58.證明空間平行的八種常見解法一．基本原理1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)在空間平行的證明中，線面平行的證明是最常見的，而線面平行的證明主要是證明空間線線平行，其主要的手法有：（1）.構(gòu)造中位線證明平行（2）.利用相似比證明平行（3）.構(gòu)造平行四邊形證平行（4）.利用線面平行性質(zhì)證平行2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)二．典例分析題型1.構(gòu)造中位線證明平行題型2.利用相似比證明平行題型3.構(gòu)造平行四邊形證平行題型4.利用線面垂直證線線平行（垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行）題型5.利用線面平行性質(zhì)證（找）平行題型6.利用面面平行證線面平行題型7.面面平行的證明題型8.空間向量證明平行例1．如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．證明：平面.解析:證明：連接并延長交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以,所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面題型2.利用相似比證明平行例2．如圖，圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為，為圓臺下底面的一條直徑，圓上點(diǎn)滿足，是圓臺上底面的一條半徑，點(diǎn)在平面的同側(cè)，且.證明：平面.解析：取中點(diǎn)，連接，如圖，由題意，，又.又，故，所以四邊形為平行四邊形，則，又面平面，故平面.題型3.構(gòu)造平行四邊形證平行例3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，AD⊥CD，CD=2AB=4，△PAD是正三角形，E是棱PC的中點(diǎn)．證明：BE平面PAD解析：（1）取中點(diǎn)，連接．，四邊形為平行四邊形，，又不在平面平面，平面．題型4.利用線面垂直證線線平行（垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行）例4．如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面．證明：平面.解析：如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，則平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．題型5.利用線面平行性質(zhì)證（找）平行線面平行的性質(zhì)除了可以找到線線平行之外，還給出了一個(gè)找面與面交線的方法，這在很多面面相交，但交線未知的問題中會用到該結(jié)論.例5．如圖，正四棱錐和正三棱錐頂點(diǎn)均為.設(shè)平面與平面的交線為，求證：.解析：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又因平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因平面與平面的交線為，平面，所以，因?yàn)?，所?例6．如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點(diǎn)，平面與底面的交線為.證明：平面.解析：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，.而平面，平面，所以，平面.題型6.利用面面平行證線面平行例7.如圖，線段是圓柱的母線，是圓柱下底面的內(nèi)接正三角形，，劣弧上是否存在點(diǎn)D，使得平面？解析：如圖過點(diǎn)作的平行線交劣弧于點(diǎn)D，連接，，因?yàn)椤危矫?，平面，則∥平面，同理可證∥平面，，且平面，平面，所以平面∥平面，又因?yàn)槠矫?，所以∥平面，故存在點(diǎn)滿足題意.題型7.面面平行的證明例8．如圖所示的在多面體中，，平面平面，平面平面，點(diǎn)分別是中點(diǎn).證明：平面平面.解析：如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)分別是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?題型8.空間向量證明平行例9.（2022乙卷）在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面解析：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；接下來的選項(xiàng)通過向量法來分析.如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面