31.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用中的十大核心考點(diǎn)一.基本原理1.正弦函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函數(shù)，周期是,最小正周期為.(4).奇偶性:奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(5).單調(diào)性:增區(qū)間：減區(qū)間：(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：，對(duì)稱中心：2.正弦型函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是.(4).奇偶性:當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)為偶函數(shù).(5).單調(diào)性:當(dāng)時(shí)：令，求解增區(qū)間.令，求解減區(qū)間.當(dāng)時(shí)：注意單調(diào)區(qū)間的轉(zhuǎn)化.(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：令，求解對(duì)稱軸方程，對(duì)稱軸處取最值.對(duì)稱中心：令，求解對(duì)稱中心坐標(biāo).余弦型類似推導(dǎo)，此處不再贅述，請(qǐng)讀者自行填補(bǔ).可以看到，處理復(fù)合型函數(shù)性質(zhì)的妙招就在于換元，令，換成標(biāo)準(zhǔn)的正弦（余弦函數(shù)來(lái)處理）.3.一些復(fù)雜的性質(zhì)①.零點(diǎn)與對(duì)稱軸之間的距離等于四分之一個(gè)周期的奇數(shù)倍；②.對(duì)稱軸方程就是一條對(duì)稱軸加半個(gè)周期的整數(shù)倍；③.若在區(qū)間上單調(diào),則必要條件是：區(qū)間長(zhǎng)度不超過(guò)半個(gè)周期,即,充分條件是：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間是最大單調(diào)區(qū)間的子集，即綜上可得,④.對(duì)稱軸公式：(1).(2).⑤.中心對(duì)稱公式：(1).，(2).⑥.最值表示：4.4.1.仿射變換：平面上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，即.4.2.仿射變換具有以下性質(zhì)（1）仿射變換把直線變成直線.（2）仿射變換保持共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)單比值不變.（3）仿射變換把線段變成線段,并保持線段的分比不變.（4）若縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)拉伸倍后，水平長(zhǎng)度也拉伸倍（）二．典例分析題型1.識(shí)圖與做圖例1．（2023年全國(guó)甲卷）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過(guò)與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.例2．（2024年新高考1卷）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8解析：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C題型2.由圖象的基本性質(zhì)求參數(shù)（解析式）這里的基本性質(zhì)主要指的是函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，對(duì)稱軸等基本性質(zhì).例3.（2020全國(guó)1卷.）設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）A.B.C. D.解析：由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，又它是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得：，故的最小正周期為，故選：C.點(diǎn)評(píng)：再利用圖象求參數(shù)時(shí)，要注意“升降零點(diǎn)”的概念，此題中就是余弦函數(shù)上升中的零點(diǎn)，這樣做的好處就是可以在一個(gè)周期內(nèi)考慮問(wèn)題，從而有效地縮小參數(shù)范圍.再看同款下例.例4.（2021甲卷）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．（凌晨講數(shù)學(xué)）解析：由圖可知，即，所以；由降零點(diǎn)可得，即；所以.因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.題型3.由圖像的幾何性質(zhì)求解析式這里指的是依托于圖像的對(duì)稱性等性質(zhì)進(jìn)一步構(gòu)造幾何圖形來(lái)刻畫的關(guān)系，相較于上一類，這類題目具有一定的綜合性.例5．若函數(shù)與圖象的任意連續(xù)三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，則正實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．解析：作出函數(shù)和的圖象，設(shè)兩圖象相鄰的3個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，C，如圖所示，作，垂足為D，易知，又為等腰直角三角形，所以，所以的最小正周期，即，所以.故選:A.

