47.遞推公式求通項(xiàng)的十種類型一．等差數(shù)列與等比數(shù)列類型1.等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)遞推形式為常數(shù)，）或者相鄰三項(xiàng)遞推形式.這種遞推形式下，直接用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可解決！例1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則（

）A． B． C． D．解析∵，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴（）.當(dāng)時，也適合上式，.故選A.類型2.等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)遞推或.或者相鄰三項(xiàng)遞推.特別地，在等比數(shù)列應(yīng)用中，有一類比較特殊的遞推類型，即，我們可以對其賦值得到一個等比數(shù)列.例2．?dāng)?shù)列中，，對任意有，若，則（

）A． B． C． D．解析由任意都有，所以令，則，且，所以是一個等比數(shù)列，且公比為，則所以，故選D.二．隔項(xiàng)成等差（等比）數(shù)列1.在等差數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個子數(shù)列分別是公差為的等差數(shù)列.若,則當(dāng)時,,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.2.在等比數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個子數(shù)列分別是公差為的等比數(shù)列.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.例3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為(

)A． B． C． D．解析∵，，∴，解得．，∴，兩式相減，得，數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均為公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，．當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，∴根據(jù)上式和(*)知，數(shù)列的通項(xiàng)公式是，易知是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則．故選A．例4．?dāng)?shù)列中，．求的通項(xiàng)公式；解析（1）由①②，②-①，∴的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，由，∴，∴，∴，n為奇數(shù)，，∴，n為偶數(shù)．∴.例5．已知數(shù)列滿足且，．求通項(xiàng)；解析當(dāng)為奇數(shù)時，由知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，∴，為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，由知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴，為偶數(shù)∴.三.累加型 累加所以,當(dāng)時也成立.下面,我們通過實(shí)例展示例6．若數(shù)列滿足，．求的通項(xiàng)公式.解析：因?yàn)?，，所以，?例7．已知數(shù)列滿足，，則下列正確的是（

）A． B． C． D．解析：∵，等式兩邊同除以，∴，可得到，，…，，利用累加法，可得到，即，又∵，所以.，∴，故A正確；，∴，故B錯誤；，∴，故C錯誤，，∴，故D錯誤.故選A例9．設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）．A． B．C． D．解析：，所以當(dāng)時，，，，，將上式累加得，，即，又時，也適合，．故選B．已知數(shù)列滿足，，則A． B． C． D．解析數(shù)列滿足，，，，，，……，累加得，又，，.故選B.四.()累乘型.已知的形式,當(dāng)時,變形得到,則由累乘法可得： 例11．?dāng)?shù)列及其前n項(xiàng)和為滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．解析當(dāng)時，，即，所以累乘得，又，所以所以則.故選C.例12．?dāng)?shù)列及其前n項(xiàng)和為滿足，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．解析：當(dāng)時，，即所以累乘得，又，所以，所以則.故選C.五.型（待定系數(shù)法）一般形式為常數(shù)，，可以構(gòu)造一個等比數(shù)列，只要在每一項(xiàng)同加上一個常數(shù)即可，且常數(shù)，，令，則為等比數(shù)列，求出，再還原到，.例13．在數(shù)列中，，．求的通項(xiàng)公式.解析依題意，數(shù)列中，，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.例14.(2014年新課標(biāo)全國1卷)已知數(shù)列滿足，證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.解析顯性構(gòu)造，，.例15．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B． C． D．解析：，又，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，故選D.六.型例16．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解析∵，∴，∴，又∵，故是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．，則．七.型.方法1.數(shù)學(xué)歸納法.方法2.，令，則，用累加法即可解決！（公眾號凌晨講數(shù)學(xué)）例17.(2020年新課標(biāo)全國3卷)設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計算，，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析方法1歸納法.（1）猜想得，，…….因?yàn)?，所以方?構(gòu)造法.由可得，累加可得.（2）由（1）得，所以.①.②得，類型8.型例8．已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.因?yàn)椋?，即，又，所以，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.例19.在數(shù)列中，已知，，，則等于（

）A． B． C． D．解析：

，，所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，，故選:B九.已知與關(guān)系，求.（公眾號凌晨講數(shù)學(xué)）解題步驟第1步當(dāng)代入求出；第2步當(dāng)，由寫出；第3步（）；第4步將代入中進(jìn)行驗(yàn)證，如果通過通項(xiàng)求出的跟實(shí)際的相等，則為整個數(shù)列的通項(xiàng)，若不相等，則數(shù)列寫成分段形式，在本考點(diǎn)應(yīng)用過程中，具體又可分為三個角度，第一，消留，第二個角度，消留，第三個角度，級數(shù)形式的前n項(xiàng)和，下面我們具體分析.例13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.證明數(shù)列是等差數(shù)列.證明∵，∴，易知，∴，∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.例14．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.求.解析因?yàn)?所以，則，，即為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，故.例15．已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析，①當(dāng)時，．當(dāng)時，，②由①-②，得，因?yàn)榉仙鲜剑裕?6.（2022新高考1卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．求得通項(xiàng)公式.解析，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時，，所以，即（）；累積法可得（），又滿足該式，所以得通項(xiàng)公式為．例17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．解析：因?yàn)椋瑒t，于是得，因此數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)，則，所以.故選D例18.已知數(shù)列中，，則等于（

）A． B． C． D．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，因?yàn)?，所以，兩式相減得，經(jīng)驗(yàn)證時，，符合，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選A.九．已知前項(xiàng)積求.例19．已知數(shù)列滿足．若對任意，（且）恒成立，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．解析：當(dāng)時，由，得，兩式相除得，也適合，所以，因?yàn)閷θ我猓ㄇ遥┖愠闪?，所以，所以，?dāng)時，由，得，則，當(dāng)時，由，得，則，綜上，故選A例20.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．解析由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于，所以，即,其中，所以數(shù)列以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列.（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.十.特征方程法（強(qiáng)基層次）型.（選學(xué)）求解方程，根據(jù)方程根的情況，可分為（1）若特征方程有兩個相等的根，則（2）若特征方程有兩個不等的根，則例21．已知數(shù)列滿