹反轉例11.（2017年全國3卷）已知函數有唯一零點，則解析：此題若懂得前面的常見函數及性質就很容易下手，若不懂，借助導數與零點來實現，可能就做不出來！注意到的構造，跟偶函數長得很像，所以我們會發(fā)現是關于直線對稱的，而也是關于直線對稱的，這樣的話，，如此的唯一零點便在處取得，代入可得：.例12．已知函數，若在有唯一的零點，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由于，所以是偶函數，要使在?1,1有唯一的零點，則，即，解得，故選：A三．習題演練1．已知，則的解集為（

）A． B．C．或 D．或解析：由，且定義域為R，根據在上遞增，則在上遞增，又在上遞增，則在上遞增，結合奇函數性質且函數在R上連續(xù)，則在R上遞增，由，所以，解集為或.故選：D2．已知函數為定義在R上的奇函數，且在上單調遞減，滿足，則實數a的取值范圍為（

）A． B． C． D．解析：函數為定義在R上的奇函數，且在上單調遞減，所以在上是減函數，，即，所以，所以，所以，即實數a的取值范圍為.故選：.3．設，若方程有四個不相等的實根，則的取值范圍為_________解析：當時，，則的圖象關于對稱，不妨設，如圖所示：由圖象知：，，所以，，，，所以，，令，則.故答案為：4．已知定義域為R的函數有最大值和最小值，且最大值與最小值的和為8，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8解析：因為，設，則，所以，為R上的奇函數.根據奇函數的性質可知，，所以，所以，.故選：C.5．已知函數，且，則_________解析：由，得，構建函數，定義域為，則，即是奇函數，于是，所以，可得，又，因此．故答案為：6．已知函數，且，則__________解析：構造具有奇偶性的函數，由，得，構建函數，定義域為，因為，所以函數是偶函數，所以，所以，從而，又，因此.故答案為：20247．已知函數是偶函數，不等式恒成立，則b的最大值為_________．解析：因為函數是偶函數，所以，所以