題型4.圖像對(duì)稱軸（中心），周期公式的綜合應(yīng)用例6.（2022新高考1卷）記函數(shù)的最小正周期為．若，且的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則A． B． C． D．解析：，的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則有，且，所以，則；解得，由得，，故．例7.（2022全國(guó)乙卷）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為_________.解析：由于，故，且，故，，故的最小值為3.題型5.圖象平移下面看到函數(shù)圖象的平移問(wèn)題，這也是三角函數(shù)圖象中的經(jīng)典考題.例8.（2021全國(guó)乙卷）把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像，則A. B.C. D.解析：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以.注：異名三角函數(shù)的平移：跟同名三角函數(shù)的平移基本上相同，區(qū)別在于需要根據(jù)誘導(dǎo)公式將其變?yōu)橥呛瘮?shù)的平移問(wèn)題，再按同名三角函數(shù)平移平移思路進(jìn)行平移.題型6.三角函數(shù)加絕對(duì)值全國(guó)卷在三角函數(shù)的考察方面呈現(xiàn)兩個(gè)明顯的特點(diǎn)，第一，多選項(xiàng)，第二，構(gòu)造性，通過(guò)一些常見的構(gòu)造方式，考察分類討論，數(shù)形結(jié)合能力，比如2019年一卷的11題，將常見的正弦函數(shù)套上絕對(duì)值，這樣的構(gòu)造方式會(huì)由于絕對(duì)值的參與使得很多考生望而生怯，本文通過(guò)對(duì)幾道常見的帶絕對(duì)值的三角函數(shù)性質(zhì)研究，力爭(zhēng)探索出一些解題的通性通法，提高解題能力.此類問(wèn)題的解題順序可以歸納為：①.分析奇偶性，周期性；②.去絕對(duì)值，寫成分段函數(shù)；③.畫出草圖，結(jié)合圖象及對(duì)稱性的定義判斷，包括代入必要的特值.我們可以再通過(guò)下面一些練習(xí)進(jìn)一步提升此類題目的解題能力.二．典例分析例9．（2019全國(guó)卷一）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②的最大值為2③在有4個(gè)零點(diǎn)④在區(qū)間單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③分析：去絕對(duì)值是關(guān)鍵步驟，這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)形態(tài)，這個(gè)時(shí)候就需要分析奇偶性與周期性從而將分析問(wèn)題的區(qū)間盡可能的縮小到小范圍內(nèi)，這個(gè)時(shí)候，實(shí)際也完成了去絕對(duì)值的過(guò)程，因此，處理此類帶絕對(duì)值的三角函數(shù)問(wèn)題，分析奇偶性與周期性是兩個(gè)必備的過(guò)程.解析：的定義域?yàn)?，因?yàn)?，故為偶函?shù)，結(jié)論①正確，再分析周期性，周期為.這樣就可以去掉絕對(duì)值化成分段函數(shù)，當(dāng)，當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的最大值為2，結(jié)論②正確，根據(jù)圖象可得，在有3個(gè)零點(diǎn)，故結(jié)論③錯(cuò)誤，由圖象可以看出，在區(qū)間單調(diào)遞減，結(jié)論④正確.題型7.三角函數(shù)求w例10．（2019全國(guó)3卷）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④解析：當(dāng)時(shí)，，∵在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；極小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時(shí)，，若在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D例11.（2022年全國(guó)甲卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．

題型8.對(duì)三角函數(shù)圖像的深度理解（仿射角度）例12．（2023年新高考2卷）已知函數(shù)，如圖是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則__________

解析：設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因?yàn)?，所以，即，．所以，所以或，又因?yàn)椋?，．故答案為：．?3.（24屆湖北省武漢二調(diào)）如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．解析：（方法1）由題意，則，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，又由圖可知，所以.故選：B.（方法2）考慮到伸縮變換不改變中點(diǎn)的特征，考慮令,取，,則,有,，所以，解得.題型9.實(shí)際應(yīng)用中的三角函數(shù)圖像建構(gòu)例14．耳機(jī)的降噪效果成為衡量一個(gè)耳機(jī)好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，降噪的工作原理就是通過(guò)麥克風(fēng)采集周圍環(huán)境的噪音，通過(guò)數(shù)字化分析，以反向聲波進(jìn)行處理，實(shí)現(xiàn)聲波間的抵消，使噪音降為0，完成降噪（如圖所示），已知噪音的聲波曲線是，通過(guò)主動(dòng)降噪芯片生成的反向聲波曲線是（其中，，），則（

）.

