60.異面直線所成角的計算與應用一．基本原理1.異面直線所成角與基本做法①定義：設是異面直線，經(jīng)過空間任一點，作直線，把直線所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角)，其范圍為.特別地，如果兩條異面直線所成的角是直角，那么兩條異面直線互相垂直，記作．該定義就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的（凌晨講數(shù)學）取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．2.空間余弦定理：如圖，在空間四邊形中，連接，設異面直線與的所成角為，那么同理，異面直線與的所成角的余弦值為：；異面直線與的所成角的余弦值為3.向量法計算公式：異面直線所成角設異面直線和所成角為，其方向向量分別為，；則異面直線所成角向量求法：①②例1．如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：連接，取的中點，連接,，由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補角），在中，，則,則異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.例2．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，正八面體就是其中之一．正八面體由八個等邊三角形構(gòu)成，也可以看做由上、下兩個正方椎體黏合而成，每個正方椎體由四個三角形與一個正方形組成．如圖，在正八面體ABCDEF中，是棱BC的中點，則異面直線HF與AC所成角的余弦值是___________解析：取棱AB的中點，連接HG，F(xiàn)G，因為H，G分別是棱BC，AB的中點，所以，則是異面直線HF與AC所成的角或補角，設，則，在中，由余弦定理可得，（凌晨講數(shù)學）則異面直線HF與AC所成角的余弦值是.例3．如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點.則異面直線，所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．解析：連結(jié)，取中點，連結(jié)，，如圖所示，

則，可知即為異面直線，所成角（或其補角），，，，，所以，即異面直線，所成角的余弦值為.故選：D例4.（2022屆武漢九月調(diào)考）空間四面體中，，，直線與所成角為，則該四面體的體積為_________.解析：（方法1）∵

AB=2，BC=，AC=4，∴為直角三角形，同理可得為直角三角形，如圖，作直角三角形和斜邊上的高BE，DF，則AE=CF=1∴

E，F(xiàn)是線段AC的兩個四等分點，作平行四邊形BEFG，則BE⊥AC，DF⊥AC，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面DFG，又AC平面ABGC,∴

平面ABGC⊥平面DFG，在平面DFG內(nèi)，過點D作DH⊥FG,垂足為H,由面面垂直的性質(zhì)定理可得DH⊥平面ABGC，∴

DH為四面體ABCD的底面ABC上的高，由三角函數(shù)定義可得又因為BG∥AC，所以BG⊥DG,又因為直線BD與AC所成的角為45°，所以∠DBG=45°，∴

為等腰直角三角形，∴

GD=GB=EF=2，在中GD=2，BE=DF=由余弦定理可求得，（凌晨講數(shù)學）∴

，所以四面體的體積.故答案為：.（方法2）依題，由空間余弦定理：得：，于是，.這樣的話，體積.下面看一下補形法的應用，這也是計算異面直線所成角的一個好方法.例5．在梯形中,，且，沿對角線將三角形折起，所得四面體外接球的表面積為，則異面直線與所成角為（

）A． B． C． D．解析：如下圖，將梯形補成長方形，折后得到直三棱柱，因為，所以，異面直線與所成角即為與所成角，即或其補角，又該三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球，設外接球半徑為R，則，所以，設外接圓半徑為r，圓心為，外接圓圓心為，則三棱柱的外接球的球心為的中點O，連接，則，所以，又，即，又中，，即，（凌晨講數(shù)學）化簡得，即，所以，故選：C.

例6．在四面體中，，且與所成的角為.若四面體的體積為，則它的外接球半徑的最小值為_________.解析：依題意，可將四面體補形為如圖所示的直三棱柱，因為與所成的角為，所以或，設，