A． B． C．π D．解析：由于抵消噪音，所以振幅沒有改變，即，所以，要想抵消噪音，需要主動(dòng)降噪芯片生成的聲波曲線是，即，因?yàn)椋粤?，即，故選：D.題型10.三角函數(shù)新定義（多選壓軸）例15．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作；定義為角的余矢，記作．給出下列結(jié)論，其中正確的為（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．若，則C．若，，，則的最小值為0D．若，則的最小值為解析：對(duì)于，因，當(dāng)時(shí)，，，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知在，上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，而，故正確；對(duì)于C，，令，因?yàn)?，所以，則，則有，所以（1），所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故正確．故選：BCD．三．習(xí)題演練1．（2025河南鄭州二模）函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2025廣東廣州一模）已知，曲線與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則（

）A． B． C． D．3．（2025廣東一模）已知函數(shù)的周期為，且在上單調(diào)遞增，則可以是（

）A． B． C． D．4．（2025江蘇宿遷二模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)與的零點(diǎn)完全相同，則（

）A． B． C．1 D．25．（2025浙江溫州二模）已知函數(shù)，，則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過(guò)平移就可以重合的是（

）A．與B．與C．與D．與6．點(diǎn)將一條線段分為兩段和，若，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn).已知直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)B．對(duì)于給定的常數(shù)，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)C．對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)D．對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)7．（2025湖北武漢二模）函數(shù)，則下列關(guān)于的說(shuō)法中正確的是（

）A．最小正周期是 B．最大值是2C．是區(qū)間上的減函數(shù) D．圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱8．（福建省廈門市2025屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則（

）A．的最小正周期為B．C．D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱9．（2025安徽合肥二模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，與的圖象恰有4個(gè)交點(diǎn)參考答案1．（2025河南鄭州二模）函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．解析：通過(guò)五點(diǎn)法作出周期函數(shù)的圖象，再通過(guò)兩點(diǎn)法作出單調(diào)函數(shù)的圖象，因?yàn)椋酝ㄟ^(guò)圖象可判斷它們有個(gè)交點(diǎn)，故選：A.2．（2025廣東廣州一模）已知，曲線與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則（

）A． B． C． D．解析：設(shè)曲線與相鄰的三個(gè)交點(diǎn)為，，解得，不妨取，則，所以，則，由題意得為直角三角形，所以，即，解得，故選：A．3．（2025廣東一模）已知函數(shù)的周期為，且在上單調(diào)遞增，則可以是（

）A． B． C． D．解析：對(duì)于A，，但，，所以函數(shù)在上不單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于B，，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的最小正周期為，B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上不單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以結(jié)論函數(shù)在單調(diào)遞增錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B.4．（2025江蘇宿遷二模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)與的零點(diǎn)完全相同，則（

）A． B． C．1 D．2解析：，由，得①，對(duì)于，由，得，依題意，所以②，由于函數(shù)的極值點(diǎn)與的零點(diǎn)完全相同，對(duì)比①②可得.故選：B5．（2025浙江溫州二模）已知函數(shù)，，則兩個(gè)函數(shù)的圖象僅通過(guò)平移就可以重合的是（

）A．與B．與C．與D．與解析：若兩個(gè)正、余弦型函數(shù)的圖象僅通過(guò)平移就可以重合，則這兩個(gè)函數(shù)的振幅相等，最小正周期也相等，對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的振幅為，函數(shù)的振幅為，所以，這兩個(gè)函數(shù)的振幅不相等，故與的圖象不能通過(guò)平移重合，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，函數(shù)的振幅為，函數(shù)的振幅為，所以，與的圖象不能通過(guò)平移重合，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可與函數(shù)的圖象重合，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，函數(shù)與的圖象不能通過(guò)平移重合，D錯(cuò).故選：C.6．點(diǎn)將一條線段分為兩段和，若，則稱點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn).已知直線與函數(shù)的圖象相交，為相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)B．對(duì)于給定的常數(shù)，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)C．對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)D．對(duì)于任意的，存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)解析：若，則，即點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，不存在使點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；如下圖，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則存在一個(gè)使得，故選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，若與相交于相鄰的三點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為